Giải tích 12 - Chương 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Chương 2
Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
§1. Luỹ thừa
A. Kiến thức cơ bản
I. KHÁI NIỆM LUỸ THỪA. 	
 	1. Luỹ thừa với số mũ nguyên: 
+ 
+ 
+ 
+ .
Nhận xét:
	00, 0-n khoâng coù nghóa.
	Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất lũy thừa với số mũ nguyên dương.
VD1: tính giá trị biểu thức 	A
	.
	2. Phương trình xn = b:
	a/ Nếu n lẻ:	phương trình có nghiệm duy nhất " b.
	b/ Nếu n chẵn :
 + Với b < 0: phương trình vô nghiệm.
 + Với b = 0: phương trình có nghiệm x = 0.
 + Với b > 0 : phương trình có hai nghiệm đối nhau.
	3. Căn bậc n:	
a/ Khái niệm : Cho số thực b và số nguyên dương n (n ³ 2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b.
Ví dụ : 2 và – 2 là các căn bậc 4 của 16; là căn bậc 5 của .
Ta có:
+ Với n lẻ: có duy nhất một căn bậc n của b, Ký hiệu: .
+ Với n chẵn:
 . Nếu b < 0 : không tồn tại .
 . Nếu b = 0 : a = = 0.
 . Nếu b > 0 : a = ±.
	b/ Tính chất của căn bậc n:
VD2. Rút gọn biểu thức:
a) 	b) 
4. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
ar =
 Cho a Î R+ , số hữu tỉ r = trong đó m ÎZ, n Î N, n . Lũy thừa của a với số mũ r là:
 	Vậy .
VD3. 
VD4. Rút gọn biểu thức:
Giải. 
	5. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ:
Với a>0 , là số vô tỉ, (rn) là dãy số hữu tỉ sao cho . Khi đó
Chú ý: 
II. TÍNH CHẤT CỦA LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC:
Cho a, b> 0 ; là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
VD5. Rút gọn biểu thức
KQ: .
VD6. Không dùng máy tính, hãy so sánh các số .
B.Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1 Các bài toán biểu thị đẳng thức:
Phương pháp:Áp dụng các công thức trên
1/ Rút gọn biểu thức:
	1. 	2. 	3.P= (0,04)-1,5 – 4. Q=
ĐS: 1.M=12	2. N=1/8	3.P=121 	4. Q=150
2/ Tính: với ĐS:A=6
3/ Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
	a) 	b) (	ĐS a)	b) 
4/ Rút gọn biểu thức:
	a) 	b) 	c) 
ĐS: a) A=a	b) (x>0)	c) C=1(a>0)
Dạng 2 so sánh các số:
PP: sử dụng tính chất 6
Bài 1 So sánh các số sau:
a) 3400 và 4300	b) (0,5)-0,4 và 1	c) 1 và (0,3)-0,2	d) và 1
Bài 2 So sánh các số m và n
	a) 	b) 
Bài 3 Tìm x biết:
	a) 2x-8>0	b) 	c) (0,5)x>0,25	d) 	e) 2|x|>16
LÔGARIT
I.Công thức lôgarit
	(CT đổi cơ số)
II- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ :
III- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
IV HÀM SỐ LŨY THỪA:
“Hàm số y = xa, với a Î R, được gọi là hàm số luỹ thừa.”
Ví dụ: y = x2; y = x-4; y = ; y = ; y = 
* Chú ý :Tập xác định :
 + Với a nguyên dương, tập xác định là R.
 + Với a nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}
 + Với a không nguyên, TXĐ D = (0; + ¥)
(x a)’ = a x a - 1
 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA.
Hàm số y = , có đạo hàm với mọi x > 0 và 
 hệ quả : (Ua)’=aUa - 1.U’
V Một số dạng tóan thường gặp
Dạng 1 :Tính giới hạn hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm số lũy thừa :
PP : ta thường phải thuộc các giới hạn dã tóm tắt trên để vận dụng.
Bài 1 Tính giới hạn sau :
	a) 	b) 
Bài 2 Tính giới hạn sau :
	a) 	b) 	c) 
Dạng 2 tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa.
Bài 1 tính đạo hàm của hàm số sau :
1. y = (5x2 – 4)ln3x
2. y = . lnx6
3. y = (x + 2) ln
4. y = 
5. y = 
6. y = 
7. y = 
8. y = 
9. y = 
10. y = x2 
11. y = (x2 + 2) e2x
12. y = xlnx - xln5
13. y = xlnx – xln2
14. y = (x2 – 2x + 2)ex
15. y = (sinx – cosx) e2x
16. y = 2x - 
17. y = (3x + 1) e
Bài 2 tính đạo hàm của hàm số sau :
	a) y=ecosx	b) y=(2x-1)ln2x	c) 	d) 
Dạng 3 Tìm tập xác định của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
PP : 	Đối với hàm số mũ y=af(x) ta phải có điều kiện :
	Đối với hàm số ta phải có điều kiện :
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau :
a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Dạng 4 khảo sát hàm số mũ, hàm số lôgarit.
PP : xem phần khảo sát sách giáo khoa.
Bài 1 Vẽ đồ thị hàm số sau :
	a) y=2x	b) 
Bài 2 Vẽ đồ thị hàm số sau đây :
	a) 	b) 	c) 
Bài 3 Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến và tìm cực trị của hàm số sau :
	a) 
	b) 
	c) .
Dạng 5 các phép toán về lôgarit.
Pp :để làm được các phép toán về lôgarit,ta cần nắm vững định nghĩa các tính chất của lôgarit như đã trình bày trong phần tóm tắt giáo khoa.
Bài 1 Rút gọn :
	a) 	b) 	c) 	d) 
ĐS : a)13/3	b)-28/15	c) 5184	d) 
Bài 2 tìm cơ số a, biết :
	a) 	b) ĐS : a) a= b) 
Dạng 6 Các bài toán về công thức đổi cơ số :
PP : Áp dụng công công thức đổi cơ số :
	 và 
Bài 1 Chứng minh rằng : 
Bài 2 Cho .Hãy tính theo m ĐS : 
Bài 3 a) Cho . Hãy tính theo a 
 b) Cho . Hãy tính theo a
 	 phương trình mũ và lôgarit
Lý thuyết
Phương trình cơ bản :
Phương trình mũ
Phương trình lôgarit
Dạng cơ bản
Điều kiện
có nghiệm
Nghiệm
Dạng cơ bản
Điều kiện
có nghiệm
Nghiệm
ax=m
(0<a¹1)
m£0
xÎÆ
. m tùy ý
. x=am
m>0
Phương pháp giải :
PP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1) Đưa về cùng cơ số
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt t=af(x)(t>0)(*)
Giải phương trình theo t
Giải (*) để tìm x
Đặt (*)
Giải phương trình theo t
Giải (*) để tìm x
3) Phương pháp lôgarit hóa
Lấy lôgarit hai vế theo một cơ số thích hợp sao cho lời giải được gọn
4) Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Đoán một nghiệm của phương trình
Chứng minh nghiệm đó là duy nhất nhờ tính đơn điệu của hàm số mũ
Đoán một nghiệm của phương trình
Chứng minh nghiệm đó là duy nhất nhờ tính đơn điệu của hàm số lôgarit.
Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải :
Phương trình mũ :
Dạng 1 Đưa về cùng cơ số
Phương pháp : Biến đổi phương trình đã cho về dạng :	
Chú ý : 
Ví dụ 1 Giải phương trình sau :
ĐS : a)x=-1 b)x=38/3
Ví dụ 2 Giải phương trình sau :
 ĐS : a) -1 ; 2	b) 3	c) 0 ; 1	d) 1 ; 3
Dạng 2 Đặt ẩn phụ :
Phương pháp : 
Biến đổi các số hạng của phương trình về theo af(x)
Đặt t=af(x) với t>0
Giải phương trình đại số ẩn t (chỉ nhận các nghiệm t>0)
Giải phương trình mũ cơ bản af(x)=t để tìm x.
Ví dụ 1 Giải phương trình sau :
	a) 52x-1+5x+1=250	b) 9x + 6x = 2.4x.
ĐS : a) x=2	b)x=0
Ví dụ 2 Giải phương trình sau :
	a) 2.8x=12x+27x	b) 3x+33-x=12
	c) 	d) 
Dạng 3 phương pháp lôgarit hóa hai vế :
	Phương pháp :
	Thu gọn phương trình về dạng af(x)=bg(x).
	Lấy lôgarit cơ số a ( hoặc b) hai vế rồi giải phương trình đại số ta được x.
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a) 3x+3x+1+3x+2=4x+4x+3.	b) 
Dạng 4 sử dụng tính đơn diieụ của hàm số mũ :
 Phương pháp :
Đoán một nghiệm của phương trình
Chứng minh nghiệm đó là duy nhất nhờ tính đơn điệu của hàm số mũ
Ví dụ 1: Giải phương trình sau :
	a) 	b) 2x+2005x-2007=0
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :
Cho 0<a,b<1. Chứng minh rằng nếu phương trình ax+bx=1 có nghiêm xo thì nghiệm đólà duy nhất. Áp dụng giải phương trình : 3x+4x=5x.
Bài tập làm thêm :
1. 
2. 33x – 1 = 9x + 2
3. 
4.
5. 4x = 82x – 1
6. 34 – 2x = 
7. 
8. = 252x – 4
9. = 92x – 2
10. 
11. = 36. 32 –x 
12. 5x . = 50
13. 3x . = 36
14. 3x-1 . = 8. 4x - 2
15. 52x-1+5x+1 - 250 = 0 
16. 9x + 6x = 2.4x 
17. 22x-3 - 3.2x-2 + 1 = 0 18. 
19. 
20. = 12.
21. 
22. 	
23. 
24. 
25. 
26. 7. 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3 
27. 6. 4x - 13.6x + 6.9x = 0 
28. 76-x = x + 2
29. 
30. 
31. 3x+1 + 3x-2 - 3x-3 + 3x-4 = 750 
32. 3..25x-2 + (3x - 10)5x-2 + 3 - x = 0 
33.5x + 5x +1 + 5x + 2 = 3x + 3x + 3 - 3x +11 
34. 3x+3x+1+3x+2=5x+5x+1+5x+2 
35. 2x+2x-1+2x-2=7x+7x-1+7x-2 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
 42. 
II. Phương trình Lôgarit.
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số 
Ví dụ: Giải các phương trình
	a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46	b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
	c) log4x + log2x + 2log16x = 5	d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
	e) log3x = log9(4x + 5) + ½ 	f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
	g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)	 h. 	
	i. k. 
	m). n).
	 p) 
Dạng 2. đặt ẩn phụ 
Ví dụ: Giải các phương trình
	a) 	b) logx2 + log2x = 5/2 r) 
	c) logx + 17 + log9x7 = 0	d) log2x + s) 
	e) log1/3x + 5/2 = logx3	f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
	g) 	h) 
 i/ k/ l) 
 m) n) 
 o) 	 
 p) q) 
Dạng 3 mũ hóa 
Ví dụ: Giải các phương trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)	b) log3(3x – 8) = 2 – x c) 
d) e) / 
 f) 	
Dạng 4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit :
 Phương pháp :
Đoán một nghiệm của phương trình
Chứng minh nghiệm đó là duy nhất nhờ tính đơn điệu của hàm số lôgarit.
Ví dụ 1 Giải pt :log3x+log5(2x-1)=2 ĐS ;x=3
Ví dụ 2 giải phương trình : lnx+ln(2x-e)=2. Đs :x=e
Bài tập làm thêm :
1. 
2. 
3. 	 
4.
5.
6.	
7.	
8. 
9. 1/. 
10/. 	
11/. 
12/. 
13/. 
14/. 	
15/. 
16/. 
18. 22x-3 - 3.2x-2 + 1 = 0 
19. 
20. = 12.
21. 
22. 	
23. 
24. 
25. 
26. 7. 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3 
27. 6. 4x - 13.6x + 6.9x = 0 
28/. 	16/. 
29/. 
30/.