Giáo án Giải tích 12 - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Mẫu mới)

GIÁO ÁN MỚI MẪU TOÁN 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A. GIỚI THIỆU 
Trong thực tế có rất nhiều bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Để giải quyết 
loại bài toán trên ta nghiên cứu bài học: “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA 
HÀM SỐ”. 
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a . 
Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông 
bằng nhau, rồi gập tấm tôn lại như hình 
bên để được một cái hộp không nắp. 
Làm thế nào để gấp thành hình hộp chữ 
nhật có thể tích khối hộp lớn nhất. 
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy 
điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách 
ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ 
B đến A là 4km. Mỗi km dây điện đặt dưới 
nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 
3000 USD. Liệu chúng ta có tìm được điểm S 
trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện 
từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 
GIÁO ÁN MỚI MẪU TOÁN 
B. NỘI DUNG CHÍNH 
I. ĐỊNH NGHĨA 
Bước 1. Tiếp cận kiến thức 
Bài toán 1. Cho hàm số 2 2 2y x x   có đồ thị hình bên. 
Nhìn vào đồ thị tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của 
hàm số trên ¡ . 
Hướng dẫn: 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:  1 1y  . 
 Hàm số không có giá trị lớn nhất trên ¡ . 
Bài toán 2. 
Hướng dẫn: Điểm có tung độ lớn nhất là 0M . Ta có:    0,x f x f x  ¡ 
Nội dung Gợi ý 
Bước 2. Hình thành kiến thức 
I. Định nghĩa 
Cho hàm số  y f x xác định trên tập D . 
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 
GIÁO ÁN MỚI MẪU TOÁN 
 y f x trên D nếu 
 
 0 0
,
,
x D f x M
x D f x M
  

  
Kí hiệu:  max
D
M f x 
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 y f x trên D nếu 
 
 0 0
,
,
x D f x m
x D f x m
  

  
Kí hiệu:  min
D
M f x 
Bước 3. Củng cố (định nghĩa) 
Ví dụ 1. Hàm số 
2 1x
y
x

 có bảng biến thiên: 
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng 
 ;0 . 
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng 
 0; . 
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên \{0}¡ . 
II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn 
1. Định lí 
Bước 1. Tiếp cận kiến thức 
* Hàm số 2y x trên đoạn  3;1 có bảng biến thiên: 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  3;1 . 
Nội dung Gợi ý 
GIÁO ÁN MỚI MẪU TOÁN 
Bước 2. Hình thành kiến thức 
1. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn 
đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 
một đoạn đó. 
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
nhất của hàm số liên tục trên một đoạn 
Quy tắc: 
+ Tìm các điểm 1 2, ,..., nx x x trên khoảng  ;a b , 
tại đó  'f x bằng 0 hoặc không xác định. 
+ Tính          1 2, , ,..., ,nf a f x f x f x f b . 
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các 
số trên. Ta có: 
 
 
 
 
;;
maxf , minf .
a ba b
M x m x  
Bước 3. Củng cố 
Ví dụ 2. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
của hàm số: 3 23 9 35y x x x    trên đoạn 
 0;5 . 
Ví dụ 3. Cho ,x y là hai số không âm thỏa mãn 
2x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 2 21 1
3
P x x y x    
. 
2' 3 6 9y x x   
 
 
1 0;5
' 0
3 0;5
x
y
x
   
  
 
Ta có: 2y x  
Khi đó: 
 
23 2
3 2
1
2 1
3
1
2 5 5
3
P x x x x
x x x
     
   
  2' 4 5P x x x   
III. LUYỆN TẬP 
Bài 1-3/SGK-trang 23,24. 
IV. VẬN DỤNG 
GIÁO ÁN MỚI MẪU TOÁN 
Câu 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc 
bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm tôn lại như hình bên để được 
một cái hộp không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể 
tích của khối hộp là lớn nhất? 
Giải: 
Gọi x là độ dài của cạnh hình vuông bị cắt 0
2
a
x
 
  
 
 . 
Thể tích của khối hộp là: 
   
2
2 0
2
a
V x x a x x
 
    
 
. 
Bài toán trở thành tìm 
0 0;
2
a
x
 
 
 
 sao cho  0V x đạt giá trị lớn nhất. 
Ta có:     ' 2 6V x a x a x   . 
Bảng biến thiên: 
Từ bảng biến thiên ta thấy trong khoảng 0;
2
a 
 
 
 hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực 
đại 
6
a
x  nên tại đó  V x có giá trị lớn nhất: 
 
3
0;
2
2
max
27a
a
V x
 
 
 
 . 
Câu 2: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A 
đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 
1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4km. Mỗi km dây điện 
đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 
USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây 
điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 
Giải: 
 Đặt , . 
Chi phí dây điện từ tới : . 
Ta đi tìm . 
x 
GIÁO ÁN MỚI MẪU TOÁN 
. 
Vậy điểm S cách điểm A 3,25(km) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 3: Một sợi dây kim loại dài 0,9m được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành tam 
giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Tìm độ dài 
cạnh của tam giác đều (tính theo đơn vị cm ) sao cho tổng diện tích của tam giác và hình chữ nhật 
là nhỏ nhất 
A. 60
2 3
. B. 60
3 2
. C. 30
1 3
. D. 240
3 8
. 
Câu 4: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình 
tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao 
nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất? 
 A. 
18
9 4 3
(m). B. 
36 3
4 3
(m). C. 
12
4 3
(m). D. 
18 3
4 3
 (m). 
Câu 5: Bạn Hoa đi từ nhà ở vị trí A đến trường tại vị trí 
C phải đi qua cầu từ A đến B rồi từ B đến trường. 
Trận lũ lụt vừa qua cây cầu bị ngập nước, do đó bạn 
Hoa phải đi bằng thuyền từ nhà đến vị trí D nào đó ở 
trên đoạn BC với vận tốc 4 /km h sau đó đi bộ với vận 
tốc 5 /km h đến C . Biết độ dài 3 , 5AB km BC km  . 
Hỏi muộn nhất mấy giờ bạn Hoa phải xuất phát từ nhà 
để có mặt ở trường lúc 7 30h phút sáng kịp vào học 
A. 6 30h phút. B. 6 16h phút. 
C. 5 30h phút. D. 5 45h phút. 
V. TÌM TÒI SÁNG TẠO 
GIÁO ÁN MỚI MẪU TOÁN 
---------Hết---------