Giáo án môn Giải tích 12 tiết 66-68: Ứng dụng hình học của tích phân

Ngày soạn: 25/ 01/ 2003
TIẾT CHƯƠNG TRÌNH: 66 -68
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN 
A. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :
1. Kiến thức : 	
	- Thiết lập 2 công thức tính diện tích hình phẳng.
	 và S = 
	- Thiết lập các công thức v = 
	- Áp dụng các công thức vào việc tính thể tích các khối hình học thông thường và các thể tích các khối tròn xoay.
2. Kĩ năng : 
	- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính diện tích hình phẳng và thể tích các khối tròn xoay thành thạo bằng công cụ tích phân.
B. TRỌNG TÂM:
	* 
C. CHUẨN BỊ :
 	- Tài liệu tham khảo 3 bộ sách giáo khoa + SGK cũ.
	- Học sinh xem lại ý nghĩa hình học tích phân, đọc trước bài mới.
D. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP :
	1. Kiểm tra bài cũ :
	- Giới thiệu nội dung phần cần nghiên cứu.
	2. Tiến hành dạy:
Nội dung
Phương pháp
Tiết 66:
2p
p
S2
S3
S1
3p
x
y
(1) Diện tích hình phẳng :
Bài toán 1 : 
	Cho hàm số f(x) liên tục trên [a, b]. Tìm diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (e) : y = f(x), các đường thẳng x = a, x = b và trục Ox.
x
0
p/2
p
3p/2
2p
5p/2
3p
y=sinx
0
1
0
-1
0
1
0
Giải :
a) Trường hợp f(x) ³ 0 
 (2)
Tổng quát
Nếu không cần để ý đến dấu của f(x) trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng trong bài toán 1 là :
 Thí dụ
	Tính diện tích hình phẳng được giới hãn bởi 
(C) : y = sinx khi x Ỵ [0, 3p] và Ox.
	S=Củng cố
 - Cần nắm vững nội dung của bài toán 1 đó là bài toán về diện tích hình thang cong được giới hạn bởi các đường nào.
- Khi tính diện tích cần tiến hành
+ Vẽ (C) : y = f(x)
+ Đánh dấu phần tính S
+ Vận dụng công thức thích hợp.
- Giáo viên phát biểu nội dung bài toán 1.
Nhấn mạnh các trường hợp cần phân chia
- Trường hợp f(x) ³ 0 yêu cầu học sinh liên hệ với phần ý nghĩa hình học của tích phân ?
- Trường hợp f(x) £ 0 
Cung của đồ thị nằm phía dưới Ox ta có :
(C) : y = f(x). Nếu gọi (C’) là đồ thị đối xứng của (C) qua Ox thì (C’) có phương trình gì ?
- áp dụng trường hợp 1 suy ra kết quả :
S = 
- Từ các trường hợp a) và b) nếu ta không để ý về dấu của f(x) thì cả hai công thức (1) và (2) có thể viết gộp lại không ?
 Hướng dẫn giải ví dụ
* Hướng dẫn học sinh vẽ đồ thị của hàm số y = sinx 
- Qua hình vẽ ta thấy S = S1 + S2 + S3
- Yêu cầu học sinh xác định S1, S2, S3
Bài tập ở nhà 
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi 
(P) : y = 4 – x2 ; các đường x = 1, x = 3 và trục Ox.
Chuẩn bị tiết sau :
- Học sinh đọc trước nội dung bài toán 2.
Bài toán 2
. Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a,b] sao cho f(x) ³ g(x) . Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường :
y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng 
x = a, x = b là :
 (1)
A
a
A’
B
b
B’
x
y
y=g(x)
y=f(x)
Tổng quát Nếu không để ý dấu của f(x) – g(x) thì diện tích S là : 
Thí dụ 1 
	Tính diện tích hình tròn có bán kính R.
Giải :
- Đường tròn có thể xem là hợp các đồ thị :
y1 = 
y
x
-R
R
S = 
S = p R2
Thí dụ 2 Tính dtích hình êlip với (E) : 
S = 
= p ab
- Giới thiệu nội dung bài toán 2, có phân biệt sự khác nhau của bài toán 1 và bài toán 2.
- Chú ý : f(x) ³ g(x) có nghĩa là đồ thị của hàm số y = f(x) nằm trên đồ thị của hàm số y = f(x) nằm trên đồ thị y g(x) khi x Ỵ[a, b].
- Để chứng minh công thức (1) giáo viên hướng dẫn học sinh xét 3 trường hợp.
a) f(x) ³ g(x) ³ 0
b) g(x) £ 0 £ f(x)
c) g(x) £ f(x) £ 0
- Sau đó liên hệ với bài toán 1 để cho kết quả.
Chú ý :
Bài toán 1 là trường hợp đặc biệt của bài toán 2 khi g(x) = 0.
. Thí dụ 1
- ta chọn hệ trục sao cho đường tròn có phương trình : x2 + y2 = R2
Û y = ± 
- y = là pt cung tròn trên Ox.
y = - là pt cung tròn dưới Ox.
- Để tính 
đổi biến số x = Rsint
- Chú ý : cũng có thể giải bài toán này bằng cách dùng bài toán 1.
S = 4 
. Thí dụ 2
Học sinh tự giải tương tự như thí dụ 1.
Củng cố
* Cho học sinh viết công thức tính diện tích các hình sau đây ?
Chuẩn bị tiết sau
* Yêu cầu học sinh nắm vững nội dung 2 bài toán 1 và 2.
* Chuẩn bị các bài tập mà giáo viên đã ra, tiết sau luyện tập.
Nội dung
Phương pháp
Tiết 67
II. THỂ TÍCH CỦA CÁC VẬT THỂ
1. Công thức tính thể tích :
Giả sử vật thể (T) nằm trọn giữa hai mặt phẳng song song a và b.
Ta chọn trục Ox sao cho nó vuông góc tại a và b (a < b).
Giả sử mp g ^ Ox cắt Ox tại điểm có hoành độ x. 
x Ỵ[a,b]
Giả sử rằng thiết diện của mp g và (T) có diện tích S(x) mà ta có thể xem là một hàm số của x trên [a,b]. Giả thiết thêm rằng S(x) là hàm số liên tục trên [a,b]
Thể tích vật thể (T) là :
2. Thể tích hình nón, hình chóp, hình nón cụt, hình chóp cụt
a) Thể tích hình chóp
- Lập công thức tính thể tích hình chóp có diện tích đáy B và chiều cao h?
chọn đường cao SO làm Ox. Gốc tọa độ º chân đường cao.
- Lấy x Ỵ[0, h] tính được S(x) = 
V = 
Phương pháp 
- Không chứng minh, chỉ hướng dẫn để học sinh hiểu được nội dung công thức.
- Chú ý các giả thiết :
+ (T) nằm trọn giữa 2 mp ^ Ox và cắt Ox tại a và b.
+ S(x) là gì ?
+ S(x) phải là hàm số liên tục / [a, b]
x
a
(T)
x
z
y
a
b
g
b
- Hướng dẫn chọn trục Ox.
- Lấy x Ỵ [O, h] hãy tính S(x)
- Chú ý : 
- Để tính ta đặt t = h – x
Chú ý :
Bằng cách làm tương tự ta cũng chứng minh được thể tích hàm nói trên là :
V = B.h
b. Thể tích hình nón cụt
- Lập công thức tính thể tích hình chóp cụt có diện tích 2 đáy là B và B’, chiều cao là h.
Giải
. x Ỵ [0, h]
. S(x) = B.
. V = 
... V = 
- Đặt SO = 
Chọn trục hoành là SO như phần trên 
- Lấy xỴ[0,h] tính S(x)?
- Khử như sau :
Chú ý :
- Từ đó khử được đi đến kết quả
Chú ý :
Tương tự như vậy ta cũng thiết lập được công thức tính thể tích nón cụt là :
V = 
Củng cố
Phương pháp tính thể tích khối (T)
- Đặt (T) nằm trọn giữa 2 mp song song a, b.
- Chọn Ox sao cho Ox vuông góc a, b tại a và b.
- Lấy x Ỵ [ a,b] tính S(x)
áp dụng V = 
Chuẩn bị tiết sau
- Học sinh xem lại khái niệm vật thể tròn xoay.
Đọc trước bài thể tích vật tròn xoay
Tiết 68
3. Thể tích vật tròn xoay
	Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi (C) : y = f(x). Các đường thẳng x = a, x = b và trục Ox.
	Thể tích vật tròn xoay được tạo thành do quay (H) một vòng quanh Ox là :
 (1)
- Gọi học sinh nhắc lại phương pháp tìnhthể tích của một vật thể bất kì ?
- Lấy x Ỵ [a,b], thiết diện tạo bởi mp qua x và ^ Ox là hình tròn có bán kính R = |f(x)|
- S(x) = 
- V = 
a
b
(C)
x
y
Thí dụ
Tính thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình phẳng được giới hạn bởi 
(C) : y = sinx (0 £ x £ p)
Chú ý
Xét đường cong (C) : y = g(y) trong đó g(y) là hàm số liên tục / [a, b]. Thì thể tích vật tròn xoay tạo ra do quay hình phẳng được giới hạn bởi (C), các đường thẳng y = a, y = b và trục Oy là :
 (2)
a
b
x
y
O
x = f(y)
4. Thể tích hình cầu
	Tính thể tích hình cầu có bán kính R
Xét (C) : x2 + y = R2
V = 
V = 
. Chú ý Để tính thể tích của vật tròn xoay cần biết phương trình của đường sinh.
(C) : y = f(x)
- Hướng dẫn học sinh học phần cần tính diện tích.
- V = 
- Cho học sinh tính tích phân ?  V = 
- Đặt vấn đề :
Do Ox và Oy có vai trò như nhau nên khi quay hình phẳng được giới hạn bởi :
(C) : x = g(y) các đường thẳng y = a, y = b, Oy. Quanh Oy thì vật thể tròn xoay sinh ra có thể tính như thế nào?
- Cho học sinh tự giải thí dụ :
Tính thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Oy của hình giới hạn bởi các đường y = , y = 2, y = 4 và x = 0.
Giải :
V = 
Hướng dẫn
Hình cầu được sinh ra do quay hình tròn được giới hạn (C) : x2 + y2 = R2 1 vòng quanh Ox, hoặc quanh Oy.
. Do đó R
V = hoặc V = 
-R
R
y
x
Củng cố
* Để tính thể tích của vật tròn xoay cần phải biết phương trình của đường sinh.
* Trong hai công thức (1) và (2) công thức (1) thường dùng hơn.
* Thử tìm lại thể tích hình nón có BK đáy R và chiều cao h.
Chuẩn bị tiết sau
Học sinh chuẩn bị bài tập trong sách giáo khoa.
Nội dung
Phương pháp
Tiết 72
BÀI TẬP THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY
Bài 1
Tính thể tích của vật tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay quanh trục Ox.
a) y = 0 , y 2x – x2
b) y = cosx, y = 0 , x = 0, x = 
c) y = sin2x , y = 0 , x = 0, x = p
d) y = x., y = 0 , x = 0, x = 1
Kết quả a) , b) 
 c) , b) 
- Cho học sinh nhắc lại nội dung các công thức tính thể tích vật thể tròn xoay:
V = 
- Các câu a) , b) , c), d) chỉ dùng công thức
	V = 
. Câu a) cho học sinh xđ giao điểm (C) và Ox 
. Cho học sinh lên bảng sửa chữa câu a), b). Các câu c), d) học sinh giải tương tự ở nhà.
Bài 2
Tính thể tích hình êlipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình êlip
-a
a
y
x
-b
b
 khi nó quay xung quanh
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Kết quả 
a) VOx = 
b) VOy = 
Hướng dẫn 
a)
b) 
Chú ý Những phương trình
ta chỉ cần tìm y theo x hoặc x2 theo y chứ không cần phải xác định cụ thể x, y?
Bài 3
Tínhthể tích hình tròn xoay khi quay 1 vòng quanh Ox hình phẳng được giới hạn bởi các đường :
y = x2 và y = 2x
	V1 = 
	V2 = 
	V3 = 
Hướng dẫn 
- Gọi V1 là thể tích hình tròn xoay tạo thành khi quay hình gh bởi : y = 2x, x = 2, y = 0
(hình nón)
- Gọi V2 là thể tích hình tròn xoay tạo thành khi quay hình gh bởi y = x32, y = 0, x = 2
- Vậy V = V1 – V2
Cho học sinh tính V1, V2 ?
y = g(x)
b
a
Củng cố
* Học sinh cần nắm vững các công thức :
V = 
* Khái quát bài toán 3:
Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục /[a,b] với f(x) ³ g(x)
, thể tích hình tròn xoay được tạo thành do quay hình (H) giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x).
Các đường thẳng x = a, x = b là :
y
x
y = f(x)
Bổ túc
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường :
x = a, x = b (a < b), y = 0, y = f(x)
(f(x) ³0 . Ta có đl sau :
Định lí: 
Thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (H) quay xung quanh Oy được tính theo công thức:
Dặn dò:
Chuẩn bị tiết sau
* Học sinh xem lại:
- Các phương pháp tính tích phân.
- Diện tích hình phẳng.
- Thể tích vật tròn xoay.
* Chuẩn bị các bài tập giáo viên đã ra.
Rút kinh nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .