Giáo án Giải tích 12 - Chủ đề 7 : Nguyên hàm và tích phân

Tuần 4 -Tiết 13
Chủ đề 7 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 
MỤC TIÊU :
Tìm được nguyên hàm của hàm số cho trước 
Tính tích phân và các phương pháp tích phân 
Tính diện tích hình phẳng và thể tích tròn xoay 
 ■ Kỹ năng :
Nắm được các thuật toán để giải được các bài tập cơ bản
Từ các bài toán cơ bản phát huy tính sáng tạo để làm những bài toán nâng cao
CHUẨN BỊ :
Giáo viên củng cố lại các kiến thức đã học
Học sinh xem trước các kiến thức về nguyên hàm và tích phân
NỘI DUNG ÔN TẬP :
PHẦN I : NGUYÊN HÀM VÀ HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 
Nội dung
Hoạt động thầy và trò
Bài 1 : Tính đạo hàm của F(x)=xlnx– x Hãy tìm nguyên hàm của lnx .
Giải
Với x > 0, F’(x) = lnx + 1 – 1 = ln x
Vậy nguyên hàm của f(x) = lnx là F(x) + C = xlnx – x + C (C : hằng số )
Bài 2 :Tính đạo hàm của G(x)=(x – 2) ex
Suy ra nguyên hàm f(x) = (x – 1) ex
Giải
: G’(x) = ex (x – 1) = f(x)
Vậy nguyên hàm của f(x) = (x – 1) ex là G(x) + C = (x – 2) ex + C (C : hằng số)
Bài 3 : Cho y = ex(2x2 – 3x)
Chứng tỏ rằng : y’’ – 2y’ + y = 4ex
Suy ra rằng 4ex + 2y – y’ là một nguyên hàm của y.
Giải
, y’ = ex(2x2 – 3x) + ex(4x – 3)
 = ex(2x2 + x – 3)
 y’’ = ex(2x2 + 5x – 2)
Vậy : y’’– 2y’+y = ex(2x2 + 5x – 2) - 2 ex (2x2 + x – 3) + ex(2x2 – 3x) = 4ex (đpcm)
Đặt F(x) = 4ex + 2y – y’
Ta cần chứng minh : F’(x) = y
Thật vậy : F’(x) = 4ex + 2y’ – y’’
 y = 4ex + 2y’ – y’’
Vậy 4ex + 2y – y’= F(x) là một nguyên hàm của y . 
Bài 4 : Cho 2 số : F(x)= (ax2 + bx + c)e-2x và f(x) = - (2x2 – 8x + 7)ex. Tìm a, b, c để F(x) là nguyên hàm của f(x).
Giải
F’(x) = (2ax + b)ex + ex(ax2 + bx + c)
 = [ax2 + (2a + b)x + b + c]ex
Để F(x) là nguyên hàm của f(x)
F’(x) = f(x)
Bài 5 : Cho 2 hàm số F(x) = 
và f(x) = cos2x
CMR: F(x) là nguyên hàm của f(x)
Tìm nguyên hàm f(x) biết rằng : F= 0
Vậy : F(x) = 
 GV gọi HS viết các công thức nguyên hàm của hàm số :
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
● 
- GV hướng dẫn HS làm các bài tập nguyên hàm và họ nguyên hàm.
- GV gọi HS lên bảng áp dụng làm.
- GV hướng dẫn HS tính F’(x)
- GV gọi HS nhắc lại định nghĩa nguyên hàm.
@HS:F(x)là nguyên hàm của f(x)
 f(x) = F’(x)
(Tương tự)
Ta có nguyên hàm của f(x) là F(x) + C
= + C
F= 0
Tuần 4 Tiết 14-15-16 PHẦN II : TÍCH PHÂN 
Nội dung
Hoạt động thầy và trò
Dạng 1 : 
Tính bằng định nghĩa
Phương pháp :
 Biến đổi f(x) thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết nguyên hàm.
 Tìm nguyên hàm của f(x) và áp dụng định nghĩa 
VD1 : Tính tích phân 
Giải
VD2 : Tính tích phân 
Giải
Ta có :
VD3 : Tính tích phân 
Giải
Dạng 2 : 
Tính bằng phương pháp đổi biến số kiểu 1 
Phương pháp :
 Đặt x = u(t) dx = u’(t)dt
 Đổi cận :
 . x = a u(t) = a t = 
 . x = b u(t) = b t = 
 dt u’(t)
VD1 : Tính tích phân
Giải
Đặt : x = 2sint dx = 2costdt
 . x = 0 t = 0
. x = 1 t = 
v Chú ý :
 ♦ Nếu 
 Đặt Ax + B = asint 
♦ Nếu 
 Đặt Ax + B = asint 
♦ Nếu 
 Đặt Ax + B = atgt 
(a > 0 ; A; B : hằng số)
Dạng 3 :
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến kiểu 2.
Phương pháp :
 Đặt t = u(x) dt = u’(x)dx
 Đổi cận :
VD1 : Tính tích phân
Giải
 Đặt t = cosx dt = -sintdt
 Đổi cận :
 x = 0 t = 1
VD2 : Tính tích phân
Giải
 Đặt t = t2 = x2 + 2
 2tdt = 2xdx
VD3 : Tính tích phân 
Giải
Đặt t = cotgx
v Chú ý :
 đặt t = acosx + b
 đặt t = asinx + b
 đặt t = acotgx + b
 đặt t = atgx + b
 đặt t = alnx + b
 đặt t = axn + b
 đặt t = 
Dạng 4 : 
Tích phân từng phần
Phương pháp :
 Đặt 
 Khi đó 
v Chú ý :
 đặt 
 đặt 
 đặt 
 đặt 
p(x) là đa thức theo x
VD1 : Tính tích phân
Giải
Đặt 
VD2 : Tính tích phân
Giải
Đặt 
Đặt 
VD3 : Tính tích phân
Giải
Đặt 
 GV đặt vấn đề : Nếu ta tính tích phân được thì biểu thức dưới dấu tích phân như thế nào ?
@ HS : Phải là một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản.
 GV gọi HS đọc đề và nêu các hàm
@ HS : (x2 – x + 3)(4x – 1)
 = 4x3 – 5x2 + 13x – 4
 GV gọi HS lên bảng làm 
@ HS : = 
 GV gọi HS lên bảng làm
HS : 
=
 GV gọi HS nhắc lại các phương pháp tính tích phân.
 GV gọi HS áp dụng làm VD1
HS :
 Đặt :x=2sint dx = 2costdt
 . x = 0 t = 0
 . x = 1 t = 
 GV : Chúng ta có bao nhiêu dạng đổi biến ?
@ HS : Có 2 dạng
GV : Dạng 2 là như thế nào ?
 GV gọi HS lên bảng áp dụng giải
@ HS : 
 Đặt t = cosx dt = sintdt
GV gọi HS lên bảng sửa
@ HS : 
Đặt t = t2 = x2 + 2
 x2 = t2 – 2
 2tdt = 2xdx
 =
 = 
 GV gọi HS lên bảng làm
@ HS : Ta có :
=1 + cotg2x
 Đặt t = cotgx
 GV gọi HS lên bảng làm bài tập
@ HS : 
Đặt 
 GV hướng dẫn HS làm và chỉ ra kết quả
 GV gọi HS lên bảng làm bài tập
HS : Đặt 
 Cho lớp nhận xét và GV sửa chữa
Lặp lại lần nữa : 
 Đặt 
 GV gọi HS lên bảng làm bài tập
@ HS : Đặt 
 GV đặt câu hỏi : Nếu chúng ta đặt ngược lại thì có được không ?
GV khẳng định lại lần nữa : “Chỉ có cách đặt này là duy nhất”
Ø Bài tập về nhà :
Tính các tích phân sau :
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
a. 	
b. 
c. 
d. 
e. 
b. 
c.
d. 
a. 
b. 	 
 c.	
Tuần 5 Tiết 17
PHẦN III : DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH 
Nội dung
Hoạt động thầy và trò
 1. Diện tích hình phẳng của hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x = b, Ox và hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]
 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a, x = b, hàm số y = f1(x), y=f2(x) liên tục trên [a; b]
VD1 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox
Giải
Lập phương trình hoành độ giao điểm = 0 
VD2 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng (d):y=3
Giải
Lập phương trình hoành độ giao điểm :
x3 – 3x + 1 = 3
 x3 – 3x – 2 = 0
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) :
 (đvdt )
VD3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x=2, x=4
Giải
Ta có :
 Tiệm cận xiên : y = -x + 3
Vậy diện tích hình phẳng cần xác định là :
 (đvdt)
VD4 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay y = sinx ; y = 0 ; x = 0 ; x = 
Giải
Ta có :
VD5 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi (E) : khi nó xoay quanh trục Ox
Giải
 (E) : 
 GV gọi HS nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong.
 GV hướng dẫn HS để tìm ra và nhớ lại công thức.
 GV gọi HS nêu cách giải
@ HS : 
 s Lập phương trình hoành độ giao điểm
 s Giải phương trình để tìm cận
 s Aùp dụng công thức tính diện tích hình phẳng
 GV gọi HS nêu cách làm
@ HS : 
 s Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)
x3 – 3x + 1 = 3 (*)
 s Giải phương trình (*). Tìm cận của tích phân
 GV gọi HS lên bảng áp dụng để tính diện tích
 GV gọi HS nhận xét
 GV đánh giá và sửa chữa
 GV gọi HS lên bảng để vẽ hình
 GV gọi HS cho biết cách tính diện tích
@ HS : 
 s Xác định tiệm cận xiên
 s Áp dụng công thức tính diện tích hình thang cong
GV gọi HS lên bảng làm bài tập 
 GV gọi HS lên bảng vẽ hình minh họa
 GV : 
 GV gọi HS nhắc lại công thức tính thể tích
HS : 
Hay 
 GV gọi HS nhắc lại công thức tính thể tích của (E) khi quay quanh trục Ox
@ HS : 
Mà 
@ HS : áp dụng công thức tính thể tích