Giáo án Giải tích 12 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. Lý Thuyết
Sơ Đồ Khảo Sát Hàm Số
1. Tập xác định	
Tìm tập xác định của hàm số.
2.Sự biến thiên.
a) Tìm các giới hạn:
 Giới hạn tại vô cực( ), giới hạn vô cực và tìm tiệm cận( nếu có).
b) Xét chiều biến thiên của hàm số: 
+ Tính đạo hàm y’.
+Tìm những điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
+ Lập bảng biến thiên rồi kết luận tính đồng biến, nghịch biến và cực trị.
3. Đồ thị
+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
+ Dựa vào bảng biến thiên và tìm thêm một số điểm để vẽ đồ thị(chẳng hạn như giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ,.).
+ Nhận xét tính đối xứng của đồ thị.
* Chú ý: 
+ Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục Oy cho x = 0 tính y = f(0).
+ Để tìm giao điểm của thị đồ hàm số y = f(x) với trục Ox, ta cho y = 0 tính x bằng cách 
 giải phương trình f(x)= 0.
B. Bài Tập
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x3 - 3x2 + 2 b) y = x3 - 3x2 +3x -2 c) y = -x3 - 3x2 + 4
d) y = x3 - 6x2 + 9x + 1 e) y = x3 - x2 + x + 1 f) y = (2 - x)(x + 1)2
h) y = -x3 + 3x2 - 3x + 1 k) y = (1 - x)2(x + 2) l) y = 
m) y = -x3 + 4x2 - 4x n) y = -(x+2)3 + 2
 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x4 - 4x2 + 3 b) y = x4 + x2 - 2 c) y = - x4 + 2x2 - 1
d) y = x4 - 4x2 + 1 e) y = x4 + x2  + 2 f) y = 2x2 - x4
g) y = h) y = k) y = (x2 + 1)2 - 4
l) y = -x4 + 10x2 - 9 m) y = -(x2 - 2)(x2 + 4)
3.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) b) c) 
d) e) f) 
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Lí Thuyết
1)Bài toán viết phương trình tiếp tuyến:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) của hàm số y = f(x)
a) Dạng 1: Biết tiếp điểm M0(x0; y0)
Phương trình tiếp tuyến là: y - y0 = f/(x0)(x – x0)
b) Dạng 2: Biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M(x; y) là tiếp điểm. Tìm hoành độ tiếp điểm bằng cách giải phương trình f/(x) = k.
c) Dạng 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1)
+Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm. 
Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M0(x0; y0): y - y0 = f/(x0)(x – x0)
+ d đi qua A(x1; y1) nên ta có: y1 - y0 = f/(x0)(x1 – x0)
+ Giải hệ phương trình tìm tọa độ tiếp điểm (x0; y0)
2) Tìm giao điểm của hai đường
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị (C2)
+ Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình: 
+ Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1)
 * Nếu (1) có các nghiệm x1, x2, , xn thì (C1) và (C2) có các giao điểm là:
 (x1; f(x1)), (x2; f(x2)), , (xn; f(xn))
 * Số nghiệm của (1) bàng số giao điểm của (C1) và (C2)
B. Bài Tập
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số:
a) y = x4 – 4x2 tại điểm có hoành độ x0 = -2
b) y = x3 – 3x2 + 3, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x -12
c) (C)
 + Tại giao điểm của (C) và trục Ox.
 + Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3
d) y = - x3 + 3x2 + 2, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - +4
e) y = x3 – 3x2, biết tiếp tuyến qua 
f) , biết tiếp tuyến qua 
2. Cho hàm số y = x2 – 2x + 1 (P) và hàm số (H)
a) Tìm giao điểm M của (H) và (P).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại M. Tìm giao điểm của tiếp tuyến này với (P).
3. Cho hàm số y = x3 – 4x2 + 4x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 4x2 + 4x + m = 0
4. Cho hàm số y = x4 – 10x2 + 9
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x4 – 10x2 + k = 0.
5. Cho hàm số y = (x – 1)2(x +1)2
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x2 – 1)2 – 2m + 1 = 0
6. Cho hàm số (H)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ nguyên.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x.
d) Tìm các điểm của (H) định bởi tổng khoảng cách từ đó đến hai đường tiệm cận của (H) đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc là m. 
+ Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
+ Khi d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N. Tìm m để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số sau:
a) y = x2 + 1 và y = mx – 1
b) và 3x + y – m = 0.
c) và y = m(x – 3) + 18
9. Cho hàm số . 
a) Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó có hệ số góc k = - 3.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 2, b = - 4.
10. Cho hàm số y = . Với giá trị nào của m thì hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu x1, x2 thỏa: x1 + 2x2 = 1
11. Cho hàm số y = x3 – 3x2 và d là đường thẳng di qua M(3; 0) và có hệ số góc k. Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và OB vuông góc với OC.