Giáo án Bài 1: Hệ toạ độ ở trong không gian

ChƯơng II :Phương pháp toạ độ trong không gianBài 1. Hệ toạ độ trong không gian I. Toạ độ của điểm và của vectơ.II. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.III. Tích vô hướng.IV. Phương trình mặt cầu.Một phương phỏp nghiờn cứu cỏc đối tượng trong một mặt phẳngyOxNHẮC LẠIXõy dựng hệ trục vuụng gúc OxyĐụngTõyNamBắcNghiờn cứu cỏc đối tượng trong khụng gian ? VẤN ĐỀCabri3DXõy dựng hệ toạ độ trong khụng gian zyxOCabri3DI- TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VẫCTƠ1. Hệ toạ độGọi là hệ trục toạ độ Đề-cỏc vuụng gúc Oxyz(hệ toạ độ Oxyz) Trong khụng gian, cho ba trục x’ Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt cú i, j, k là cỏc vộctơ đơn vị và đụi một vuụng gúc (như hỡnh vẽ)2.Toạ độ của một điểmTrong không gian Oxyz cho điểm M bất kỳ .Khi đó tồn tai duy nhất bộ số (x;y;z) thoả mãn Ta gọi bộ ba số đó là toạ độ của điểm M.Kí hiệu M(x;y;z) hay M=(x;y;z)xyzMO * Toạ độ điểm O ?VìNên O=(0;0;0)* O: gốc toạ độ* (Oxy), (Oyz), (Ozx): cỏc mặt phẳng toạ độ* Khụng gian với hệ toạ độ Oxyz gọi là khụng gian OxyzI- TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VẫCTƠ1. Hệ toạ độI - Toạ độ của điểm Và của véc tơ1. Hệ toạ độ và vuông góc với nhau từng đôi một gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay hệ toạ độ Oxyz.( Hình vẽ)Oxyz* O-gọi là gốc toạ độ. * Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz)(Oxz) đôi một vuông góc, được gọi là mặt mẳng toạ độ * Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz* Chú ý:2= Hệ 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt chứa các véc tơ đơn vịTiết 25 Hoạt độngTrong khụng gian Oxyz, cho điểm M. xyzOijk.MHướng dẫnPhõn tớch OM theo i, j, kxyzOijkM3M1M2M’.M Bộ 3 số (x; y; z) gọi là toạ độ điểm M, kớ hiệu M= (x; y; z) hoặc M= (x; y; z) OM = x.i + y.j + z.k OM = OM3 + OM’ = OM3 + OM1 + OM22. Toạ độ của một điểmxyzOijk.MTrong khụng gian Oxyz, cho điểm MKhi nào thỡ bộ 3 số (x; y; z) gọi là toạ độ của MM=(x; y; z) đ/n OM = x.i + y.j + z.k Bộ 3 số (x; y; z) cú duy nhất khụng TL: Cú.M3. Toạ độ của vectơTrong khụng gian Oxyz, cho vectơ aaBộ 3 số (a1; a2; a3) sao cho Nhận xộtBộ 3 số (a1; a2; a3) trờn cú duy nhất ijkOyz xNhận xột toạ độ của điểm M và của vectơ OM M= (x; y; z) OM = (x; y; z) a = a1.i + a2.j + a3.kgọi là toạ độ a , kớ hiệu a =(a1; a2; a3) hoặc a (a1; a2; a3) TL: Cú3.Toạ độ của véc tơKhi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a;b;c) sao cho :Ta gọi bộ số (a;b;c) là toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ Oxyz . Kí hiệu HayVí dụ 1: Tìm toạ độ các véc tơ sau trong không gian Oxyz biếtNhận xét :Trong hệ toạ độ Oxyz toạ độ của điểm M là toạ độ của Aa = (-2; 3; 5) và b = (3; 0; -5)Ba =(2; -3; -5) và b = (0; 3; -5)Ca = (-2; 3; 5) và b = (0; 3; -5)Da = (-2; -3; 5) và b = (0; 3; -5)Hóy viết toạ độ cỏc vectơ sauVớ dụ 1a = -2i + 3j + 5k ,a = 3j + 5kxyzOCho hệ trục OxyzMột hỡnh lập phương đơn vị111Xõy dựng một khối hộp chữ nhật như sauHỡnh hộp chữ nhật cú độ dài 3 cạnh bao nhiờu TL: 3, 4, 5Cho cỏc điểm M, N như hỡnh, tỡm toạ độ M, N .M.NTL: M (4; 5; 3)TL: N (2; 4; 3)Vớ dụ 2Vớ dụ 3 Trong khụng gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3) và điểm B(2; 0; -3). a) Biểu diễn OA , OB theo i, j .b) Tỡm toạ độ AB.a). OA = i + 2.j - 3.k OB =2.i + 0.j - 3.kĐỏp sốb). AB = (1; -2; 0)Trong khụng gian cho hỡnh hộp chữ nhật Củng cố Cú thể xõy dựng một hệ trục Oxyz mà 3 trục qua 3 cạnh của hỡnh hộp Hướng dẫnII. Biểu thức toạ độ của các phép toán véc tơ1) Định lý :Trong hệ trục Oxyz choa)b)c)2) Hệ quả cùng phươngc) NếuToạ độ M là trung điểm của AB là:Trong hệ trục Oxyz choa)b)Ví dụ 3 : Cho Tìm toạ độ của Giải Vậy Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A=(2;1;-3); B=(4;2;5);C=(5;-1;7)Ví dụ 41) CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác 2) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.Giải1) Ta có mà không cùng phươngSuy ra A;B;C không thẳng hàng nên là 3 đỉnh của một tam giác.2) Ta gọi D=(x;y;z) GiảiTừ giả thiết ta có x-2=1y-1=-3z+3=2hay x=3y=-2z=-1KL: Vậy toạ độ điểm D=(3;-2;-1)ABDCPHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU:Mặt cầu (S) cú tõm I(a;b;c) và cú bỏn kớnh R>0 cú phương trỡnh :(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) Đặc biệt : Khi I  O (gốc tọa độ) PT (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trỡnh dạng : x2 + y2 + z2 +2Ax +2By + 2Cz + D = 0 (2) Với A2+B2+C2 - D>0 thỡ PT (2) là PT mặt cầu tõm I(-A;-B;-C) , bỏn kớnh :Tỡm ĐK cần và đủ để M(x;y;z)  (S) ? Điểm M(x;y;z)  (S)  IM2 = R2  (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) PT (1) gọi là phương trỡnh mặt cầu zyxOI(a;b;c)RMPhương trỡnh (1) trở thành dạng nào?Khai triển cỏc bỡnh phương cuả PT (1) Ta cú PT (1) tương đương với PT:x2 + y2 + z2–2ax–2by–2cz+(a2+b2+c2–R2 )=0Đặt D = a2+b2+c2–R2 ;A= – a;B= – b;C= – c Khi đú phương trỡnh trở thành :x2 + y2 + z2 +2AX +2BY +2CZ +D = 0 (2) Khi nào phương trỡnh (2) trở thành phương trỡnh mặt cầuGợi ý: Biến đổi PT đưa về dạng (1)Ta cú PT (2) tương đương với PT:(x +A)2+(y+B)2+(z+C)2=A2+B2+C2– D (2’) Với A2+B2+C2 - D>0. thỡ PT (2) là PT mặt cầu tõm I(-A;-B;-C) , bỏn kớnh :Cú nhận xột gỡ cỏc hệ số của x2 , y2 , z2 trong PT (2)Cỏc hệ số bằng nhau và bằng 1 :Phương trỡnh dạng : A(x2 + y2 + z2) +2Bx +2Cy + 2Dz+E = 0 (3) Với A ≠0 và B2+C2+D2 -AE >0 thỡ PT (3) là PT của một mặt cầuBiến đổi phương trỡnh (3) về dạng phương trỡnh (2) Giả sử A ≠0 ,chia 2 vế phương trỡnh (3) cho A ta được PT:Để (3’) là PT của mặt cầu cần điều kiện PHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU:Cho Mặt cầu (S) cú tõm I(a;b;c) và cú bỏn kớnh R>0 cú phương trỡnh :(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) Đặc biệt : Khi I  O (gốc tọa độ) PT (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trỡnh dạng : x2 + y2 + z2 +2Ax +2By + 2Cz + D = 0 (2) Với A2+B2+C2 - D>0 thỡ PT (2) là PT mặt cầu tõm I(-A;-B;-C) , bỏn kớnh :Phương trỡnh dạng : A(x2 + y2 + z2) +2Bx +2Cy + 2Dz+E = 0 (3) Với A ≠0 và B2+C2+D2 -AE >0 thỡ PT (3) là PT của một mặt cầuBiến đổi PT (*) về PT dạng (1) Vớ dụ1 : Tỡm tõm và bỏn kớnh của mặt cầu (S) cú PT: x2 + y2 + z2 - 2x +4y +6z + 5 = 0 (*) Giải Cỏch1:Tacú PT(*) tương đương với PT (x2 - 2x+12) + (y2 +4y+22)+ (z2 +6z + 32) = 12 +22+32 -5 (x - 1)2 + (y +2)2 + (z +3)2 = 9Vậy (S) cú tõm I(1;-2;-3) , BK R=3Cỏch 2: PT (*) cú dạngx2 + y2 + z2 +2Ax + 2By +2Cz + D= 0Vậy (S) cú tõm I(1;-2;-3) , BK:PHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU:Cho Mặt cầu (S) cú tõm I(a;b;c) và cú bỏn kớnh R>0 cú phương trỡnh :(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) Đặc biệt : Khi I  O (gốc tọa độ) PT (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trỡnh dạng : x2 + y2 + z2 +2Ax +2By + 2Cz + D = 0 (2) Với A2+B2+C2 - D>0 thỡ PT (2) là PT mặt cầu tõm I(-A;-B;-C) , bỏn kớnh :Phương trỡnh dạng : A(x2 + y2 + z2) +2Bx +2Cy + 2Dz+E = 0 (3) Với A ≠0 và B2+C2+D2 -AE >0 thỡ PT (3) là PT của một mặt cầuTỡm bỏn kớnh R của mặt cầu Vớ dụ2 : Lập pt mặt cầu tõm I(-2,1,1) và tiếp xỳc với mp (α) cú phương trỡnh : x+2y-2z+5=0Giải :Bỏn kớnh của mặt cầu là: Phương trỡnh mặt cầu cần tỡm : (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1aI(-2;1;1)Hx+2y-2z+5=0RRMI(a;b;c)2. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG(α) : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2 Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của tõm I (a,b,c) của (S) trờn mp(α) IH = d(I, (α) )Ta xột cỏc trường hợp :Nếu IHR thỡ (α)∩(S)= ỉTrong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp (α) và mặt cầu (S) cú Phương trỡnh : I(a;b;c) rMRH(S)(C)(S)aI(a;b;c)HRM(S)aI(a;b;c)HRMRaHRXin chõn thành cảm ơn!