Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp chuyển về lượng giác

Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN 
của hàm số bằng phương pháp chuyển về lượng giác
-----------
Các vấn đề cần chuẩn bị :
1- Các công thức lượng giác
2- Các ĐT, BĐT trong tam giác
3, Bài toán ví dụ:
Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến ỗxỗ Ê k (k >0)
Đặt x = k.sina; hoặc đặt x = k.cosa; 0 Ê a Ê p
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau:
a, 
b, 
c, 
Giải:
a, Điều kiện: 
Khi đó 
= 
Với 
b, Điều kiện ỗaỗÊ 1. Đặt a = cosa; 0 Ê a Ê p
Ta có 
Û 
Û 
Û 
Û 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
c, Từ 1 Ê a Ê 3 ị - 1 Ê a - 2 Ê 1
Đặt a - 2 = cosa với a ẻ [0; p]
Khi đó:
A = 4a3 - 24a2 + 45a - 26
= 4 (cosa +2)3 - 24(cosa +2)2 + 45 (cosa + 2) - 26
= 4cos3a - 3cosa = cos3a
Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức:
a, 
b, 
Giải:
a, Điều kiện ỗxỗ Ê 1; ỗyỗ Ê1
Đặt x = sina, y = sinb với 
Khi đó:
 = sinacosb + sinbcosa = sin(a + b)
ị (đpcm)
b, Điều kiện ữxữ Ê 1
Đặt x = cosa với 0 Ê a Ê p
Khi đó:
= 
= 
= (đpcm)
Ví dụ 3:
Chứng minh nếu ỗx ỗ< 1 và n là số nguyên (n ³ 2) thì ta có BĐT: 
(1 - x)n + (1 +x)n < 2n
Giải:
Với điều kiện bài toán ỗx ỗ< 1
đặt x = cosa, a ạ Kp
Khi đó (1 - x)n + (1 +x)n = (1- cosa)n + (1 + cosa)n
= 
= 
(vì với n ³ 2 sin2nx < sin2x và cos2nx < cos2x)
Dạng 2: Biến x, y của biểu thức có điều kiện: x2 + y2 = k2 (k >0)
Đặt x = k.cosa; y = k.cosa; a ẻ [0; 2p]
Ví dụ 1:
Cho x2 + y2 = 1, chứng minh rằng: 
a, 
b, 
c, a + b = 2; chứng minh: a4 + b4 ³ a3 + b3
d, a + b = c. Chứng minh: 
e, x2 + y2 = u2 + v2 = 1
Chứng minh: 
Giải:
a, Từ điều kiện x2 + y2 = 1
Ta đặt x= sina; y = cosa
(a ẻ [0; 2p] khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:
-1 Ê 
(vì 2 + cosa >0)
Û 
Ta có: 
= 
= 
và 
= 
Vậy 
b, Đặt x = sina; y = cosa
Khi đó:
x6 + y6 = sin6a + cos6a
= (sin2a + cos2a) (sin4a - sin2acos2a + cos4a)
= (sin2a + cos2a)2 - 3sin2acos2a = 1- sin22a
Vì 0 Ê sin22a Ê 1 nên sin22a Ê 1
ị (đpcm)
c, * Nếu một trong hai số có hai số âm, chẳng hạn b <0
Khi đó a> 2 và ta có a4 > a3; b4 > b3
Vậy a4 + b4 > a3 + b3
	* Giả sử a ³ 0; b ³ 0. Từ điều kiện a + b = 2 
Ta đặt a = 2sin2a; b = 2cos2a khi đó:
a4 + b4 > a3 + b3 Û 16sin8a + 16cos8a ³ 8sin6a + 8cos6a 
Û 8sin6a (2sin2a - 1) + 8cos6a (2cos2a - 1) ³ 0
Û 8cos2a (cos6a - sin6a) ³ 0
Û 8cos22a (sin4a + sin2a cos2a+ cos4a) ³ 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos2a = 0 hay sin2a = cos2a hay a = b
d, Từ giả thiết 
Đặt 
Khi đó (1) Û >1 Û 
Û (2)
Vì 0 < ỗsinaỗ < 1 và 0 < ỗcosaỗ < 1 nên và do đó 
tức là ta có (2) từ đó suy ra đpcm
Dạng 3: Sử dụng điều kiện ỗxỗ ³ k (k > 0)
Đặt ; a ẻ[ 0; ) ẩ [p ; )
Khi đó x2 - k2 = k2 ( = k2tg2a và tga > 0
Ví dụ 1: 
a, Cho ỗaỗ ³ 1, chứng minh rằng 
b, Cho ỗaỗ ³ 1, ỗbỗ ³ 1 chứng minh rằng
c, Cho x, y, x, t là nghiệm hệ
	Chứng minh rằng: ỗ(x+z)ỗ Ê 5
Giải:
	a, Từ điều kiện ỗaỗ ³ 1 đặt:
	; a ẻ[ 0; ) ẩ [p ; )
	Khi đó:
A = 
= cosa + sina = 2 ()
= 2 (coscosa + sinsina) = 2 cos(a - )
ị ỗAỗ Ê 2 (đpcm)
b, Ta có (1) Û 
Đặt ; với a , b ẻ[ 0; ) ẩ [p ; )
Khi đó:
A = 
= 
= cosacosb(tga + tgb) = sin(a + b)
ị ỗAỗ Ê 1 (đpcm)
Dạng 4: Bài toán có biểu thức x2 + k2 
Đặt x = ktga (a ẻ(-;))
ị x2 + k2 = k2 (1+tg2a) = (cosa >0)
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức
a, ỗ1 + abỗ Ê 
b, 
Giải:
a, Đặt a = tga; b = tgb với a, b ẻ (-;)
Khi đó: ỗ1 + abỗ Ê ỗ1 + tgatgbỗ = 
= 
= 
ị ỗ1 + abỗ Ê 
b, Đặt a = tga; b = tgb với ab ẻ (-;)
Khi đó:
A= 
= cos2a.cos2b.
= 
ị ỗAỗ Ê (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh " a, b, c ẻ R ta có:
Đặt a = tga; b = tgb, c= tgg
Biểu thức cần chứng minh:
Û 
Û ữsin(a - g)ỗ Ê ữsin(a - b)ỗ+ữsin( b - g)ữ
Ta có: ữsin(a - g)ỗ 	= ữsin([a - b) + (b- g)]ỗ
	= ữsin(a - b).cos(b - g) + sin(b- g).cos(a-b)ỗ
Ê ữsin(a - b)ỗ.ẵcos(b - g)ẵ+ ẵsin(b- g)ẵ.ẵcos(a-b)ỗ
Ê ữsin(a - b)ỗ+ ẵsin(b- g)ẵ
ị Biểu thức cần chứng minh đúng
Ví dụ 3: a, b, c ẻR, chứng minh (ab + 1) (bc + 1) (ca + 1) ạ 0
Chứng minh: 
Đặt a = tga; b = tgb; c= tgg. Khi đó:
VT = = tg(a - b) + tg(b - g) + tg(g+a)
do (a - b) + (b - g) + (g+a) = 0 nên tg(a - b) + tg(b - g) + tg(g+a) 
ị = tg(a - b) + tg(b - g) + tg(g+a)
Dạng 5: Chuyển BĐT về dạng BĐT trong tam giác
Ví dụ 1: Cho x, y, z chứng minh:
Chứng minh: 
Giải:
x,y,z ẻ [0,1] và xy + yz + zx = 1
đặt (vì " A, B, C là 3 góc D) ta có 
BTĐ Û 
Û tgA + tgB + tgC ³ 
BĐT này đúng Û đpcm