Giáo án Toán Lớp 12 - Trường THPT Uông Bí - Chuyên đề: Hệ tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
CHUYÊN ĐỀ – HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
TIẾT 1: VEC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN 
A. LÝ THUYẾT 
1. Hệ trục tọa độ trong không gian 
Trong không gian, xét ba trục tọa độ , ,Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung 
một điểm gốc O . Gọi , ,i j k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục , ,Ox Oy Oz . Hệ ba 
trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. 
Chú ý: 2 2 2 1i j k= = = và . . . 0i j j k k i= = = . 
2. Tọa độ của vectơ 
a) Định nghĩa: ( ); ;u x y z u xi yj zk=  = + + 
b) Tính chất: Cho ( ) ( )1 2 3 1 2 3; ; ; ; ; ,a a a a b b b b k= =  
• ( )1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b a b =    
• ( )2 2 3; ;ka ka ka ka= 
• 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=

=  =
 =
• a cùng phương ( )0b b   ( )a kb k=  
( )
1 1
31 2
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, , 0
a kb
aa a
a kb b b b
b b b
a kb
=

 =  = = 
 =
• 1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b= + + • 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥  + + = 
• 
2 2 2
1 2 3a a a a 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
• 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos ,
a b a b a b
a b
a a a b b b
 (với ( ); ;M a b c ) 
3. Tọa độ của điểm 
Véc tơ ( ; ; )u x y z u xi y j zk=  = + + 
Điểm ( ; ; )M x y z OM xi y j zk=  = + + 
Véc tơ 0 (0;0;0)= 
Điểm ( ) ( ); ; ; ; ;A A A B B BA x y z B x y z= = ; ( ); ;C C CC x y z= thì 
( ); ;B A B A B AAB x x y y z z= − − − và ( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B AAB AB x x y y z z= = − + − + − 
Tọa độ trung điểm I của AB: ; ;
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
+ + +
= = = 
Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC: 
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
+ + + + + +
= = = 
4.Tích có hướng của hai véc tơ 
a) Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau 
( ), ; ; ' ' ; ' ' ; ' '
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u v yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
 
  = = − − −  
 
b) Tính chất: 
o , ; ,u v u u v v   ⊥ ⊥   
o u cùng phương với , 0v u v  = 
o ( ), . .sin , ( )u v u v u v  =   
c) Ứng dụng của tích có hướng: 
o , , wu v đồng phẳng , .w 0 ( )u v  =  
 (ba vecto có giá song song hoặc nằm trên một mặt 
phẳng). 
o , , wu v không đồng phẳng , .w 0 ( )u v    
. 
o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng , . 0 ( )AB AC AD  =  
 (bốn điểm nằm trên một mặt 
phẳng). 
o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng , . 0 ( )AB AC AD    
(bốn đỉnh của một tứ 
diện). 
o Diện tích hình bình hành: , ( )ABCDS AB AD =   
o Diện tích tam giác: 
1
, ( )
2
ABCS AB AC  =   ; ( )
22 2
. .ABCS AB AC AB AC = − 
o Thể tích khối hộp: ' ' ' '
'
.
, .AA ( )
ABCD A B C D
V AB AD =  
5. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: 
Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( )1k  nếu như: 
.MA k MB= 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Định lý 11: Nếu 
B
( ; ; ) , B(x ; ; )
A A A B B
A x y z y z và .MA k MB= ( )1k  thì 
 −
=
−
−
=
−
−
=
−
.
1
.
1
.
1
A B
M
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y
k
z k z
z
k
B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vec-tơ liên quan đến tích vô hướng 
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho 2 3a i j k= − + − . Tọa độ của vectơ a là: 
A. ( )2; 1; 3 .− − B. ( )3;2; 1 .− −
C. ( )2; 3; 1 .− − D. ( )1;2; 3 .− − 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có: 2 3a i j k= − + − ( )1;2; 3a − − . 
Câu 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ ( )2; 1;3a = − , ( )1;3; 2b = − . Tìm tọa độ của 
vectơ 2c a b= − . 
A. ( )0; 7;7c = − . B. ( )0;7;7c = . C. ( )0; 7; 7c = − − D. ( )4; 7;7c = − . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có ( )2 2; 6;4b− = − − mà ( )2; 1;3a = − ( )0; 7;7c = − . 
Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ ( )1;1;0a = − , ( )1;1;0b = , ( )1;1;1c = . 
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 
A. 2a = . B. a b⊥ C. 3c = . D. b c⊥ . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có 
( )1;1;0a = − 2a =  A đúng. 
. 1.1 1.1 0.0 0a b = − + + = a b ⊥  B đúng. 
( )1;1;1c = 3c =  C đúng. 
. 1.1 1.1 0.1 2 0b c = + + =   D sai 
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ( )1; 2;3a = − và ( )2; 1; 1b = − − . Khẳng định nào 
sau đây đúng? 
A. ( ), 5; 7; 3a b  = − − −  . 
B. Vectơ a cùng phương với vectơ b . 
C. Vectơ a vuông góc với vectơ b .
D. 14a = . 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có ( ), 5;7;3a b  =  nên A sai. 
Do 
1 2 3
2 1 1
−
 
− −
 nên vectơ a cùng phương với vectơ b nên B sai. 
Do ( )( ) ( ). 1.2 2 1 3 1a b = + − − + − 1= nên vectơ a không vuông góc với vectơ b nên C sai. 
Ta có ( ) ( )
2 2 21 2 3a = + − + 14= 
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho véctơ ( )1; 2;3a = − . Tìm tọa độ của véctơ b 
biết rằng vectơ b ngược hướng với vectơ a và 2b a= . 
A. ( )2; 2;3b = − . B. ( )2; 4;6b = − . C. ( )2;4; 6b = − − . D. ( )2; 2;3b = − − . 
Lời giải 
Chọn C 
Vì véctơ b ngược hướng với véctơ a và 2b a= nên ta có ( )2 2;4; 6b a= − = − − 
Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ( )2;3;1a = , ( )1;5;2b = − , ( )4; 1;3c = − và 
( )3;22;5x = − .Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau? 
A. 2 3x a b c= − − . B. 2 3x a b c= − + + . C. 2 3x a b c= + − . D. 2 3x a b c= − + . 
Lời giải 
Chọn C 
Đặt . . .x m a n b p c= + + với m , n , p . 
Khi đó 
2 4 3 2
3 5 22 3
2 3 5 1
m n p m
m n p n
m n p p
− + = − = 
 
+ − =  = 
 + + = = − 
. 
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ ( )0;3;1a = , ( )3;0; 1b = − . Tính 
( )cos ,a b . 
A. ( ) 1cos ,
100
a b = − . B. ( ) 1cos ,
100
a b = . C. ( ) 1cos ,
10
a b = − . D. ( ) 1cos ,
10
a b = . 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có ( ) ( )
( )
22 2 2 2 2
0.3 3.0 1. 1.
cos ,
. 0 3 1 . 3 0 1
a b
a b
a b
+ + −
= =
+ + + + −
 ( ) 1cos ,
10
a b = − 
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( )3;2;8M , ( )0;1;3N và ( )2; ;4P m . Tìm 
m để tam giác MNP vuông tại N . 
A. 25m = . B. 4m = . C. 1m = − . D. 10m = − . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có ( )3; ;1 5NM = , ( )2; 1 ;1NP m= − . 
Do tam giác MNP vuông tại N nên . 0 6 1 5 0 10NM NP m m=  + − + =  = − 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ ( )1;1; 2u = − , ( )1;0;v m= . Tìm m để góc giữa 
hai vectơ ,u v bằng 45 . 
A. 2 6m = − . B. 2 6m = + . C. 2 6m =  . D. 2m = . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có: ( ) .cos ,
.
u v
u v
u v
= 
( )
22 2 2 2
1 2
1 1 2 . 1
m
m
−
=
+ + − +
2
1 2 2
26. 1
m
m
−
= =
+
21 2 3 1m m − = + 
2 24 4 1 3 3m m m − + = + (điều kiện 
1
2
m  ). 
2 4 2 0m m − − = 
2 6
2 6
m
m
 = −
 
= +
. Đối chiếu đk ta có 2 6m = − 
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120 và 2u = , 5v = . 
Tính u v+ 
A. 19 . B. 5− . C. 7 . D. 39 . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có : ( )
2
u v+ ( )
2
u v= +
2 2
2u uv v= + + ( )
2 2
2 . cos ;u u v u v v= + + 
2 212 2.2.5. 5 19
2
 
= + − + = 
 
. 
Suy ra 19u v+ = 
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp .ABCD A B C D    có ( )0; 0; 0A , 
( )3; 0; 0B , ( )0; 3; 0D , ( )0; 3; 3D − . Toạ độ trọng tâm tam giác A B C  là 
A. ( )1; 1; 2− . B. ( )2; 1; 2− . C. ( )1; 2; 1− . D. ( )2; 1; 1− . 
Lời giải 
Chọn B 
Cách 1: Ta có ( )3; 0; 0AB = . Gọi ( ) ( ); ; ; 3;C x y z DC x y z = − 
ABCD là hình bình hành ( ) ( ) ( ); ; 3; 3; 0 3; 3; 0AB DC x y z C =  =  
Ta có ( )0; 3; 0AD = . Gọi ( ) ( ); ; ; 3 ; 3A x y z A D x y z         = − − − − 
ADD A  là hình bình hành ( ) ( ); ; 0; 0; 3AD A D x y z     =  = − ( )0; 0; 3A − 
A B
C
D
A
B
C
D
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Gọi ( ) ( )0 0 0 0 0 0; ; ; ; 3B x y z A B x y z   = + 
ABB A  là hình bình hành ( ) ( )0 0 0; ; 3; 0; 3AB A B x y z  =  = − 
( )3; 0; 3B − 
G là trọng tâm tam giác ' 'A B C ( )
0 3 3
2
3
0 0 3
1 2; 1; 2
3
3 3 0
2
3
G
G
G
x
y G
z
+ +
= =

+ +
 = =  −

− − +
= = −

. 
Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD .Ta có 
3 3 3
; ;
2 2 2
I
 
− 
 
.Gọi ( ); ;G a b c là trọng 
tâm tam giác A B C  
Ta có: 3DI IG= với 
3 3 3
; ;
2 2 2
3 3 3
; ;
2 2 2
DI
IG a b c
  
= − − 
  

  = − − +   
. Do đó: 
3 3
3
2 2
2
3 3
3 1
2 2
2
3 3
3
2 2
a
a
b b
c
c
  
= − 
  =
  
− = −  =  
   = −  
− = +  
 
. 
Vậy ( )2;1; 2G − . 
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( )1;2; 1A − , ( )2; 1;3B − , ( )4;7;5C − . Tọa 
độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là 
A. 
2 11
; ;1
3 3
 
− 
 
. B. 
11
; 2;1
3
 
− 
 
. C. 
2 11 1
; ;
3 3 3
 
 
 
. D. ( )2;11;1− . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có: ( )1; 3;4 26;BA BA= − −  = . 
( )6;8;2 2 26BC BC= −  = 
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC 
Suy ra : 
DA BA
DC BC
= 2DC DA = −
2 11
; ;1
3 3
D
 
 − 
 
. 
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho ba điểm ( )1; 1;1A − , ( )2;1; 2B − , ( )0;0;1C . Gọi 
( ); ;H x y z là trực tâm tam giác ABC thì giá trị x y z+ + là kết quả nào dưới đây? 
A. 1. B. 1.− C. 0. D. 2.− 
Lời giải 
Chọn A. 
Tọa có ( )1; 1; 1AH x y z= − + − ; ( )2; 1; 2BH x y z= − − + . 
Và ( )2; 1;3BC = − − ; ( )1;1;0AC = − ; ( )1;2; 3AB = − . 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Để H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi 
. 0 2 3 2
. 0 1
1, . 0
AH BC x y z
BH AC x y
x y zAB AC AH
 = − − + = 
=  − + = − 
  + + =  = 
Vậy từ phương trình cuối của hệ ta có 1x y z+ + = . 
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm ( )4; 2; 1A , ( )2; 1;4B − − . Tìm tọa độ điểm 
M thỏa mãn đẳng thức 2AM MB= . 
A. ( )0;0;3M . B. (0;0; 3)M − . C. ( 8; 4;7)M − − . D. (8;4; 7)M − . 
Lời giải 
Chọn A 
Gọi điểm ( ); ;M x y z . Khi đó: 2AM MB=
( )
( )
( )
4 2 2
2 2 1
1 2 4
x x
y y
z z
 − = − −

 − = − −

− = −
0
0
3
x
y
z
=

 =
 =
. 
Vậy ( )0;0;3M . 
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh 
(1;2;1)A , (2;0; 1)B − , (6;1;0)C Hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh ( ; ; )D a b c , tìm 
mệnh đề đúng? 
A. 6a b c+ + = . B. 5a b c+ + = . C. 8a b c+ + = . D. 7a b c+ + = . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có ( )1; 2; 2AB = − − 3AB = ; ( )4;1;1BC = 3 2BC = . 
Theo giả thiết ABCD là hình thang vuông tại A và B và có diện tích bằng 6 2 nên 
( )
1
6 2
2
AB AD BC+ = ( )1 .3. 3 2 6 2
2
AD + = 2AD =
1
3
AD BC = . 
Do ABCD là hình thang vuông tại A và B nên 
1
3
AD BC= . 
Giả sử ( ; ; )D a b c khi đó ta có 
4
1
3
1
2
3
1
1
3
a
b
c

− =


− =


− =

7
3
7
3
4
3
a
b
c

=


 =


=

6a b c + + = . 
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( )2;3;1A − , ( )2;1;0B , ( )3; 1;1C − − . Tìm 
tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và 3ABCD ABCS S= ...  1: Nhập vec tơ ,a b 
Bấm MODE 8 
Bấm 1( Nhập toạ độ cho vec tơ a ) 
Không gian Oxyz có 3 chiều nên chọn 1 
Sau đó nhập toạ độ cho vec tơ A 
Xong bấm SHIFT 5 1 
Chon 2 tương tự nhập vec tơ b là B 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Bước 2: Tính tích có hướng 
Sau đó nhấn phím AC. Bấm phím SHIFT 5 lấy vec tơ A và Vec tơ B 
Ấn dấu = 
Đáp án B 
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với ( )1;2;1 ,A ( )2;1;3 ,B
( )3;2;2C . Diện tích tam giác ABC bằng 
A. 
11
2
. B. 3 . C. 
13
2
. D. 
14
2
. 
Lời giải. 
Chọn D. 
Cách 1: Tự luận 
+
( )
( )
( )
1; 1;2
, 1;3;2
2;0;1
 = −   = −  
=
AB
AB AC
AC
 , 14  = AB AC . 
+ 
1 14
,
2 2

 = = ABCS AB AC . 
Cách 2: Cách bấm CasiO . 
Bước 1: Tính vec tơ AB, AC và nhập toạ độ AB, AC vào máy tính như câu 1 
Bước 2: Tính diện tích 
Bấm độ dài vec tơ SHIFT hyp, sau đó thực hiện phép tính tích có hướng như câu 1 
ấn = sau đó chia cho 2 
Thử với máy tính 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với ( )1;2;1 ,A ( )2;1;3 ,B 
( )3;2;2 ,C ( )1;1;1D . Thể tích của tứ diện ABCD bằng 
A. 1. B. 2 . C. 
1
2
. D. 3. 
Lời giải. 
Chọn C. 
+
( )
( )
( )
1; 1;2
, 1;3;2
2;0;1
 = −   = −  
=
AB
AB AC
AC
, ( )0; 1;0= −AD 
+ , . 3  = − AB AC AD
1 1
, .
6 2
  = = ABCDV AB AC AD
Cách 2: Cách bấm CasiO . 
Bước 1: Tính vec tơ AB, AC, AD và nhập toạ độ 3 vec tơ vào máy tính như câu 1 
Bước 2: Tính thể tích 
Bấm tích hỗn tạp như sau 
(SHIFT 5 3 x SHIFT 5 4 )SHIFT 57 SHIFT 55 
Tính tích có hướng là dấu x, tích vô hướng 
bấm SHIFT 57 là DOT 
Vậy 
1 1
, .
6 2
  = = ABCDV AB AC AD
Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với ( )1; 1;1A − , ( )5;1;9 ,B −
( )3; 1;4C − − . Độ dài chiều cao AH của tam giác bằng 
A. 2 74 . B. 
2 74
33
. C. 
74
33
. D. 
14
33
. 
Lời giải. 
Chọn B. 
+ 
( )
( )
( )
6;2;8
, 6; 14;8
4;0;3
AB
AB AC
AC
 = −   = −  
= −
 , 2 74AB AC  =  . 
+ 
1
, 74
2
ABCS AB AC  = =  
+ ( )2; 2; 5 33BC BC= − −  = 
2 2 74
33
ABCSAH
BC
 = = . 
Cách 2: Cách bấm CasiO . 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Bước 1:Tính toạ độ AB, AC, BC và nhập toạ độ 3 vec tơ này trong máy lần lượt là 
vectoA, vectoB, vectoC 
Bước 2: Tính đường cao AH 
,2 ABC
AB ACS
AH
BC BC

 
 
 = = 
Bấm SHIFT hyp(SHIFT 5 3 x SHIFT 5 4)/SHIFT hyp( SHIFT 55) 
9 
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp .ABCD EFGH với ( )1;1;1 ,A 
( )2;1;2 ,B ( )1;2; 2 ,− −E ( )3;1;2D . Thể tích khối hộp bằng 
A. 1. B. 2 . C. 
1
6
. D. 
1
3
. 
Lời giải. 
Chọn A. 
( )
( )
( )
1;0;1
, 0;1;0
2;0;1
 =   =  
=
AB
AB AD
AD
, ( )2;1; 3= − −AE 
, . 1  = AB AD AE .
, . 1  = = ABCD EFGHV AB AD AE Cách 2: Cách bấm CasiO . 
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp .ABCD EFGH với ( )1;1;1 ,A 
( )2;1;2 ,B ( )1;2; 2 ,− −E ( )3;1;2D . Khoảng cách từ A đến ( )mp DCGH bằng 
A. 3 . B. 
3
3
. C. 2 3 . D. 
1
3
. 
Lời giải. 
Chọn B. 
+
( )
( )
( )
1;0;1
, 0;1;0
2;0;1
 =   =  
=
AB
AB AD
AD
, ( )2;1; 3= − −AE 
BA
C
D
FE
GH
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
+ , . 1  = AB AD AE .
, . 1  = = ABCD EFGHV AB AD AE 
( )
( )
( )
1;0;1
, 1;1;1
2;1; 3
 =   = −  
= − −
AB
AB AE
AE
, 3  = = = ABFE DCGHS AB AE S . ( )( ). ,=ABCD EFGH DCGHV d A DCGH S
( )( ) .
3
,
3
 = =ABCD EFGH
DCGH
V
d A DCGH
S
( )( ). ,=ABCD EFGH DCGHV d A DCGH S 
( )( ) . .
, .
,
,
ABCD EFGH ABCD EFGH
DCGH ABFE
AB AD AEV V
d A DCGH
S S AB AE
 
 
 = =
 
 
Cách bấm CasiO . 
Bước 1:Tính toạ độ AB, AD, AE và nhập toạ độ 3 vec tơ này trong máy lần lượt là 
vectoA, vectoB, vectoC 
Bước 2: Tính khoảng cách 
Bấm 9(SHIFT 5 3 x SHIFT 5 4)SHIFT 5 7 SHIFT 55/SHIFT hyp( SHIFT 53x SHIFT 55) 
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho ( )1;2;1a = , ( )1;1;2b = − , ( );3 ; 2c x x x= + . Nếu 3 vectơ a , b , 
c đồng phẳng thì x bằng? 
A. 2 . B. 1. C. 2− . D. 1− . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có 
( )
( )
1;2;1
1;1;2
a
b
 =

= −
( ); 3; 3;3a b  = −  . 
Khi đó a , b , c đồng phẳng ; . 0a b c  =  ( )3 9 3 2 0x x x − + + = 2x = . 
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( )0; 2;2A a− − ; ( )3; 1;1B a + − ; ( )4; 3;0C − − ; 
( )1; 2; 1D a− − − . Tập hợp các giá trị của a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con 
của tập nào sau? 
A. ( )7; 2− − . B. ( )3;6 C. ( )5;8 . D. ( )2;2− . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có ( )3;1;a 1AB a + − , ( )4; 1;a 2AC − − − , ( )1;0;2 3AD a− − . 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
( )2, 2 3; 5 10; 1AB AC a a a a  = − − − + − +  . 
Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng: 
( ) ( )
0
, . 0 2 3 2 3 . 1 0 3
2
a
AB AC AD a a a
a
=
  =  − + + − − + =    =

. 
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( ) ( ) ( )− − − −2;0; 2 , 3; 1; 4 , 2; 2;0A B C . Điểm 
D trong mặt phẳng ( )Oyz có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và 
khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( )Oxy bằng 1 là: 
A. ( )− −0; 3; 1D . B. ( )−0; 2; 1D . C. ( )−0;1; 1D . D. ( )−0; 3; 1D . 
Lời giải 
Chọn D 
( )  0; y; z ,z 0.D Oyz D ( ) =  =,Oxy 1 1d D z ( )
 =
  −
= −
1( )
0; y; 1 .
1( )
z l
D
z n
( ) ( )= − − = −1; 1; 2 , 4; 2; 2AB AC ( )  = − , 2;6; 2AB AC ( )= − −, 2; y; 1AD
 
− 
= =
, . 6 6
6 6ABCD
AB AC AD y
V 
−  =
=  =  
= −
6 6 3
2 2
16ABCD
y y
V
y
Vậy ( )−0; 3; 1D 
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( )1;2;0A ; ( )2;1;1B ; ( )0;3; 1C − . Xét 
4 khẳng định sau: 
I. 2BC AB= . II. Điểm B thuộc đoạn AC . 
III. ABC là một tam giác. IV. A , B , C thẳng hàng. 
Trong 4 khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm A , B với ( )2; 1;3OA = − , ( )5;2; 1OB = − . 
Tìm tọa độ của vectơ AB . 
A. ( )3;3; 4AB = − . B. ( )2; 1;3AB = − . C. ( )7;1;2AB = . D. ( )3; 3;4AB = − − . 
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm ( )1;0;2A , ( )2;1;3B − , ( )3;2;4C , 
( )6;9; 5D − . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD ? 
A. ( )2;3; 1− . B. ( )2; 3;1− . C. ( )2;3;1 . D. ( )2;3;1− . 
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( )2; 3;5M − , ( )6; 4; 1N − − và đặt 
L MN= . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 
A. ( )4; 1; 6L = − − . B. 53L = . C. 3 11L = . D. ( )4;1;6L = − . 
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ ( )1; 2;3a = − − . Tìm tọa độ của véctơ 
( )2; ;b y z= , biết rằng vectơ b cùng phương với vectơ a . 
A. ( )2;4; 6b = − . B. ( )2; 4;6b = − . C. ( )2;4;6b = . D. ( )2; 3;3b = − . 
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ ( )5;7;2a , ( )3;0;4b , ( )6;1; 1c − − . Tìm 
tọa độ của vectơ 3 2m a b c= − + . 
A. ( )3;22; 3m − . B. ( )3;22;3m . C. ( )3;22; 3m − − . D. ( )3; 22;3m − . 
Câu 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 
A.  , 0u v =  u , v cùng phương. 
B. Nếu u , v không cùng phương thì giá của vectơ  ,u v vuông góc với mọi mặt phẳng song 
song với giá của các vectơ u và v . 
C.   ( ), .cos ,u v u v u v= . 
D.    , . , . 0u v u u v v= = . 
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết ( )2;1; 3A − , 
( )0; 2;5B − và ( )1;1;3C . Diện tích hình bình hành ABCD là 
A. 2 87 . B. 
349
2
. C. 349 . D. 87 . 
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp .ABCD A B C D    . Biết ( )2;4;0A , 
( )4;0;0B , ( )1;4; 7C − − và ( )6;8;10D . Tọa độ điểm B là 
A. ( )8;4;10B . B. ( )6;12;0B . C. ( )10;8;6B . D. ( )13;0;17B . 
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho a , b tạo với nhau 1 góc 120 và 3a = ; 5b = . Tìm T a b= − . 
A. 5T = . B. 6T = . C. 7T = . D. 4T = . 
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( )1;2;0A , ( )3; 1;1B − , ( )1;1;1C . Tính diện tích 
S của tam giác ABC . 
A. 1S = . B. 
1
2
S = . C. 3S = . D. 2S = . 
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ( )2;3; 1M − , ( ) 1;1;1N − và ( )1; 1;2P m− . 
Tìm m để tam giác MNP vuông tại N . 
A. 6m = − . B. 0m = . C. 4m = − . D. 2m = . 
Câu 13: Cho tam giác ABC biết ( )2; 1;3A − và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là ( )2;1;0G . Khi 
đó AB AC+ có tọa độ là 
A. ( )0;6;9 . B. ( )0;9; 9− . C. ( )0; 9;9− . D. ( )0;6; 9− . 
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm ( )1; 2;3A − − , ( )0;3;1B , ( )4;2;2C . Côsin của góc 
BAC bằng 
A. 
9
35
. B. 
9
2 35
. C. 
9
2 35
− . D. 
9
35
− . 
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ , . Tìm 
để 3 vectơ đồng phẳng. 
A. . B. . C. . D. . 
Oxyz ( );1;0 ,a m= ( )2; 1;1 ,b m= − ( )1; 1;1c m= + m
, ,a b c
1
2
−
=m
3
2
=m 1= −m 2= −m
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KHỐI 12 Tổ Toán trường THPT Uông Bí 
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm ( ) ( )1; 2;0 , 1;0; 1A B− − và ( ) ( )0; 1;2 , 0; ;C D m k− . Hệ 
thức giữa m và k để bốn điểm ABCD đồng phẳng là: 
A. 1m k+ = . B. 2 3m k+ = . C. 2 3 0m k− = . D. 2 0m k+ = . 
Câu 17: Cho bốn điểm ( )0;0;0O , ( )0;1; 2A − , ( )1;2;1B , ( )4;3;C m . Tìm m để 4 điểm O , A , B ,C đồng 
phẳng. 
A. 14m = − . B. 7m = − . C. 14m = . D. 7m = . 
Câu 18: Cho ( ) ( ) ( )2;1; 1 , 3,0,1 , 2, 1,3A B C− − , điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD 
bằng 5. Tọa độ điểm D là: 
A. ( )0; 7;0 .− B. ( )0; 7;0− hoặc ( )0;8;0 . 
C. ( )0;8;0 . D. ( )0;7;0 hoặc ( )0; 8;0 .− 
Câu 19: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm ( )2;0;0A , ( )0;3;1B , ( )1;4;2C − . Độ 
dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC 
A. 6 . B. 2 . C. 
3
2
. D. 3 . 
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm ( )1; 2;0A − , ( )3;3;2B , ( )1;2;2C − và 
( )3;3;1D . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( )ABC bằng 
A. 
9
7 2
. B. 
9
7
. C. 
9
14
. D. 
9
2
. 
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm ( )1;1;4A , ( )5; 1;3B − , ( )2;2;C m , ( )3;1;5D . Tìm tất cả 
giá trị thực của tham số m để A , B , C , D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. 
A. 6m  . B. 6m  . C. 6m  . D. 6m = . 
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( )2;0;0A , ( )0;3;1B , ( )3;6;4C − . Gọi M 
là điểm nằm trên đoạn BC sao cho 2MC MB= . Tính độ dài đoạn AM . 
A. 3 3AM = B. 2 7AM = . C. 29AM = . D. 30AM = . 
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( )1; 2;1−A , ( )2;2;1−B , ( )1; 2;2−C . Toạ 
độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC là điểm nào dưới đây? 
A. 
4 8
0; ;
3 3
 
− 
 
. B. 
1 2 4
; ;
2 3 3
 
− 
 
. C. 
1 11
; ;
2 3 6
4 
− 
 
. D. 
2 8
0; ;
3 3
 
− 
 
Câu 24: không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Ox và cách đều hai điểm ( )4;2; 1A − và 
( )2;1;0B là 
A. ( )4;0;0M − . B. ( )5;0;0M . C. ( )4;0;0M . D. ( )5;0;0M − .