Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng môn Toán - Đề 6

Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 1/14 
GỢI Ý GIẢI ĐỀ 06 
Câu I.1: 
Học sinh tự giải 
Câu I.2: 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) ( )31 1x x x x m- + - - = có 
nghiệm 
Nhận xét: ( ) ( ) ( )21 1 2 1 1 2 1x x x x x x x x- + = - + + - = + - 
Đ/k xác định: 0 0 1
1 0
x
x
x
³ì
Û £ £í - ³î
Đặt 1t x x= - + , ta có ( )2 1 2 1t x x= + - ( )1 2 1x x= + - 
Suy ra ( )
2 1
1
2
t
x x
-
- = 
Bây giờ ta cần tìm khoảng giá trị của t. {Cách đơn giản và phù hợp với mọi học sinh là 
dùng đạo hàm và tính biến thiên của hàm số} 
Xét hàm số ( ) 1f x x x= - + với [ ]0;1xÎ , ta có 
( )
( )
1 1 1 1
22 1 2 1
x x
f x
x x x x
æ ö- - -ç ÷¢ = + =
ç ÷- -è ø
( ) 0 1 0 1f x x x x x¢ = Û - - = Û - = [ ]11 0;1
2
x x xÛ - = Û = Î 
{Vậy trên mỗi khoảng 1 10; , ;1
2 2
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
, ( )f x¢ giữ nguyên một dấu. Để xác định dấu 
của ( )f x¢ trên 10;
2
æ ö
ç ÷
è ø
, ta chọn 1
3
x =
1
0;
2
æ öÎç ÷
è ø
, có 
1 1 2 1
1 1 0
3 3 3 3
x x- - = - - = - > . Suy ra ( ) 0f x > với 10;
2
x æ öÎç ÷
è ø
} 
( ) ( )0 1; 1 1f f= = 
Bảng biến thiên 
x 0 12 1 
( )f x¢ + 0 - 
( )f x 
1 
 2 
1 
Vậy ( ) [ ]1 1 2, 0;1f x x x x£ = - + £ " Î . Hay 1 2t£ £ 
· Với cách đặt trên, p/trình ( ) ( )31 1x x x x m- + - - = có dạng: 
2
3 1
2
t
t m
-
- = 3 22 1 2t t mÛ - + = 3 22 2 1t t mÛ - = - (*) 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 2/14 
Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số 3 22y t t= - với 1; 2t é ùÎ ë û có dạng như đồ thị ( )C ở câu 
I.1 (đã vẽ), suy ra giá trị của m để đ/thẳng 2 1y m= + có điểm chung với đồ thị. 
Suy ra giá trị của m phải tìm. 
Cách 2: 
Xét hàm số ( ) 3 22y g t t t= = - trên đoạn 1; 2é ùë û , ta có 
( ) ( )26 2 2 3 1g t t t t t¢ = - = - 0> với mọi 1; 2t é ùÎ ë û . 
Vậy hàm số ( )y g t= đồng biến trên đoạn 1; 2é ùë û . 
Suy ra ( ) ( ) ( )1 2g g t g£ £ ( )1 4 2 2g tÛ £ £ - , với mọi 1; 2t é ùÎ ë û . 
Do đó p/trình (*) có nghiệm khi 1 2 1 4 2 2m£ + £ - 30 2 2
2
mÛ £ £ - . 
· Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm với mọi 30;2 2
2
m é ùÎ -ê úë û
Câu II.1: 
Giải hệ phương trình: ( )
( )
1
2
2 2
3 22 2
x xy
x xy y x
ì
ï
í
ïî
+ =
+ - =
Giải: 
Từ (1) ta có 22xy x= - , thế vào (2) ta được: ( )3 22 2 2x y x y x+ - - = 
( )3 22 2 1 0x x y xÛ - + - - = ( ) ( )2 21 2 1 0x x y xÛ - - - = 
( )( )2 1 2 0x x yÛ - + =
2 1 0
2 0
x
x y
é - =
Û ê
+ =ë
1
2
x
x y
= ±é
Û ê = -ë
· Tr/hợp 1x = - , thay vào (1) ta được 1 2 1y y- = Û = - 
Tr/hợp này hệ có nghiệm 1
1
x
y
= -ì
í = -î
· Tr/hợp 1x = , thay vào (1) ta được 1 2 1y y+ = Û = 
Tr/hợp này hệ có nghiệm 1
1
x
y
=ì
í =î
· Tr/hợp 2x y= - , thay vào (1) ta được 2 2 24 2 2 1 1y y y y- = Û = Û = ± . 
Với 1y = ta có 2.1 2x = - = - ; với 1y = - ta có ( )2. 1 2x = - - = 
Tr/hợp này hệ có hai nghiệm 2 2;
1 1
x x
y y
= = -ì ì
í í= - =î î
· Kết luận: Hệ đã cho có 4 nghiệm : 
1
1
x
y
= -ì
í = -î
; 
1
1
x
y
=ì
í =î
; 
2 2
;
1 1
x x
y y
= = -ì ì
í í= - =î î
Nhận xét: Còn nhiều cách giải khác, các bạn tự tìn thêm nhé ! 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 3/14 
Câu II.2: 
Tìm m để phương trình 2 32 2 1 3 4 2x mx x x- + = + (1) có hai nghiệm thực phân biệt. 
Nhận dạng : Để ý ( )22 2 134 2 x xx x = ++ 
Với đ/k 0x ³ , p/trình (1) có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 0mf x ng x p f x g x+ + = 
· Đ/k xác định: 34 2 0x x+ ³ ( )22 2 1 0x xÛ + ³ 0xÛ ³ . 
· Khi đó ( ) ( ) ( )2 22 1 2 3 2 2 1 0x m x x xÛ + - - + = (2) 
Chia hai vế của (2) cho 22 1 0x + > , ta được: 
2 2
2 2
1 3 0
2 1 2 1
x x
m
x x
- - =
+ +
 (3) 
· Đặt 2
2
2 1
x
t
x
=
+
 (ta cần tìm khoảng giá trị của t, với 0x ³ ) 
P/trình (3) trở thành 21 . 3 0m t t- - = 2 3 1 0mt tÛ + - = (4) 
Ta có 2
2
2 1
x
t
x
=
+
1 1 1
1 1 2
2. .2 2
x xx x
= £ =
+
4
1
2
= . 
Dấu “=” xảy ra khi ( )21 1 1 , 0
2 2 2
x x x x
x
= Û = Û = ³ . 
Và do 0x ³ nên 2
2
0
2 1
x
t
x
= ³
+
. Suy ra 
4
1
0
2
t£ £ . 
Với cách đặt 2
2
2 1
x
t
x
=
+
 (*), ta nhận thấy số nghiệm của (1) bằng số nghiệm của (*). Do 
đó (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt. Bởi 0x ³ nên ta 
xét hai tr/hợp sau: 
§ P/trình (*) có nghiệm 0x = khi và chỉ khi 2 0 0t t= Û = . 
Thay vào lại (*), ta có p/trình 2 0 0x x= Û = . 
Vậy, với 0t = , P/trình (*) có 1 nghiệm duy nhất 0x = . 
Suy ra đ/k để (*) có hai nghiệm là 0t > . 
§ Với 
4
1
0;
2
t
æ ùÎç úè û
, ta có 2 2
2
2 1
x
t
x
=
+
2 2 22 . 2 0t x x tÛ - + = (**) 
Vậy (1) có hai nghiệm thực phân biệt Û (*) có hai nghiệm dương phân biệt. 
Đ/k để (**) có hai nghiệm dương phân biệt là 
0
0
0
P
S
¢D >ì
ï >í
ï >î ( )
4
2
2
2
1 2 0
0
2
2
0
4
t
t
t
t
ì
ï - >
ïïÛ >í
ï
- -ï >ïî
41 2 0tÛ - > 4
4
1 1
0
2 2
t tÛ < Û < < 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 4/14 
Từ đó suy ra, (1) có hai nghiệm thực phân biệt Û (4) có một nghiệm t duy nhất thuộc 
khoảng 
4
1
0;
2
æ ö
ç ÷
è ø
. 
· Với 
4
1
0
2
t< < , ta có (4) 2
1 3t
m
t
-
Û = 2
1 3
m
tt
Û = - (5) 
{ Ta dùng PP khảo sát hàm vế phải trên 
4
1
0
2
t< < để tìm m để (5) có nghiệm} 
Xét hàm số ( ) 2
1 3
y f t
tt
= = - với 
4
1
0
2
t< < , ta có 
( ) 3 2 2
2 3 1 2
3f t
tt t t
æ ö¢ = - + = -ç ÷
è ø
; ( ) 2 20 3 0
3
f t t
t
¢ = Û - = Û =
4
1
0;
2
æ öÎç ÷
è ø
. 
Bảng biến thiên của hàm số ( )y f t= trên khoảng 4
1
0;
2
æ ö
ç ÷
è ø
. 
x 0 23 4
1
2
( )f x¢ - 0 + 
( )f x 
+¥ 
9
4- 
42 3 2- 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra giá trị của m để (5) có nghiệm một nghiệm t duy nhất với 
khi 
9
4
m = - hoặc 42 3 2m > - . 
· Vậy, (1) có hai nghiệm thực phân biệt với 9
4
m = - hoặc 42 3 2m > - . 
Nhận xét: Nếu các em chia hai vế của (2) cho 2x thì lợi hơn rất nhiều ! 
- Nhận thấy 0x = không mãn p/trình (2) với mọi m. 
- Vậy với 0x > , chia hai vế của (2) cho 2x và làm như trên. Bài giải sẽ gọn hơn . Dễ 
trình bày hơn. 
Câu III: 
Cho hàm số 3 23y x x= - (C). 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) hàm số trên và tiếp tuyến của nó tại điểm 
thuộcđồ thị hàm số có hoành độ bằng 2. 
§ Viết p/trình t/tuyến với ( )C tại 2x = : 
Với 2x = , ta có 3 22 3.2 4y = - = - . 
· Đạo hàm: 23 6y x x¢ = - . 
Hệ số góc của t/tuyến tại ( )2; 4- : ( ) 22 3.2 6.2 0y¢ = - = . 
· P/trình t/tuyến với ( )C tại ( )2; 4- : 
( ) ( )4 0. 2y x- - = - hay 4y = - . 
· P/trình hoành độ giao điểm của t/tuyến trên với ( )C : 3 23 4x x- = - 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 5/14 
Giải p/trình này được hai nghiệm 1; 2x x= - = 
· Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng: 
( )
2 2
3 2 3 2
1 1
3 4 3 4S x x dx x x dx
- -
= - + = - +ò ò
2
4
3
1
4
4
x
x x
-
æ ö
= - +ç ÷
è ø
27
4
= 
Câu IV: 
Tính tích phân: 
( )
2ln2
20 22 1
xe dxI
x xe e
= ò
+ -
. 
· Đặt xt e= xdt e dxÞ = . Với 0x = ta có 1t = ; với ln 2x = ta có ln 2 2t e= = . 
· Khi đó ( )
( ) ( )
1 2
2 22 2
0 12 1 2 1
x x
x x
e e dx tdt
I
e e t t
= =
+ - + -
ò ò 
Xét hàm số ( )
( ) ( )( )2 22 2 1 12 1
t t
f t
t tt t
= =
é - + ù+ - ë û
. 
Giả sử ( )
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 11 2 12 1
t a b c d
f t
t tt tt t
= = + + +
+ -+ -+ -
, với mọi [ ]1;2tÎ . 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2
2 22 2
4 2 4 3 4 2 3
2 1 2 1
c d t a b d t a b c t a b c dt
t t t t
+ + + + + - + - + + + -
Û =
+ - + -
với mọi [ ]1;2tÎ . 
Đồng nhất các hệ số tương ứng của các lũy thừa của t ở tử thức hai vế ta được hệ 
4 2 0
4 3 0
4 2 3 1
0
c d
a b d
a b c
a b c d
+ =ì
ï + + =ï
í- + - =ï
ï + + - =î
Giải hệ trên ta được 1 2 1 2; ; ;
9 9 27 27
a b c d= - = = - = . 
Suy ra ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22
1 2 1 2
27 1 27 2 19 1 9 2 12 1
t
f t
t tt tt t
-
= = + - +
+ -+ -+ -
Vậy 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1
1 2 1 2
27 1 27 2 19 1 9 2 1
I dt
t tt t
æ ö-ç ÷= + - +
ç ÷+ -+ -è ø
ò 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
1 2 1 1 2 11 1 1 1
9 9 27 1 27 2 11 2 1
d t d t d t d t
I
t tt t
+ - + -
= - + - +
+ -+ -ò ò ò ò
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 6/14 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1 1 1
ln 1 ln 2 1
9 1 9 2 1 27 27
I t t
t t
= - - + + -
+ -
( )1 1 1 2 1 1. . ln 3 ln 2 ln 3
9 6 9 3 27 27
I æ ö= - + - - +ç ÷
è ø
1 1
ln 2
18 27
= + 
Câu V: 
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 3
a b c
+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức 3 3 3 3 3 3
ab bc caQ
a b b c c a
= + +
+ + +
. 
Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Ta có 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
Q
a b b c c a a b b c c a
ab bc ca b a c b a c
= + + = + +
+ + + + + +
· Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có 
2 2 2 2
2 . 2
a b a b
ab
b a b a
+ ³ = . Suy ra 2 2
1 1
2a b ab
b a
£
+
 (1) 
Dấu “=” xảy ra khi 
2 2a b
a b
b a
= Û = 
Tương tự ta có 
2 2
2
b c
bc
c b
+ ³ . Suy ra 2 2
1 1
2b c bc
c b
£
+
 (2) 
Dấu “=” xảy ra khi b c= 
Và có 
2 2
2
c a
ac
a c
+ ³ . Suy ra 2 2
1 1
2c a ca
a c
£
+
 (3) 
Dấu “=” xảy ra khi c a= . 
· Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
Q
a b b c c a ab bc ca
b a c b a c
= + + £ + +
+ + +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
Q
a b b c c a ab bc ca
b a c b a c
æ ö= + + £ + +ç ÷
è ø+ + +
 (4) 
· Mặt khác ta có (áp dụng bất đẳng thức Côsi): 
1 1 1 1 2
2 .
a b a b ab
+ ³ = (5). Dấu “=” xảy ra khi 1 1 a b
a b
= Û = 
Tương tự, ta có 1 1 2
b c bc
+ ³ (6). Dấu “=” xảy ra khi b c= . 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 7/14 
Và 
1 1 2
c a ca
+ ³ (7) . Dấu “=” xảy ra khi c a= . 
· Cộng (5), (6) và (7) theo vế ta được 
1 1 1 2 2 2
2
a b c ab bc ca
æ ö+ + ³ + +ç ÷
è ø
1 1 1 1 1 1
a b c ab bc ca
Û + + ³ + + 
Kết hợp với giả thiết 1 1 1 3
a b c
+ + = , ta có 1 1 1 3
ab bc ca
+ + £ (8) 
· So sánh (4) và (8) ta suy ra 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
2
Q
a b b c c a
b a c b a c
= + + £
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi 11 1 1
3
a b c
a b c
a b c
= =ì
ï Û = = =í
ïî
+ + =
. 
· Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q bằng 3
2
 đạt được khi 1a b c= = = . 
Nhận xét: Còn có nhiều cách làm khác, các em tự nghiên cứu thêm. Trên đây là lời giải 
chi tiết, cụ thể để các em tham khảo. 
Chú ý sử dụng các bất đẳng thức 1 1 4
a b a b
+ ³
+
 để gộp các hạng tử, khi tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức. 
Câu VI.a.1 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng 
( ) : 4 2 0d x y- - = , cạnh BC song song với (d), phương trình đường cao BH: 3 0x y+ + = 
và trung điểm cạnh AC là ( )1;1M . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 
· P/trìn ...  2
14 14 7
1 1 6
1 9 2
14 14 7
I A B C
I A B C
I A B C
x x x x
y y y y
z z z z
ì = + + = + + =ï
ï
ï = + + = + + =í
ï
ï = + + = + + =ïî
. Hay 
6 3 6
; ;
7 7 7
I æ öç ÷
è ø
· Vậy, với 6 3 6; ;
7 7 7
I æ öç ÷
è ø
 ta có 4 9 0IA IB IC+ + =
uur uur uur r
. 
Suy ra 144 9v MIMA MB MC= =+ +
r uuur uuuur uuuur uuur
. 
14 144 9v MI MIMA MB MCÞ = = =+ +
r uuur uuuur uuuur uuur
· Như vậy 4 9MA MB MC+ +
uuuur uuuuruuuur
 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất MÛ là hình 
chiều của I trên mặt phẳng ( )P . 
Xét đường thẳng ( )d qua 6 3 6; ;
7 7 7
I æ öç ÷
è ø
 và vuông góc với mặt phẳng ( )P , khi đó ( )d 
nhận vecto pháp tuyến ( )1;1;1n =
r
 của ( )P làm vecto chỉ phương của ( )d . 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 9/14 
· P/trình tham số của ( )d : 
6
7
3
7
6
7
x t
y t
z t
ì = +
ï
ï = +í
ï
= +ïî
, ( )tΡ . 
Điểm M cần tìm thỏa yêu cầu đề là giao điểm của ( )d và ( )P . 
Các em tự xác định nhé ! (bằng cách giải hệ hai p/trình của ( )d và ( )P ) 
Câu VII.a:: 
Tìm hệ số x4 trong khai triển đa thức của biểu thức: ( )163 29 23 15P x x x= - + - 
Cách 1: 
Ta viết ( ) ( )
162 9 23 15P x x xé ù= - + -ë û và xem ( )
2 9 ; 23 15a x x b x= - = - . 
Áp dụng khai triển ( )
0
n
n k n k n
n
k
a b C a b-
=
+ = å , ta có 
( )( ) ( )
16 162
16
0
9 . 23 15
k kk
k
P C x x x
-
=
= - -å ( ) ( )
16
1632 2
16
0
9 . 23 15k kk k
k
C x x x--
=
= - -å 
( ) ( ) ( )
16
1632 2
16
0 0
9 . 23 15
k
k k i ik k i
k
k i
C x x C x- --
= =
= - -å å 
( ) ( ) ( )
16
1632 2
16
0 0
9 23 15
k
k k i ik k i
k
k i
C x x C x- --
= =
= - -åå 
( ) ( ) ( )
16
1632 2
16
0 0
15 23 9
k
i k i kk i k i k
k
k i
C C x x x- -- -
= =
= - -åå 
( ) ( ) ( )
16 16
32 16
16 16
0 0 0
15 23 9
k k
i k i mk i k i m k m
k k
k i m
C C x C x
-
- - - - -
-
= = =
= - -åå å 
( ) ( ) ( )
16 16
32 16
16 16
0 0 0
15 23 9
k k
i k i mk i k i m k m
k k
k i m
C C x C x
-
- - - - -
-
= = =
= - -ååå 
( ) ( ) ( )
16 16
48 2
16 16
0 0 0
15 23 9
k k
i k i mk i m k i m
k k
k i m
C C C x
-
- - - -
-
= = =
= - -ååå 
Từ đó ta thấy, các số hạng chứa 4x là ( ) ( ) ( ) 48 216 16 15 23 9
i k i mk i m k i m
k kC C C x
- - - -
- - - với 
48 2 4k i mx x- - - º 48 2 4k i mÛ - - - = 
2 44k i mÛ + + = (1) 
Điều kiện: ( )
( )
, ,
0 16 2
0 3
16
m i k
m k
i k
k
Îì
ï £ £ -ï
í
£ £ï
ï £î
¥
Cộng (2) và (3) theo vế ta được 16m i+ £ (4) 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 10/14 
Từ (1) ta suy ra 44 2 16k i m- = + £ 2 28 14k kÛ ³ Û ³ . 
Vậy 14 16k£ £ và kÎ¥ nên ta có các tr/hợp sau: 
· 14k = , thay vào (1) ta tính được 16m i+ = , suy ra 16i m= - , thay vào (3) ta được 
16 14 2m m- £ Û ³ . 
Mặt khác, từ (2) ta có 16 16 14 2m k£ - = - = . Vậy 2m = , suy ra 16 2 14i = - = . 
§ Tr/hợp này ta có hệ số của số hạng chứa 4x bằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14 14 14 214 14 216 16 16 14 16 1415 23 9 15 23 9
i k i mk i m
k kC C C C C C
- -
- -- - = - - 
14 14 2 14
16 .15 .9 9720.15C= = 
· 15k = , ta có 14i m+ = . 
Từ (2) ta có 0 1m£ £ . Mặt khác từ (3) ta có 14 15 1m m- £ Û ³ - . Xét hai tr/hợp sau. 
* Với 0m = , ta có 14i = (thỏa i k£ ) 
§ Tr/hợp này ta có hệ số của số hạng chứa 4x bằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14 15 14 015 14 016 16 16 15 16 1515 23 9 15 23 9
i k i mk i m
k kC C C C C C
- -
- -- - = - - 
15 14 0 14 14
16 15 1. . .15 .23 5220.15C C C= = 
* Với 1m = , ta có 13i = (thỏa i k£ ). 
§ Tr/hợp này ta có hệ số của số hạng chứa 4x bằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )13 15 13 115 13 116 16 16 15 16 1515 23 9 15 23 9
i k i mk i m
k kC C C C C C
- -
- -- - = - - 
( ) ( )1315 13 1 2 1316 15 1. . 15 . 9 .23 7998480.15C C C= - - = 14533232.15= 
· 16k = , ta có 12i m+ = . 
Từ (2) ta có 0 0m£ £ , suy ra 0m = , do đó 12i = . 
§ Tr/hợp này ta có hệ số của số hạng chứa 4x bằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 16 12 016 12 016 16 16 16 16 1615 23 9 15 23 9
i k i mk i m
k kC C C C C C
- -
- -- - = - - 
16 12 0 12 4 12 4
16 16 0. .15 .23 1820.15 .23C C C= = 
Vậy có 4 cặp giá trị của ( ); ;k i m là ( )14;14;2 , ( )15;14;0 , ( )15;13;1 , ( )16;12;0 . 
· Hệ số của các số hạng chứa 4x trong khai triển biểu thức đã cho bằng 
14 14 14 12 49720.15 5220.15 533232.15 1820.15 .23+ + + 
Cách 2: 
Phân tích ( )163 29 23 15P x x x= - + - ( )( )( ) 161 5 3x x x= é - - - ùë û 
( ) ( ) ( )16 16 161 3 5P x x x= - - - . 
Khai triển các nhị thức ( )161 x- , ( )163 x- , ( )165 x- ta có 
( ) ( ) ( )
16 16 16
16 16
16 16 16
0 0 0
1 . . .3 . 1 . . .5 . 1 .k m nk k m m m n n n
k m n
P C x C x C x- -
= = =
= - - -å å å 
Đặt ( )16 1
kk
ka C= - ; ( )1616.3 . 1
mm m
mb C
-= - ; ( )1616.5 . 1
nn n
nc C
-= - 
Khi đó 
16 16 16
0 0 0
. . .k m nk m n
k m n
P a x b x c x
= = =
= å å å 
Hệ số của các số hạng chứa 4x trong P là: 
4 0 16 0 15 15 15 4
4 0 0 16 16 16 16. . . .3 . .5 3 .5 .a b c C C C C= = 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 11/14 
3 1 0. .a b c = 
3 0 1. .a b c = 
2 2 0. .a b c = 
2 0 2. .a b c = 
2 1 1. .a b c = 
1 3 0. .a b c = 
1 0 3. .a b c = 
1 2 1. .a b c = 
1 1 2. .a b c = 
0 4 0. .a b c = 
0 0 4. .a b c = 
0 3 1. .a b c = 
0 1 3. .a b c = 
0 2 2. .a b c = 
Hãy tính 15 số hạng trên và cộng lại rồi kết luận nhé ! 
Giá trị tính được bằng: 82092690316801757812500 (Quá đã). 
Ở đây Long đã dùng Maple để tính các bạn ạ ! 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 12/14 
Câu VI.b.1 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
1
: 01
5
x t
d y
z t
ì
ï
í
ï
î
= +
=
= - -
 và 
0
: 4 2 '2
5 3 '
x
d y t
z t
ì
ï
í
ï
î
=
= -
= +
Tìm 1M dÎ , 2N dÎ sao cho 1MN d^ , 2MN d^ . Viết phương trình tham số của 
đường vuông góc chung của d1 và d2. 
· Gọi tọa độ của ( )1 ;0; 5M m m+ - - , ( )0;4 2 ;5 3N n n- + , ( ),m nΡ . 
Suy ra ( )1 ;4 2 ;10 3MN m n m n= - - - + +
uuuur
· Vecto chỉ phương của ( ) ( )1 2,d d lần lượt bằng ( )1 1;0; 1u = -
uur
, ( )2 0; 2;3u = -
uur
Theo giả thiết, 1 2;MN d MN d^ ^ nên ta có 1MN u^
uuuur uur
, 2MN u^
uuuur uur
Suy ra 1
2
. 0
. 0
MN u
MN u
ì =ï
í
=ïî
uuuur uur
uuuur uur ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
1 .1 4 2 .0 10 3 1 0
1 .0 4 2 2 10 3 .3 0
m n m n
m n m n
ì - - + - + + + - =ïÛ í
- - + - - + + + =ïî
2 3 11 0
3 13 22 0
m n
m n
- - - =ì
Û í + + =î
77
17
11
17
m
n
ì = -ïÛ í
= -ïî
Vậy 60 8;0;
17 17
M æ ö- -ç ÷
è ø
, 
90 52
0; ;
17 17
N æ öç ÷
è ø
· Suy ra 
60 90 60
; ;
17 17 17
MN æ ö= ç ÷
è ø
uuuur
Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của ( )1d và ( )2d . MN đi qua điểm 
60 8
;0;
17 17
M æ ö- -ç ÷
è ø
 và nhận vecto ( )17 2;3;2
30
u MN= =
r uuuur
 làm vecto chỉ phương. 
P/trình tham số của đường thẳng MN là 
60 217
3
8 217
x t
y t
z t
ì = - +
ïï =í
ï
= - +ïî
, ( )tΡ . 
Câu VI.b.2 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt 
đường tròn (C): ( ) ( )2 22 3 25x y- + + = thành một dây cung có độ dài bằng 8. 
Ở đây tôi sửa lại là “viết phương trình đường thẳng”. Bởi vì nếu “viết phương trình 
đường tròn” thì có vô số đường tròn thỏa mãn đề bài. 
Thật vậy, ta thấy độ dài dây cung bằng 8 bé hơn đường kính của (C) (bằng 10) nên có 
vô số cặp điểm A, B trên (C) sao cho dây AB có độ dài bằng 8. Xét trường hợp A, B, O 
không thẳng hàng, khi đó mọi đường tròn đi qua ba điểm A, B, O thỏa mãn yêu cầu bài 
toán. Có vô số đường tròn như thế. 
· Giả sử đ/thẳng cần tìm (đi qua gốc tọa độ) có p/trình ( ) :d y kx= ( )kΡ . 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 13/14 
· P/trình hoành độ giao điểm của ( )d và (C): 
( ) ( )2 22 3 25x kx- + + = ( ) ( )2 21 6 4 12 0k x k xÛ + + - - = (1) 
Vì đ/thẳng ( )d đi qua ( )0;0O nằm trong (C) nên ( )d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt 
với mọi k . 
Cũng có thể tính ( ) ( )2 26 4 12 1 0k kD = + + + > , suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt. 
· Gọi ( )1 1;A x y , ( )2 2;B x y là hai giao điểm của ( )d và (C). Khi đó 1 2;x x là hai nghiệm 
của (1) nên theo định lý Viet ta có 1 2 2
6 4
1
b k
x x
a k
-
+ = - = -
+
; 1 2 2
12
1
c
x x
a k
= = -
+
. 
· Do ( ), :A B d y kxÎ = nên ta có 1 1y kx= ; 2 2y kx= . 
· Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1AB x x y y x x kx kx= - + - = - + - 
Suy ra ( )( ) ( ) ( )2 22 2 22 1 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x xé ù= + - = + + -ë û 
( )
2
2 2
2 2
6 4 12
1 4.
1 1
k
AB k
k k
é ù-æ ö æ ö= + - - -ê úç ÷ ç ÷+ +è ø è øê úë û
( )2
2
6 4
48
1
k
k
-
= +
+
· Theo giả thiết, ta có 8AB = . Suy ra ( ) ( )
2
2 2
2
6 4
48 64, 8 64
1
k
AB
k
-
+ = = =
+
( ) ( )2 26 4 16 1 0k kÛ - - + = 220 48 0k kÛ - = 
Giải ta được 120;
5
k k= = . 
· Trước khi kết luận, ta cần kiểm tra xem đường thẳng song song với trục tung (có hệ số 
góc không xác định, có p/trình dạng x a= ) có thỏa đề bài không. 
Xét tương giao của trục tung, có p/trình 0x = , và (C): 
Tung độ giao điểm thỏa p/trình ( ) ( )2 20 2 3 25y- + + = 
( )23 21 3 21 3 21y y yÛ + = Û + = ± Û = - ± 
Ta có hai giao điểm ( )0; 3 21M - + , ( )0; 3 21N - - 
( ) ( ) ( )2 220 0 3 21 3 21 2 21 2 21MN é ù= - + - - - - + = =ë û 8> . 
Tr/hợp này không thỏa yêu cầu bài toán. 
· Tóm lại, có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán có p/trình là 0y = ; 12
5
y x= . 
Câu VII.b 
Giải phương trình: ( ) ( )( ) ( ) 226 15 3 8 4 3 2 3 2 3 0x x x-+ - + + + - = . (1) 
· Nhận xét ( )( )2 3 2 3 1+ - = ; ( )32 3 26 15 3+ = + . 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 14/14 
Suy ra ( )
( )
1
2 3
2 3
x
x- =
+
 và ( ) ( ) ( )
33
26 15 3 2 3 2 3
x x xé ù+ = + = +ê úë û
· Đặt ( )2 3 xt = + , ta có ( ) 12 3 x
t
- = và ( ) 326 15 3 x t+ = ( )0t > . 
P/trình (1) trở thành ( )
( )
3
2
1 1
8 4 3 . 0
2 3
t t
t
- + + =
-
Ở đây ta đã phân tích 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3 1 1
2 3 2 3 . 2 3 .
2 3 2 3
x
x x
t
- - -
- = - - = =
- -
( ) ( )( )2 24 22 3 8 4 3 2 3 . 1 0t tÛ - - + - + = 
( ) ( )4 27 4 3 8 4 3 1 0t tÛ - - - + = (2) 
Đặt 2, 0u t u= > , p/trình (2) trở thành ( ) ( )27 4 3 8 4 3 1 0u u- - - + = (3) 
Có thể nhận thấy tổng các hệ số của (3): ( ) ( )7 4 3 8 4 3 1 0a b c+ + = - - - + = nên 
(3) có hai nghiệm 1u = và ( )21 2 3
7 4 3
c
u
a
= = = +
-
Hoặc tính ( ) ( ) ( )2 28 4 3 4 7 4 3 84 48 3 6 4 3D = - - - = - = - 
Vậy (3) có hai nghiệm ( )
( )
8 4 3 6 4 3
1
2 7 4 3
u
- + -
= =
-
; 
( )
( ) ( )
28 4 3 6 4 3 1
7 4 3 2 3
7 4 32 7 4 3
u
- - -
= = = + = +
--
· Với 1u = ta có 2 1 1t t= Û = . ( )0t > 
Ta có ( )2 3 1 0x x+ = Û = 
· Với ( )22 3u = + ta có ( )22 2 3 2 3t t= + Û = + . 
Do đó ( )2 3 2 3 1x x+ = + Û = 
· Tóm lại, p/trình (1) có hai nghiệm là 0; 1x x= = .