Giáo án Giải tích - Chương 1: Đạo hàm

I. Kiến thức cơ bản.
1. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản.
Hàm số
(y = f(x))
Đạo hàm
(y’ = f’(x))
Hàm số
Đạo hàm
y = c
0
y = tanx
y = x
1
y = cotx
y = xn
nxn-1
y = ex
ex
y = 1/x
y = ax 
ax. lna
y = lnx
1/x
y = sinx
cosx
y = logax
y = cosx
-sinx
2. Đạo hàm của hàm hợp.
	Ta xét hàm số y = f(u(x)). Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x như sau
Bảng đạo hàm của hàm số hợp
Hàm số
Đạo hàm
Hàm số
Đạo hàm
y = un
n.un-1.u’
y = tanu
. u’
y = 1/u
y = cotu
. u’
y = eu
u’.eu
y = sinu
u’.cosu
y = au 
u’.au. lna
y = cosu
- u’.sinu
y = lnu
y = logau
Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x.
3. Các phép toán đạo hàm.
	Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x). Khi đó
	*) (u + v)’ = u’ + v’
	*) (u - v)’ = u’ – v’
	*) (uv)’ = u’v + v’u
	*) (ku)’ = k.u’ ( k là hằng số)
	*) 
4. Đạo hàm bậc cao của hàm số.
	Đạo hàm bậc n của hàm số y = f(x) là đạo hàm bậc 1 của đạo hàm bậc n – 1 của hàm số y = f(x) ( n > 1).
II. Các dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số.
Phương pháp. Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp. Nếu yêu cầu tính đạo hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đe được kết quả.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Giải
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
d) Ta có
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tương ứng.
	a) tại x0 = -1.
	b) tại .
	c) tại x0 = 2 .
Giải
a) Ta có
	 suy ra 
b) Ta có
suy ra 
c) Ta có
	 suy ra 
Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	f)	g) 
Giải
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
d) Ta có
e) Ta có
f) Ta có
g) Ta có
2. Dạng 2. Giải phương trình y’ = 0.
Phương pháp. Ta tính y’ sau đó giải phương trình 	 y’ = 0.
Ví dụ 1. Giải phương trình y’ = 0 biết.
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Giải
a) Ta có
 suy ra 
Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.
b) Ta có
 suy ra 
Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.
c) Ta có
Suy ra 
Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 
d) Ta có
suy ra 
Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.
e) Ta có
suy ra 
Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.
f) Ta có
Suy ra 
Vậy phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt .
g) Ta có
Suy ra 
Vậy phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
h) Ta có
Suy ra 
Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3.
i) Ta có
Suy ra 
Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 
3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.
Phương pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lượng giác.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng 
	a) y’ – y2 -1 = 0 với y = tanx.
	b) y’ + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x.
	c) y’2 + 4y2 = 4 với y = sin2x.
Giải
a) Ta có 
Khi đó
Vậy ta có điều cần chứng minh.
b) Ta có 
Khi đó 
Vậy ta có điều cần chứng minh.
c) Ta có
y’ = 2cos2x
Khi đó 
Vậy ta có điều cần chứng minh.
III. Bài tập tự luyện.
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tương ứng
	a) tại điểm x0 = -1
	b) tại điểm x0 = 2
	c) tại điểm .
Bài 4. Giải phương trình y’ = 0 trong các trường hợp sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
I. Kiến thức cơ bản.
1. Tiếp tuyến tại một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 là một điểm thuộc vào TXĐ của hàm số trên và tồn tại đạo hàm tại đó. Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại điểm 
(x0; f(x0)) có phương trình là y = y/(x0)(x-x0) + f(x0)
Nhận xét: ở trên ta có y/(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm được hệ số góc và tiếp điểm trong trường hợp này nếu muốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong nào đó. Các bài tập hay gặp trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng nào đó.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.
	Cho hai hàm số y = f(x) (C1), y = g(x) (C2).
Khi đó (C1) tiếp xúc với (C2) khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm.
Chú ý: 
	+ Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) là hai đường cong thì chúng tiếp xúc với nhau tại hai điểm khi hệ trên có hai nghiệm phân biệt.
	+ Nếu một trong hai đường là đường thẳng thì để có hai tiếp tuyến ta cần hệ trên có hai nghiệm phân biệt.
II. Dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.
Phương pháp: Ta cần tìm được toạ độ tiếp điểm dựa vào các dữ kiện bài toán đã cho.
Nhận xét: Trong dạng này ta thường gặp các trường hợp sau
	+ Cho biết tọa độ của tiếp điểm.
	+ Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm được hoành độ tiếp điểm.
	+ Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm được tung độ tiếp điểm.
	+ Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác. Khi đó ta cần giải hệ phương trình để tìm toạ độ của tiếp điểm.
2. Dạng 2. Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M(xM; yM)
Phương pháp:
Cách 1: Tìm tiếp điểm
Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0).
Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(xM; yM) suy ra yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải phương trình này ta tìm được hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1.
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc 
Giả sử đường thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k khi đó nó có phương trình
 y = k(x-xM) + yM
Ta có đường thẳng y = k(x-xM) + yM là tiếp tuyến của đường cong (C) giải hệ này ta tìm được hoành độ của tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.
Nhận xét: ở trên có bao nhiêu nghiệm x ta có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M.
3. Dạng 3. Tiếp tuyến cho trước hệ số góc:
Phương pháp.
Cách 1. Tìm tiếp điểm
	Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0).
Khi đó theo giải thiết ta có f/(x0) = k. Giải phương trình này ta tìm được hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1.
Nhận xét: Trong dạng này ta có thể gặp các bài tập như sau: 
*) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k = sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b một góc khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn hoặc chúng ta dùng tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.
III. Ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
Hoành độ tiếp điểm lần lượt là -1; 3; 
Tung độ tiếp điểm lần lượt là -4.
Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành.
Giải
TXĐ: 
Ta có 
a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4 
Với hoành độ tiếp điểm x0 = 3 ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76
b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - 4 ta có x0 = -1 hoặc x0 = 0
Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4
Với x0 = 0 ta có suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(0)(x+1) – 4 hay y = x – 3.
c) Giao điểm của (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình
Khi đó suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x – 8.
Ví dụ 2: Cho hàm số (Cm). Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích bằng 8.
Giải
TXĐ: 
Ta có (Cm) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m) 
. Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m
Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm suy ra 
Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB. Vậy với thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8.
Ví dụ 3: Cho hàm số viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Giải
TXĐ: . Ta có 
a) Gọi A(xA; yA) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có 
Với ta có khi đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) – 4 hay
y=9x+5.
Với xA = 3 ta có yA = 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x – 27
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là k = 9 là 
y=9x+5 và y= 9x – 27.
b) Gọi M(xM ;yM) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng suy ra hệ số góc của nó là 
k = -3 (Làm tương tự như phần a)
Ví dụ 4: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp sau
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4.
Tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc 450.
Giải
TXĐ: . Ta có 
a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6.
Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó ta có 
Với ta có khi đó tiếp tuyến cần tìm là 
Với ta có khi đó tiếp tuyến cần tìm là 
b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đường thẳng một góc 450 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k thoả mãn 
sau đó làm tương tự như phần a (Tìm tiếp điểm).
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : đi qua điểm .
Giải
Giả sử đường thẳng đi qua có hệ số góc k, khi đó nó có dạng
 (d)
Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghịêm
Thay (2) vào (1) ta có 
Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm ( Tự viết phương trình tiếp tuyến).
Ví dụ 6. Cho hàm số 
	a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
	b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx + m.
Giải
a) Giả sử trên (C) có hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau. 
Ta có y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x+1)2.
Khi đó ta có
	 vô lý
Suy ra giả sử là sai hay ta có điều cần chứng minh.
b) 
Ví dụ 7. Cho hàm số y = x3 - x2 có đồ thị (C)
	Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(3; 0).
Giải
 Đường thẳng (∆) đi qua A(3; 0) và có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3)
+) (∆) là tếp tuyến với (C) 
	 Hệ có nghiệm.
	Thế (1) vào (2): 
	2x3 -12x2 + 18x = 0 
	+) Với x1 = 0 k1 = 0 PTT2: y = 0
	+) Với x2 = 3 k2 = 3 PTT2: y = 3x - 9.
Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán 
y = 0 và y = 3x – 9.
Ví dụ 8. Tìm a để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với (P) : y = x2 + a.
Giải
Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (C) với (P) 
	Hệ có nghiệm 
	Giải (1) x = 0 Thế vào (2) a = - 1
	Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P).
Ví dụ 9. Cho đường cong (C)
Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này 
vuông góc với nhau.
Giải:
Gọi M(a; 0) ẻ Ox; ∆ là đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)
(∆) là tiếp tuyến của (C) Hệ có nghiệm.
(2) - (1) 
Kết hợp (3) và (1) ta có: 
(4) k2(1 - a)2 + 4k - 4 = 0
Từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) Hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và k1.k2 = -1.
 Vậy các điểm cần tìm là (-1; 0); (3; 0)
Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tương đương mà chỉ có a và k. Nhận thấy nếu tính được theo a và k thay vào phương trình (1) thì được một hệ mới tương đương trong đó có một phương trình chỉ chứa a và k từ đó ta có phép biến đổi như trên và cách giải này là ngắn gọn. 
Ví dụ 10. Cho đường cong (C)
Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Giải:
(∆) là đường thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (∆): y = k(x - a) + b.
(∆) là tiếp tuyến của (C) Hệ có nghiệm. 
Lấy (4) - (3) (5)
Kết hợp (5) và (1) ta có hệ 
( k 1 vì từ (1) nếu k = 1 thì x, hệ vô nghiệm.)
Vì từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và k1.k2 = - 1
Thế (10) vào (9): 2[(1 - a)b + 2] 0 (1 - a)b + 2 0
	Từ (10) (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = 4 + 2(1 - a)b
	(1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b)
	Vì 2+ (1 - a)b 0 1 - a + b 0.
Vậy ta có tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ đi 4 điểm là giao các đường thẳng x = 1 và - x + y + 1 = 0 với đường tròn đó là các điểm (1; 2); (); ().
Ví dụ 11. Cho đường cong: (C)
	Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 7 mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đường cong (C) mà hai tiếp tuyến đó hợp với nhau góc = 450.
Giải:
Gọi M ẻ đt: y = 7 M(a; 7).
Phương trình đường thẳng (∆) qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + 7.
(∆) là tiếp tuyến của (C) Hệ có nghiệm.
Lấy (4) - (3): (5)
Kết hợp (5) và (1) 
Từ M kẻ hai tiếp tuyến hợp với nhau góc = 450.
Không mất tính chất tổng quát
Ta giả sử: 
k1 - k1.k2 = 1 + k2 (7)
Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0.
Vậy từ (6) hoặc (8)
Kết hợp (8) và (7) ta có: hoặc 
Nếu k1 = 1, từ (6) : .
Nếu k2 = -1 , từ (8) : 
Vậy các điểm tìm được là : M1;2 ( ; 7); M3;4(; 7)
Ví dụ 12. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai (P) sau :
	y = x2 - 3x + 2 (1) và y = - x2 + 7x - 11 (2)
Giải:
Gọi tiếp tuyến chung là : y = ax + b. Gọi M0(x0 ; y0) và là tiếp điểm của tiếp tuyến với Parabol (1) và (2)
Theo điều kiện tiếp xúc của hai đường ta có hệ sau :
 Hệ có nghiệm.
Từ (1) và (2) (5)
Từ (3) và (4) 
Giải ra tìm được 
Kết luận: Tiếp tuyến chung là: y = 3x - 7 và y = x – 2.
Ví dụ 13. Tìm tiếp tuyến cố định của họ đường cong có phương trình: 
Giải:
Gọi đường thẳng: y = ax + b là tiếp tuyến cố định của họ đường cong
 Hệ phương trình sau có nghiệm "m ≠ 0
Lấy (3) - (4): 
Kết hợp (2) và (5) ta được: 
(a + 1)2m2 + 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)2 = 0
Phương trình này thỏa mãn "m ≠ 0 
Kết luận: Vậy họ đường cong có một tiếp tuyến cố định là: y = - x - 1
IV. Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho . Tìm m để cắt đường thẳng y = -x + 1 tại ba điểm A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến với tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng .
Bài 3. Cho hàm số . CMR: Trên (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp điểm này đồng quy tại một điểm cố định.
Bài 4. Cho . Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 5. Cho Viết phương trình tiếp tuyến với hai đồ thị trên tại giao điểm của chúng.
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với tại giao điểm của nó với trục Oy. Tìm k để tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 7. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp sau
Có hệ số góc k = - 2.
Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 600.
Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 150.
Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 750.
Tiếp tuyến tạo song song với đường thẳng y = - x + 2.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2x – 3.
Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y= 3x + 7 góc 450.
Bài 8. Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm .
Tìm trên đường thẳng y = - 2 những điểm kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau.
Bài 9. Cho hàm số . Tìm trên trục hoành những điểm kẻ được ba tiếp tuyến với (C). 	(ĐH SPHN2- KB-1999)
Bài 10. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(2; 0). 	(ĐH THHN- 1994).
Bài 11. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 450.
Bài 12. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với đường thẳng y = 3x góc 450.
Bài 13. Tìm trên Oy những điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến với .
Bài 14. Cho hàm số . Tìm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B tạo ra tam giác OAB vuông cân. 
(HVBCVTHN - 1997).
Bài 15. Cho hàm số . CMR: Tiếp tuyến với (C) tại mọi điểm M tùy ý luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
Bài 16. Tìm các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng . 	(ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 2001)
Bài 17. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất với đồ thị .
	(ĐH Ngoại Thương TPHCM 1998).
Bài 18. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất với đồ thị 
	( Học viện quan hệ quốc tế 2001).
Bài 19. Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với (C) tai M đi qua gốc tọa độ. ( ĐH Công Đoàn 2001).
Bài 20. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị . Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó.
	( ĐH an ninh 2000_ k A).
Bài 21. Cho đồ thị hàm số 
	a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm .
	b) Tìm trên đường thẳng y = -2 điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) và chúng vuông góc với nhau.
Bài 22. Cho hàm số . Tìm các điểm trên đường thẳng x = 2 kẻ được đúng ba tiếp tuyến với (C).	( ĐH cần thơ 2000_ k A).
Bài 23. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x. ( ĐH đà lạt 2000_ k A).
Bài 24. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(1; 3)	( ĐH tây nguyên 2000_ k A).
Bài 25. Cho hàm số . Đường thẳng y = 5 tiếp xúc với (C) tại A và cắt (C ) tại điểm B, tìm tọa độ điểm B. ( ĐH tây nguyên 2000_ k D).
Bài 26. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) đi qua điểm A(1; 0).	 ( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D).
Bài 27. Tìm các điểm trên trục hoành kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị 
Bài 28. Cho đồ thị . CMR trên đường thẳng y = 7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và tạo với nhau một góc 450.
Bài 29. Cho đồ thị . Tìm tậ hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy thoả mãn
	a) Từ đó không kẻ được tiếp tuyến nào với đồ thị (C).
	b) Từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C).
	c) Từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C).
	d) Từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C).
	e) Từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đo vuông góc với nhau.
Bài 30. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0) tới đồ thị .	( ĐH dược 1999).
Bài 31. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 0 ) tới đồ thị .	( ĐH xây dựng 1995).
Bài 32. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị .	( ĐHsp vinh 1998).
Bài 33. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 1 ) tới đồ thị .	( ĐH đà lạt 1999).
I. Kiến thức cơ bản.
1. Khai triển nhị thức Newtơn.
	Ta có (1)
Trong đó:
	+ a, b là hai số thực.
	+ n là số nguyên dương.
Nhận xét:
	+ Trong khai triển trên số mũ của a giảm dần từ trái sang phải, ngược lại số mũ của b tăng dần từ trái sang phải. Số mũ của a và b trong mỗi số hạng cộng lại đều bằng n.
	+ Trong khai triển trên có n + 1 số hạng.
	+ Số hạng tổng quát trong khai triển (1) là .
	+ Số hạng thức k trong khai triển (1) là .
2. Một vài khai triển thường dùng.
Ta có
Thay x = 1 vào hai vế của (2) ta có đẳng thức sau
Thay x = - 1 vào hai vế của (2) ta có đẳng thức sau
3. Mối liên hệ của hai hàm số bằng nhau.
Ta có hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
Nếu f(x) = g(x) thì f’(x) = g’(x)
II. Dạng toán tính tổng của tổ hợp liên quan tới đạo hàm.
Ta có một vài chú ý khi gặp tính tổng của tổ hợp
	+ Nếu trong vế tính tổng không có thì ta cần dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x cả hai vế sau đó thay x bằng một giá trị thích hợp.
	+ Nếu trong một vế tính tổng không có và thì ta dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x hai lần sau đó thãy bằng một giá trị thích hợp.
III. Ví dụ.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
 a) 
b) 
Giải
a) Ta có
Đạo hàm hai vế của (*) theo x ta có
(a)
Thay x = 1 vào đẳng thức (a) ta có
Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh.
b)
Đạo hàm hai vế của (*) hai lần theo x ta có
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có
Vậy ta có điều cần chứng minh.