Giáo án môn Giải tích 12 - Phần ôn tập chủ đề 1: Đạo hàm – giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

PHẦN ÔN TẬP
CHỦ ĐỀ 1: ĐẠO HÀM – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT
I. YÊU CẦU VÀ TRỌNG TÂM ÔN TẬP :
	- Đạo hàm tại 1 điểm.
	- Các qui tắc và công thức đạo hàm.
	- Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
	- Áp dụng đạo hàm vào việc chứng minh bất đẳng thức.
II. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
	- Học sinh tự ôn lại lí thuyết.
	- Qua bài tập, giáo viên hệ thống lại giáo khoa, chỉ ra phương pháp giải toán.
NỘI DUNG
PHƯƠNG PHÁP
Bài 1
	Chứng minh rằng:
1) Với hs y = 3 + ta có : xy’+ y = 0
2) Với hs y = x sinx ta có:
xy – 2(y’ – sinx) + xy” = 0
3) Với hs y = (x + 1) ex ta có:
	y’ – y = ex
5) Với hs y = esinx ta có:
	y’.cosx = ysinx = y” = 0
- Học sinh chỉ cần tính y’, y”  sau đó đẳng thức cần chứng minh là đúng tức là chứng tỏ:
- Nhắc lại các công thức :
	(u.v)’, , (e”)’ 
Bài 2
Cho hàm số 
1) Hãy tính y’(x)
	- Tại x ¹ 0
	- Tại x = 0
Từ kết quả đó hãy suy ra hàm số luôn đồng biến.
2) Cho y0 Ỵ(-1; 1) hãy tìm x0 sao cho y(x0) = y0
3) Chứng minh tập giá trị của y là khoảng (-1; 1)
1) Tại x ¹ 0
. x > 0 
. Tại x = 0
Dy = y(0 + Dx) – y(0) = 
Củng cố 
- Nhấn mạnh lại định nghĩa và cách tính đạo hàm tại một điểm.
- Định nghĩa tập giá trị của hàm số.
Cho hs y = f(x) có mxd D
Jmf {y/phương trình y = f(x) có nghiệm Ỵ D}
Bài 3 Cho hàm số y = x + 
1) Chứng minh 
2) Tính y’, chứng tỏ hàm số y luôn đồng biến.
2) Cần tìm x0 : 
Cần xét 2 trường hợp x0 ³ 0 , x0 < 0
Tìm được x0 = 
3) Ta có : "y0Ỵ (-1)1) đều $x0
Do đó tập giá trị của y là (-1, 1).
1) Tính các giới hạn hnày bằng cách nhân lượng hỗn hợp.
2) Ta có 
Do đó 
Bài 4
1) Tùy theo các giá trị khác nhau của a, hãy chỉ ra tập xác định của hàm số y = Ln(x + )
2) Tính y’
1) Để tìm mmiền xác định của hàm số cần xét các trường hợp a > 0, a = 0, a < 0.
Chú ý:
Trường hợp a < 0 ta đặt a = -a2
 Sau đó xét đk để: (a > 0)
 xđ Û |x| ³ a
Kết quả 
1) Nếu a > 0 D = 
	Nếu a = 0 D = \{0}
	Nếu a < 0 D = 
2) y’ = 
Sau đó xét 2 trường hợp:
1) x ³ a
2) x ³ - a
Bài 5 Cho hàm số 
	y = với a ³ 0
1) Với a = 0, hãy tìm tập xác định của hàm số.
2) Tính đạo hàm y’ của hàm số đã cho.
3) Tính y2, từ đó suy ra rằng hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi : 
1) a = 0 y = 
	Hs xđ Û 
3) y2 2a + t + 2 
với t = sinx + cosx
Dấu = xảy ra Û t = sinx + cosx 
Kết quả
1) 2kp £ x £ 
2) 
3)  
Bài 6 Hãy sử dụng phép quy nạp, chứng minh rằng khi x > 0 thì : 
. Nhắc lại phương pháp quy nạp.
. Phương pháp chứng minh BĐT bằng đạo hàm. Giả sử cần chứng minh:
	f(x) > y(x) "x Ỵ (a, b)
- Ta hãy xác định hàm số phụ.
	j(x) = F(x) – g(x)
- Khảo sát tính đơn điệu, cực trị của hàm số j từ đó suy ra (đcm)
Bài 7
	Nhà máy cá hộp sản xuất những hộp hình trụ đựng cá (kín 2 đầu) mà thể tích là V(cm3). Muố cho tốn ít vật liệu ít vật liệu nhất thì các kích thước của hình hộp phải như thế nào?
Kết quả
	Nhận xét : y = 2x
. Nhận xét:
- Muốn tốn ít vật liệu nhất thì Stp phải nhỏ nhất.
- Gọi x, y là bk đáy và chiều cao.
- Stp = 2px(x + y)
Do v = p x2y Þ y = 
- S = 
Nhắc lại phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 đoạn.
Bài 8
	Người ta muốn làm những thùng bằng tôn hình hộp đứng, đáy vuông, không nắp có thể tích 32 bit. Tính kích thưó7c của thùng sao cho khi làm tốn ít vật liệu nhất.
Kết quả 
Cạnh đáy 4 dm
Chiều cao 2 dm
. Nhận xét:
- Muốn tốn ít vật liệu nhất thì Sxq cộng đường thẳng 1 đáy phải nhỏ nhất.
- Gọi x, y là chiều cao và cạnh đáy hình hộp.
- S = x2 + 4 xy = x2 + 
- Hs tìm GINN của hàm số như trên.
Củng cố
Nhấn mạnh lại:
1) Phương pháp chứng minh BĐT bằng đạo hàm.
CMR: f(x) > g(x) 
2) Phương pháp tìm GIÁ TRỊ lớn nhất, GTNN của hàm số trên một khoảng, một đoạn,  
Bài 9
Cho hệ phương trình: 
1) Giải hệ khi a = 1
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm.
3) Giả sử hệ có nghiê5m (x, y). Xác định a để biệu thức :
	x2 + y2 – xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Kết quả 
1) Hệ vô nghiệm 2) 3) 
1) a = 1 
Bằng phép thế Þ hệ VN
2) Bằng cách thay y = -x + 2a + 1 vào (2) ta được một phương trình bật hai điều kiện để hệ có nghiệm là hệ phương trình bậc 2 phải có nghiệm.
3) Ta có :
x2 + y2 –xy = a2 –2a + 1
Ta phải định a để hàm số f(a) = a2 – 2a + 1
	 đạt giá trị nhỏ nhất.
-
0
-1/
+¥
+¥
+¥
-¥
f(m)
f’(m)
m
Bài 10
Cho phương trình bậc hai:
	x = 2(m + 1)x – m(m – 2) = 0 (m Ỵ)
1) CMR: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
2) Hãy tìm hệ thúc liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc m.
3) Định m để nghiệm lớn nhất của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.
Kết quả 
2) x1x2 = - 
3) 
1) Chứng minh D’>0 "m
2) Theo định lí viet ta có:
3) Nghiệm lớn nhất 
	x2 = f(m) = m + 1 + 
. Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên :
1+
Củng cố 
	Ở các bài tập dạng BT9 và BT10. Khi định giá trị tham số m để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 đạt GTLN, GTNN thì trước hết cần phải định đk của tham số để $x1, x2.