Giáo án Giải tích tổ hợp - Xác suất: Phương trình , bất phương trình , hệ phương trình chứa Pn, Pkn, Ckn

Phần 1
phương trình , bất phương trình , hệ phương trình chứa , , 
Với 
ã Pn là số các hoán vị của n phần tử : Pn = n! = 1.2.3n
ã là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử : = ( 0 ≤ k ≤ n )
ã là số các tổ hợp chập k của n phần tử : = ( 0 ≤ k ≤ n )
I/ Phương pháp
Tiến hành theo các bước sau : 
ã Bước 1 : Đặt điều kiện cho các biểu thức , , 
+ Đối với : thì điều kiện : n là số nguyên dương (n ≥ 1 , n ẻ N)
+ Đối với : và thì điều kiện : 
ã Bước 2 : Dùng các công thức sau để rút gọn : 
+ Pn = n! = 1.2.3n
+ = ( 0 ≤ k ≤ n )
+ = ( 0 ≤ k ≤ n )
ã Bước 3 : Sau khi rút gọn ta đưa về phương trình , bất phương trình , hệ phương trình 
 đã biết cách giải . Giải và tìm nghiệm thích hợp với điều kiện .
ã Bước 4 : Kết luận 
ăChú ý : Đối với hệ phương trình ta có thể giải theo phương pháp đặt ẩn phụ .
II/ Bài tập 
Bài 1 : Giải các phương trình sau : 
1/ 
6/ 
2/ 
7/ 
3/ 3
8/ 
4/ 
9/ 
5/ 
10/ 
Giải
1/ 
ã Điều kiện : n ≥ 3 , n ẻ N
ã Pt đã cho Û Û (n-2)(n-1) = 30 Û 
ã Vậy nghiệm của phương trình là : n = 7 
2/ 
ã Điều kiện : Û n Ê 12 , n ẻ N .
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : n2 – 12n + 32 = 0 Û (thoả mãn)
3/ 
ã Điều kiện : n ≥ 2 , n ẻ N
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : n2 – 15n = 0 Û 
4/ 
ã Điều kiện : n ≥ 5 , n ẻ N
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : n2 – 9n – 22 = 0 Û 
5/ 
ã Điều kiện : n ≥ 3 , n ẻ N
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : n3 – n – 60 = 0 Û (n- 4)(n2 + 4n + 15) = 0 
 Û n = 4 
6/ 
ã Điều kiện : n ≥ 2 , n ẻ N
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : 8n3 + 9n2 – 3n = 0 Û 
 (Vô nghiệm) .
7/ 
ã Điều kiện : x ≥ 3 , n ẻ N
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : x(x2 – 9x + 14) = 0 Û x = 0 ; x = 7 ; x = 2 
 Û x = 7 
8/ 
ã Điều kiện : 0 Ê x Ê 5 , x ẻ N 
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : x2 – 14x + 33 = 0 Û Û x=3
9/ 
ã Điều kiện : x ≥ 2 , x ẻ N
ã Sau khi biến đổi , ta được phương trình : (x! - 6)(x2 – x – 12) = 0 
 Û Û x = 3 , x = 4 
10/ 
ã Điều kiện : n ẻ N
ã Sau khi biến đổi , ta được nghiệm của phương trình : n = 12
 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 
1/ 
3/ 
2/ 
4/ 
5/ 
Đáp số 
1/ x = 2
3/ n = 5
2/ x = 5 ; x = 9
4/ x = 3 ; x = 6
5/ x = 3 ; x = 4
Bài 3 : Giải các bất phương trình sau : 
1/ 
2/ 
Giải 
1/ 
ã Điều kiện : x ≥ 2 , x ẻ N (*) 
ã Biến đổi bpt đã cho Û x2+ x - 72 Ê 0 Û -9 Ê x Ê 8 , giao với (*) được : 
2/ 
ã Điều kiện : x ≥ 3 , x ẻ N (*) 
ã Biến đổi bpt đã cho Û x2- 9x + 14 Ê 0 Û 2 Ê x Ê 7 , giao với (*) được : 
Bài 4 : Giải các bất phương trình sau : 
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
Đáp số 
1/ 
2/ Û x = 3 ; x = 4
3/ 
4/ 
Bài 5 : Giải các hệ phương trình sau : 
1/ 
2/ 
Giải
1/ 
ã Điều kiện : 0 < y Ê x , x ; y ẻ N (*) 
ã Đặt : u = ; v = . Ta được : u = 20 ; v = 10 
ã Ta có : u = v.y! Û y! = 2 Û y = 2 ị x2 – x – 20 = 0 Û x = 5 ; x = - 4 (loại) 
Vậy nghiệm của hệ pt là : 
2/ 
ã Điều kiện : 0 Ê y Ê x , x ; y ẻ N (*) 
ã Đưa về hệ pt sau : Û Û (thoả mãn)
Bài 6 : Giải các hệ phương trình sau : 
1/ 
2/ 
3/ 
Đáp số
1/ x = 5 , y = 2
2/ Gợi ý : 
+ ĐK : x ≥ 2 ; x ≥ y ; x , y ẻ N
+ u = ; v = 
+ Nghiệm : x = 4 ; y = 2
3/ x = 5 ; y = 4
Phần 2
Nhị thức newton 
và các dạng toán liên quan
I/ Lý thuyết chung
1/ Dạng khai triển : 
 (a + b)n = 
2/ Một số nhận xét trong khai triển nhị thức Newton
*/ Trong khai triển có n + 1 số hạng .
*/ Trong khai triển số mũ của a giảm dần từ n xuống 0 , số mũ của b tăng 
 dần từ 0 đến n nhưng luôn đảm bảo tổng số mũ của a và b trong mỗi số 
 hạng luôn bằng n .
*/ Số hạng tổng quát (số hạng đứng thứ k + 1 trong khai triển ) : 
	( 0 ≤ k ≤ n )
*/ Số hạng đứng giữa trong khai triển 
 +/ Nếu n lẻ thì số hạng đứng thứ : và + 1 trong khai triển là hai số 
 hạng đứng giữa .
 +/ Nếu n chẵn thì số hạng đứng thứ + 1 trong khai triển là số hạng đứng giữa 
 */ Tổng các hệ số trong khai triển (ax + b)n là : (a + b)n với a , b ẻ R .
 (Cho x = 1)
3/ Một số khai triển đặc biệt của nhị thức Newton
* Dạng 1 : (1 + x)n = 
* Dạng 2 : (1 - x)n = 
 Thay x = 1 ; x = - 1 vào Dạng 1 , ta được :
 + ) = 2n
 + ) = 0 
II/ Các dạng toán hay gặp
Xác định hệ số hoặc số hạng 
trong một khai triển
A- Phương pháp 
*/ Bước 1 : Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển : 
*/ Bước 2 : Tìm hệ số của xm ta làm như sau :
+/ Nhóm x vào và cho số mũ của x bằng m đ Tìm đuợc k 
+/ Thay k vào ta được hệ số 
*/ Bước 3 : Tìm số hạng thứ m trong khai triển , ta làm như sau : 
+/ Ta cho k + 1 = m đ k = m – 1 
+/ Tìm được k ta tìm được số hạng thứ m .
Chú ý : Để tìm số hạng không chứa x (Số hạng độc lập với x ) trong khai triển ta làm như trên và cho số mũ của x bằng 0 đ Tìm được k 
B - Bài tập áp dụng
1/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức : (1 + x)19 (k = 7)
8/Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức 
 biết 
(n = 12 ; k = 8)
2/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (k = 10)
9/Cho khai triển . Cho biết tổng ba hệ số đầu tiên của khai triển bằng 79 . Tìm số hạng chứa x4 (n = 12 , k = 4)
3/ Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển 
 ( k = 6)
10/Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển 
 (số hạng đứng thứ 6)
4/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biết 
(n = 7 ; k = 4)
11/ Cho khai triển 
(x+1)(x+2)15 = a0 + a1x + a2x2 +  + a16x16
Tìm hệ số a10 (a10 = )
5/ Tìm các số hạng chứa x3 trong khai triển 
(1+ x + x2)10
12/ Cho khai triển 
(x+2)4(x+1)5 = a0 + a1x + a2x2 +  + a9x9
Tìm hệ số a6
Giải 
1/
ã Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : Uk+1 = .xk ( 0 Ê k Ê 19)
ã Hệ số của x7 ứng với k = 7 ị Hệ số của x7 là 
2/ 
ã Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : Uk+1 = 2k.. (0 Ê k Ê 15)
ã Số hạng không chứa x ứng với : Û k = 10
ã Vậy hệ số cần tìm là : .210
5/ 
ã Viết lại : (1+ x + x2)10 = [ 1+(x + x2) ]10 = [ 1 + x.(1 + x) ]10
ã Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : Uk+1 = .xk(1 + x)k ( 0 Ê k Ê 10)
ã Ta lại có : (1 + x)k = (0 Ê m Ê k ) 
 ị Uk+1 = . 
ã Theo giả thiết , ta có : m + k = 3 , m , k ẻ Z và 0 Ê m Ê k . Do đó , ta chọn : 
+ m = 0 , k = 3 
+ m = 1 , k = 2 
Vậy hệ số của x3 trong khai triển là : + .
12/ 
ã Viết (x+2)4(x+1)5 = = 
ã Ta thấy hệ số a6 là hệ số của x6 , do đó ta có : 
ã Chọn : 
m
2
3
4
5
k
4
3
2
1
Vậy hệ số phải tìm là : a6 = ..20 + ..21 + ..22 + ..23 = 242
tính tổng các hệ số trong 
một khai triển
A - Phương pháp 
1. Dạng 1 
 (ax + b)n = .an.xn + .an-1.b.xn-1 +  + .an-k.bk.xn-k +  + .bn
ã Tổng các hệ số trong khai triển là : 
 S = .an + .an-1.b +  + .an-k.bk +  + 
ã Cho x = 1 , ta được S = (a + b)n 
2. Dạng 2 
ã (1 + x)n = 
 ị S = = 2n ( Cho x = 1)
ã (1 - x)n = 
 ị S = = 0 ( Cho x = 1)
* Chú ý : Khi tính tổng các hệ số trong khai triển ta cho tất cả các ẩn bằng 1 .
B - Bài tập
1/ Tính tổng các hệ số trong các khai triển sau : 
a/ (x + 2)10 
c/ (2x + 3y)2009
e/ (1 – 2x)24
b/ (2x – 5)15 
d/ (x - )5
f/ (x + 3x2)19
Đáp số 
a/ S = 310
c/ S = 52009
e/ S = 1
b/ S = - 315
d/ S = 0
f/ S = 419
2/ Cho khai triển : (x+1)(x+2)15 = a0 + a1x + a2x2 +  + a16x16
 Tính tổng : S = a0 + a1 + a2 +  + a16
3/ Cho khai triển : (x+2)4(x+1)5 = a0 + a1x + a2x2 +  + a9x9
 Tính tổng : S = a0 + a1 + a2 +  + a9
Đáp số 
2/ S = 2.315
3/ S = 34.25 
tính tổng và chứng minh đẳng thức tổ hợp 
A - Lý thuyết
Dạng 1 : Chọn khai triển (x + b)n , sau đó chọn x = a 
1/Nhận dạng 
ã Mỗi số hạng có dạng hoặc ị Chọn khai triển (x + b)n , sau đó chọn x = a .
ã Đặc biệt khi mỗi số hạng có dạng hoặc ị Chọn khai triển (x + 1)n sau đó chọn x = a . 
2/Bài tập 
Bài 1 : 
1/ Tính tổng 
 Giải 
ã Chọn khai triển (1 + x)n , ta có : 
 (1 + x)n = 
ã Với x = 2 ị S = (1 + 2)n = 3n
2/ Tính tổng 
 ị Chọn khai triển (x+1)2n với x = 5 . 
3/ Tính tổng 
 ị Chọn khai triển (x+1)100 với x = - 2 . 
4/ Tính tổng ị Chọn khai triển (x+1)2n và (x-1)2n 
với x = 1 . 
5/ Tính tổng ị Chọn khai triển (x+1)n và 
(x-1)n với x = 3 .
6/ Tính tổng ị Chọn khai triển (x+1)79 và 
(x-1)79 với x = 2 .
Bài 2 : Chứng minh rằng
1/ ị Chọn khai triển (x + 3)n , sau đó chọn x = 2 .
2/ 
 ị Chọn khai triển (x + )n , sau đó chọn x = 2 .
3/ S = là một số chính phương ị S = (2n - 1)2
Dạng 2 : Dùng đạo hàm cấp 1 , cấp 2
1/ Nhận dạng 
ã Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp một . 
ã Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dương liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp hai ; hoặc tổng đó mất hoặc 
2/ Phương pháp 
ã Bước 1 : Chọn khai triển (x + b)n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng 
ã Bước 2 : Lờy đạo hàm cấp 1 , cấp 2 .
ã Bước 3 : Chọn x = a ị Kết quả
3/ Bài tập 
Bài 1 : Tính các tổng sau : 
1/ 
Giải
ã Chọn khai triển (x+1)n , ta được : 
 (1 + x)n = 
ã Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta được : 
 n(1 + x)n – 1 = 0 + 1.x0. + 2.x1. +  + n.xn – 1.
ã Chọn x = 2 , ta được : S = n(1 + 2)n – 1 = n.3n - 1
2/ ị Chọn khai triển (x+3)n , lấy đạo hàm cấp 1 và chọn x = 1 . 
3/ 
Giải
ã Chọn khai triển (1 + x)n , ta được : 
 (1 + x)n = 
ã Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta được : 
 n(1 + x)n – 1 = 0 + 1.x0. + 2.x1. + 3.x2. + 4.x3. +  + n.xn – 1. (*) 
ã Lấy đạo hàm cấp 2 cả hai vế của (*) , ta được : 
 n.(n – 1).(1 + x)n – 1 = 0 + 1.2.x0. + 2.3.x1. + 3.4.x2. +  + (n – 1)n.xn – 2. 
ã Chọn x = 1 , ta được : S = (n – 1).n.2n - 1 
4/ ị Chọn khai triển (x+1)200 , lấy đạo hàm cấp 1; cấp 2 và chọn x = - 3 . 
5/ 
Gợi ý : Phân tích 12 = 1.1 ; 22 = 2.2 = 2.(1+1) ; 32 = 3.3 = 3(1 + 2) ; . . . sau đó phân tích S = S1 + S2 
6/ 
Gợi ý : Phân tích 2 = 1 + 1 ; 3 = 1 + 2 ; ; 101 = 1 + 100 , sau đó phân tích S = S1 + S2 
Bài 2 : Chứng minh các đẳng thức sau : 
1/ 
2/ 
Gợi ý : Chọn khai triển (x+1)100 , lấy đạo hàm cấp 1 , thay x = 2 , x = - 2 . 
 Lấy (1) – (2) ta được kết quả . 
Bài 3 : 1/ Tìm số nguyên dương n thoả mãn : 
Gợi ý : Chọn khai triển (x+1)2n+1 , lấy đạo hàm cấp 1và chọn x = - 2 . (n = 1002)
2/ Tìm số nguyên dương n thoả mãn : 
Gợi ý : Chọn khai triển (x+1)2n , lấy đạo hàm cấp 1và chọn x = - 2 . (n = 1003)
Dạng 3 : Dùng tích phân
1/ Nhận dạng
 Khi mỗi số hạng có mẫu số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng tích phân .
2/ Các bước giải 
ã Bước 1 : Thường gặp số hạng tổng quát có dạng : thì ta chọn khai triển (x + b)n = 
ã Bước 2 : Lấy tích phân với cận : 
ã Bước 3 : Tính giá trị của mỗi vế ị Kết quả
3/ Bài tập 
Bài 1 : Tính các tổng sau : 
1/ 
Giải
ã Chọn khai triển (1+ x)n , ta được : 
 (1 + x)n = 
ã Lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 , ta được : 
 Û = 
 Û 
 Vậy S = 
2/ 
 ị Chọn khai triển (1+ x)n và lấy tích phân cận từ 0 đến 2 . 
3/ 
 ị Chọn khai triển (x-1)100 và lấy tích phân cận từ 0 đến 3 . 
4/ 
 ị Chọn khai triển (x-1)100 và (x+1)100 lấy tích phân cận từ 0 đến 2 . 
Bài 2 : Chứng minh rằng
1/ 
 ị Chọn khai triển (1+ x)n và lấy tích phân cận từ 0 đến 1 . 
2/ 
 ị Chọn khai triển (2 + x)n và lấy tích phân cận từ 1 đến 3 . 
3/ 
 ị Chọn khai triển (x-1)2n và lấy tích phân cận từ 0 đến 2 . 
4/ 
 ị Chọn khai triển ( x +3 )100 và (x - 3)100 và lấy tích phân cận từ 0 đến 2 . 
5/ 1 + ++++... + = 
ị Chọn khai triển (1 + x)n và lấy tích phân với cận từ 0 đến 1 .
6/ -+- +... + = 
 ị Chọn khai triển (1- x)n và lấy tích phân với cận từ 0 đến 1 .
Phần 3
Các quy tắc đếm cơ bản
Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
 ...  hiện là một số nguyên tố ” .
ã Tập mô tả B là : WB = {2 , 3 , 5} ị Số kết quả thuận lợi cho B là : ữ WBữ = 3 
 ị Xác suất của A là : P(B) = = = 0,5 .
Ví dụ 2 : 
 “ Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất ” . Tính xác suất để :
a/ Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn .
b/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 .
Giải
 Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : ữ Wữ = 62 = 36 .
a/ 
ã Gọi A là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn ” .
ã Tập mô tả A là : WA = {(2,2) ; (2,4) ; (4,2) ; (2,6) ; (6,2) ; (4,6) ; (6,4) ; (6,6) } 
 ị Số kết quả thuận lợi cho A là : ữ WAữ = 8 . 
 ị Xác suất của A là : P(A) = = 
b/ 
ã Gọi B là biến cố : “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 ” .
ã Tập mô tả A là : WA = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3) } 
 ị Số kết quả thuận lợi cho A là : ữ WAữ = 6 . 
 ị Xác suất của A là : P(A) = = 
Bài tập áp dụng
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9 . Tính xác suất để : 
1/ Số được chọn là số nguyên tố . 
2/ Số được chọn chia hết cho 3 .
Giải
ã Không gian mẫu : W = {1,2,3,4,5,6,7,8}
 ị Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : ữ Wữ = 8 .
1/ 
ã Gọi A là biến cố : “số được chọn là số nguyên tố ” 
ã Tập mô tả A là : WA = {2,3,5,7} 
 ị Số kết quả thuận lợi cho A là : ữ WAữ = 4 . 
 ị Xác suất của A là : P(A) = = = 0,5
2/ 
ã Gọi B là biến cố : “số được chọn chia hết cho 3 ” 
ã Tập mô tả A là : WB = {3,6} 
 ị Số kết quả thuận lợi cho B là : ữ WBữ = 2 . 
 ị Xác suất của B là : P(B) = = = 0,25 .
Bài 2 : “ Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất ” . Tính xác suất để :
a/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc Ê 7 .
b/ Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
c/ Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
Giải
 Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : ữ Wữ = 62 = 36 .
a/ 
ã Gọi A là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn ” .
ã Tập mô tả A là : WA = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (5,1) ; (5,2)} 
 ị Số kết quả thuận lợi cho A là : ữ WAữ = 21 . 
 ị Xác suất của A là : P(A) = = 
b/ 
ã Gọi B là biến cố : “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” .
ã Tập mô tả B là : 
 WB = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) } 
 ị Số kết quả thuận lợi cho B là : ữ WBữ = 10 . 
 ị Xác suất của B là : P(B) = = .
c/ 
ã Gọi C là biến cố : “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” .
Có hai khả nẳng xảy ra : 
+ Có một con xuất hiện mặt 6 chấm .
+ Cả hai con xuất hiện mặt 6 chấm .
ã Tập mô tả C là : 
 WC = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) ; (6;6) } 
 ị Số kết quả thuận lợi cho C là : ữ WCữ = 11 . 
 ị Xác suất của C là : P(C) = .
Bài 3 : Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong danh sách 20 người được đánh số từ 1 đến 20 . Tính xác xuất để năm người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 .
Giải
ã Số kết quả có thể sảy ra là số cách chọn 5 người bất kì trong 20 người . 
 Vậy ữ Wữ = .
ã Gọi A là biến cố : “ 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 ” 
ị Số kết quả thuận lợi cho A là số cách chọn 5 trong 10 người có số thứ tự từ 1 đến 10 . 
 Vậy ữ WAữ = . 
 Khi đó xác suất của A là : P(A) = .
Bài 4 : Một hộp đựng 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh . Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu . Tính xác xuất để trong 4 quả đó có cả đỏ và xanh . 
Giải
ã Tổng số quả cầu trong hộp là : 10 quả 
ã Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là số cách chọn ngẫu nhiên 4 quả trong 10 quả . 
 Vậy : ữ Wữ = 
ã Gọi A là biến cố : “ Bốn quả được chọn ra có cả đỏ và xanh ” .
Ta tìm số kết quả thuận lợi cho A tức là số cách chọn ra 4 quả có cả đỏ và xanh .
+ Trường hợp 1 : Chọn 1 đỏ và 3 xanh ị Có . cách chọn . 
+ Trường hợp 2 : Chọn 2 đỏ và 2 xanh ị Có . cách chọn . 
+ Trường hợp 3 : Chọn 3 đỏ và 1 xanh ị Có . cách chọn . 
 ị Số kết quả thuận lợi cho A là : ữ WAữ = . + . + .
 Vậy P(A) = = .
Bài 5 : “ Gieo đồng thời ba con súc sắc cân đối đồng chất ” . Tính xác suất để tổng số nút xuất hiện trên mặt ba con là 8 . 
Đáp số P(A) = = 
Bài 6 : Ba cửa hàng bán xe máy như nhau . Có 3 người khách A1 , A2 , A3 độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe . Tính xác suất để : 
1/ Ba người vào cùng một cửa hàng .
2/ Hai người khách cùng vào một cửa hàng , người kia vào cửa hàng kia . 
Giải
 Ta đánh số ba cửa hàng là : 1 , 2 , 3 .
ã Ba người khách A , B , C độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe nên số khả năng có thể xảy ra là : 33 = 27 
 Có thể liệt kê như sau : W = {(1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) ,  , (3,3,3)} .
1/ Gọi A là biến cố : “ Ba người vào cùng một cửa hàng ” ị Số kết quả thuận lợi cho A là : ữ WAữ = 3 ( Có 3 khả năng là (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) ) .
 ị P(A) = = .
2/ Gọi B là biến cố : “Hai người khách cùng vào một cửa hàng , người kia vào cửa hàng kia” . Số kết quả thuận lợi cho B chính là số cách chọn hai người vào cùng một cửa hàng và người còn lại vào cửa hàng kia .
Ta chia các trường hợp sau : 
ã Trường hợp 1 : (1,1,2) tức là 2 người vào cửa hàng 1 , một người vào cửa hàng 2 .
Có 3 cách chọn trường hợp này .
+ A1 , A2 vào của hàng 1 và A3 vào cửa hàng 2 .
+ A1 , A3 vào của hàng 1 và A2 vào cửa hàng 2 .
+ A2 , A3 vào của hàng 1 và A1 vào cửa hàng 2 .
Hoàn toàn tương tự : 
ã Trường hợp 2 : (1,1,3) có 3 cách 
ã Trường hợp 3 : (2,2,1) có 3 cách
ã Trường hợp 4 : (2,2,3) có 3 cách
ã Trường hợp 5 : (3,3,1) có 3 cách
ã Trường hợp 6 : (3,3,2) có 3 cách 
Vậy có cả thảy : 6.3 = 18 cách 
 ị P(B) = = .
Bài 7 : Công ty FPT cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 người nộp đơn , trong đó có 4 nam và 2 nữ . Giả sử khả năng ứng cử là như nhau . Tính xác suất để : 
1/ Hai người trúng tuyển là nam . 
2/ Hai người trúng tuyển đều là nữ . 
3/ Hai người trúng tuyển có ít nhất 1 nữ .
Đáp số : 1/ P(A) = ; 2/ P(B) = ; 3/ P(C) = 
III.Biến cố đối 
1/ Định nghĩa 
 Cho A là một biến cố . Khi đó biến cố “ không xảy ra A ”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A . 
Ví dụ : “ Gieo một đồng xu” 
- Xét biến cố A : “ Mặt ngửa xuất hiện ”
 ị Biến cố đối của A là : “ Mặt ngửa không xuất hiện ” 
2/ Nhận xét 
ã Gọi W là không gian mẫu 
ã Gọi WA là tập kết quả thuận lợi cho A 
Khi đó tập kết quả thuận lợi cho là : 
 = W \ WA
W
WA
IV. Quy tắc nhân xác suất
1/ Biến cố giao 
a/ Khái niệm : Cho hai biến cố A và B . Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra ” gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B và kí hiệu là : AB .
 Vậy AB là biến cố : “ Cả A và B cùng xảy ra ” .
b/ Nhận xét : Gọi WA và WB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố giao AB là : WAB = WA ầ WB .
c/ Ví dụ 
 Chọn ngẫu nhiên một em học sinh trong lớp . 
- Gọi A là biến cố : “ Bạn đó là học sinh giỏi Toán ” .
- Gọi B là biến cố : “ Bạn đó là học sinh giỏi Văn ” .
 ị Biến cố giao của A và B là “ Bạn đó học giỏi cả Văn và Toán” . 
Tổng quát 
 Cho k biến cố A1 , A2 ,  , Ak . Khi đó biến cố giao của k biến cố là : “ Tất cả k biến cố A1 , A2 ,  , Ak đều xảy ra ” , kí hiệu : A1A2Ak .
2/ Hai biến cố độc lập 
a/ Khái niệm : Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia . 
b/ Ví dụ 
Xét phép thử T là : “ Gieo hai đồng xu cùng một lúc ” .
- Gọi A là biến cố : “ Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp ”.
- Gọi B là biến cố : “ Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa ”. 
 Khi đó rõ ràng A và B chẳng liên quan gì đến nhau . A và B là hai biến cố độc lập .
c/ Nhận xét 
 Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và ; và B ; và cũng độc lập với nhau .
Tổng quát 
 Cho k biến cố A1 , A2 ,  , Ak ; k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại .
3/ Quy tắc nhân xác suất 
ã Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì : 
P(AB) = P(A).P(B)
ã Nếu A1 ; A2 ; A3 là ba biến cố đôi một độc lập với nhau thì : 
P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2 . Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập : 
1/ Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần .
2/ Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần .
Giải
ã Gọi A1 ; A2 ; A3 là biến cố người đó bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ nhất , thứ hai và thứ ba 
ã Khi đó ; ; là biến cố người đó bắn không bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ nhất , thứ hai và thứ ba . 
ã Theo giả thiết ta có : P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0,2 
 và P() = P() = P() = 1 – 0,2 = 0,8 
1/ Gọi B là biến cố : “ Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần ” . 
 Khi đó : B = A1 ẩ A2 ẩ A3
Vậy P(B) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 + 0,8.0,8.0,2 = 0,384
2/ Gọi C là biến cố : “ Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần ” . 
Nhận xét : Biến cố đối của C là : “ Người đó không bắn trúng hồng tâm lần nào ” 
Khi đó : P() = = 0,8.0,8.0,8 = 0,512 
 ị P(C) = 1 - P() = 1 – 0,512 = 0,488 .
Bài 2 : Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập . Tính xác suất để : 
1/ Cả ba đồng xu đều sấp .
2/ Có ít nhất một đồng xu sấp .
Giải
Do đồng xu cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp (S) và mặt ngửa (N) là bằng nhau 
 P(S) = P(N) = 0,5 .
1/ Gọi A là biến cố : “ Cả ba đồng xu đều sấp ” . Khi đó : A = SSS 
Vậy P(A) = P(SSS) = P(S).P(S).P(S) = 0,53 = 0,125 
2/ Gọi B là biến cố : “ Có ít nhất một đồng xu sấp ” . 
 Như vậy biến cố đối của B là : “ Cả ba đồng xu đều ngửa ” 
 ị P() = P(NNN) = P(N).P(N).P(N) = 0,53 = 0,125 .
Vậy P(B) = 1 - P() = 1 – 0,125 = 0,875
Bài tập tự giải
Bài 1 : Một hộp chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp . Tính xác suất để : 	
1/ Lấy được cả 3 viên bi đỏ .
2/ Lấy được cả 3 viên bi không phải bi đỏ .
3/ Lấy được một viên bi trắng , một đen và một đỏ .
Đáp số 
1/ P(A) = 
2/ P(B) = 
3/ P(C) = 
Bài 2 : Một hộp chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp . Tính xác suất để : 	
1/ Lấy được đúng một viên bi trắng .
2/ Lấy được đúng 2 viên bi trắng .
Đáp số 
1/ P(A) = 
2/ P(B) = 
Bài 3 : Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập {1 , 2 ,  , 11} . Tính xác suất để : 
1/ Tổng ba số được chọn là 12 .
2/ Tổng ba số được chọn là số lẻ .
Đáp số
1/ P(A) = 
2/ P(B) = 
Bài 4 : Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất . Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Xét phương trình : x2 + bx + 2 = 0 (1) . Tính xác suất sao cho :
1/ Pt (1) có nghiệm .
2/ Pt (1) vô nghiệm . 
3/ Pt (1) có nghiệm nguyên . 
Gợi ý 
+ b ẻ {1,2,3,4,5,6} 
+ Tính D = b2 – 8 . Xét dấu của D 
Đáp số
1/ P(A) = 
2/ P(B) = 
3/ P(C) = 
Bài 5 : Có hai hộp chứa quả cầu . Hộp thứ nhất có 6 cầu trắng , 4 đen . Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng , 6 quả đen . Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả . Tính xác suất để : 
1/ Hai quả lấy ra là cùng màu .
2/ Hai quả lấy ra là khác màu .
Đáp số
1/ P(A) = 
2/ P(B) =