Giáo án Toán Lớp 12 - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

CHUYÊN ĐỀ 1 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ  
- Vấn đề 1: xét tính đơn điệu của hàm số.
- Vấn đề 2: Định tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng.
- Vấn đề 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
- Vấn đề 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
Bài tập
Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp: Để xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x), ta thực hiện theo các bước sau đây:
+ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y=f(x).
+ Bước 2. Tính đạo hàm  f′(x) và tìm các điểm x0 sao cho f′(x0)=0 hoặc f′(x0) không xác định.
+ Bước 3. Lập bảng xét dấu f′(x), nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x).
1. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :
 a. b. c. 
 d. e. f. 
2. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : 
 a. b. c. 
 d. e. f. 
3. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :
 a. b. c. d. 
 e. f. g. h. 
	4. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : 
 a. b. c. d. 
 e. f. g. h. 
	5. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : 
 a. b. c. 
	6. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :
 a. b. 
Vấn đề 2: Định tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng
	Phương pháp : Xét hàm số trên K
 ¬ Tính 
	¬ Nêu điều kiện của bài toán :
 + Hàm số đồng biến trên K 
 + Hàm số nghịch biến trên K 
	¬ Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam 
 thức bậc hai để tìm m
	Ø CHÚ Ý : Cho hàm số 
	 u	 u 
Tìm m để hàm số : luôn giảm trên R
Tìm m để hàm số : đồng biến trên R
Cho hàm số . Xác định m để :
Hàm số đồng biến trên miền xác định
Hàm số đồng biến trên khoảng 
Cho hàm số . Xác địn m để :
Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó
Hàm số nghịch biến với mọi 
Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; +¥).	
Tìm m để hàm số đồng biến trên 
Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Tìm m để hàm số đồng biến trên (–1; +¥).
 Tìm m đề :
 a) nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1	
	 b) nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3
Vấn đề 3 : Chứng minh bất đẳng thức 
	Phương pháp : 
 Trường hợp 1 : Bất đẳng thức chỉ có 1 biến 
 Giả sử muốn chứng minh trên 
 + Đưa bất đẳng thức trên về dạng : 
 + Tính và xét dấu . Suy ra tăng hay giảm trên 
	 + Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận
	Trường hợp 2 : Bất đẳng thức có hai biến	
 + Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng : 
 + Xét tính đơn điệu của trong 
 + Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) b) c) 
d) e) 
 e) 
 2. Cho hàm số 
 a) Tính đạo hàm của hàm số
	b) Chứng minh rằng : . Ta có : 
Vấn đề 4	 VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BPT VÀ HPT
I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:
	Xét phương trình với D là một khoảng cho trước. Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thông dụng) sau đây:
Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:
Dạng 1: 
	Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng: 
	Bước 2: Xét hàm số 
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên D.
	Bước 3: Đoán được . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 2: 	
	Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng : (1)
	Bước 2: Xét hai hàm số và 
Chỉ rõ hàm số là hàm đồng biến (nghịch biến) và là hàm nghịch biến (đồng biến)
	Bước 3: Đoán được . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 3:	
	Bước 1: Đưa phương trình về dạng (1)
Bước 2: Xét hàm số: .
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên . 
Bước 3: Khi đó: 
Nhận xét: 
	+ Định lí về tính đơn điệu trên đoạn:
 “ Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên ”
+ Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư duy vận dụng tính đơn điệu hoàn toàn tương tự như trên.
II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Loại 1: 	 Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình 
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:	
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:	
a) 	b) 
	c) 
Loại 2: 	 Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình 
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 	b) 
Loại 3: 	 Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình 
Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 
c) 
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h)