Giải tích 12 - Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

 CHUYÊN ĐỀ1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
 1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
 a) Điều kiện đủ:
 - f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
 - f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
 b) Điều kiện cần.
 - f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f’(x) trên khoảng (a ; b).
 - f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) trên khoảng (a ; b).
 2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Lập bảng xét dấu y’.
Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng 
Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c (a0)
 . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a.
 . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a 
 . Nếu thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 . Ta có bảng xét dấu sau:
 x - x1 x2 +
 f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 
Đặc biệt: + 
 + 
 + có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < < x2 .
BÀI TẬP
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số.
 a) y = 4 + 3x – x2	 b) y = 2x3 – 6x + 2 c) y = - d) y = x3 + 3x + 1
 e) y = f) y = x4 – 2x2 + 3 g) y = -x4 + 2x2 – 1 h) y = x4 + x2 
 k) y = l) y = m) y = n) y = x + 
 p) y = q) y = r) y = x + 
2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R.
 a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS : 
 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – 1 ĐS : m = 
3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
 a) y = ĐS : 
 b) y = ĐS : 
4. Tìm m để các hàm số :
 a) y = đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : m 1
 b) y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : 
5. Chứng minh rằng :
 a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến trên và nghịch biến trên .
 b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nữa khoảng 
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
 * Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên
 K \{x0}, với h > 0. Khi đó:
 a) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x).
 b) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
 * Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0. Khi đó:
 a) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
 b) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x).
 * Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
 Quy tắc 1: 
Tìm TXĐ
Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 Quy tắc 2.
 1.Tìm TXĐ
 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3n) là các nghiệm của nó.
 3. Tính f”(x) và f”(xi).
 4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi .
 BÀI TẬP
1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số.
 a) y = x2 – 3x – 4 b) y = 2x3 – 3x2 + 1 c) y = d) y = x3 – 3x2 +3x
 e) y = f) y = g) y = x3(1 – x)2 h) y = 
 k) y = l) y = x + m) y = n ) y = 
 p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; ]
2. Tìm m để hàm số : 
 a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m 
 b) y = có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 
 c) y = có cực đại và cực tiểu. ĐS : m < 3
 d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị. ĐS : m > 0
2. Tìm m để hàm số : 
 a) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
 b) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1
 c) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
 d) y = đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3
 e) y = đạt cực tiểu tại x = 1 
 f) Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.(TN 2011)
4. Cho hàm số y = (1)
 a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
 b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 - Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu : 
 Kí hiệu : M = .
 - Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu : 
 Kí hiệu : m = 
* Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại .
* Cách tìm : 
 1. Tìm các điểm x1, x2, .., xn trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
 2. Tính f(a), f(x1), ., f(xn), f(b).
 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M = .
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.
 a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]
 c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [1 ; 4]
 e) y = x + trên khoảng (0 ; + f) y = x - trên nữa khoảng (0 ; 2]
 g) y = trên đoạn [2 ; 5] h) y = trên đoạn [-3 ; 3].
 k) y = trên đoạn [-1 ; 1] l) y = trên doạn [-8 ; 6]
 m) y = (x + 2). n) y = trên doạn [1 ; 2]
 p) y = x + q) y = 
 r) y = trên s) y = 2sinx - trên 
 u) y = sin2x + 2sinx – 1 t) y = cos22x -sinxcosx + 4
 o) y = sin4x + cos2x + 2 w) y = x – sin2x trên 
2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất.
3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là 48cm2.
4. ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.
 a) Công thức chuyển hệ tọa độ: 
 Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vec tơ là : 
 b) Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ IXY:
 Y = f(X + x0 ) – y0
 BÀI TẬP
1. Xác định đỉnh I của (P) : y = x2 – 4 x + 3. Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo
 và viết phương trình của (P) đối với hệ tọa độ IXY.
2. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2
 a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
 b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo và viết phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C).
3. Cho đường cong (C) : y = 1 - và điểm I(-1 ; 1). Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). 
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
 a) Tiệm cận đứng.
 Nếu hoặc thì đường thẳng 
x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
 b) Tiệm cận ngang.
 Nếu hoặc thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C).
 c) Tiệm cận xiên. 
 Nếu hoặc thì đường thẳng y = ax + b ( a là tiệm cận xiên của (C).
 BÀI TẬP.
1.Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số.
 a) y = 	b) y = 	c) y = 	d) y = 	e) y = 
 2. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số.
 a) y = x – 2 + 	b) y = 	c) y = 	d) y = x +