Giải tích 11: Giới hạn của dãy số và hàm số

Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 1 
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa: 
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un 
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí 
hiệu:  lim 0 hay u 0 khi n + .nunn     
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô 
cực (n  ), nếu  lim 0. n
n
u a

  Kí hiệu:   nlim hay u khi n + .n
n
u a a

    
 Chú ý:    lim limn n
n
u u

 . 
2. Một vài giới hạn đặc biệt. 
a) *
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
  
n
b)  lim 0 nq  với 1q  . 
c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. 
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : 
*
nv nn nu w    và 
     nlim lim lim un nv w a a    . 
b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: 
      lim lim limn n n nu v u v a b     
  lim . lim .lim .n n n nu v u v a b  
 
 
 *n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
nn
n n
uu a
b
v v b
      
    lim lim , 0 ,a 0n n nu u a u    
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1.q  
 1lim lim
1
n
u
S
q


5. Dãy số dần tới vô cực: 
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  nu  khi n dần tới vơ cực  n nếu un 
lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay 
un  khi n . 
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi n nếu lim nu   .Ký hiệu: 
lim(un)= hay un khi n . 
c) Định lý: 
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 2 
o Nếu :    *nlim 0 u 0 , nnu     thì 
1
lim
nu
  
o Nếu :  lim nu   thì 
1
lim 0
nu
 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 
1. Giới hạn của dãy số (un) với 
 
 n
P n
u
Q n
 với P,Q là các đa thức: 
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia 
tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả :   0
0
lim n
a
u
b
 . 
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. 
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= . 
2. Giới hạn của dãy số dạng: 
 
 n
f n
u
g n
 , f và g là các biển thức chứa căn. 
o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. 
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 
C. CÁC VÍ DỤ. 
1. 
2
2 2 2
22
22
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
1 87 87 8 77
n n
n n n n n
n nn n
n nn
 
 
 
 
    
2. 
2
2 2
11 4
1 4
1 4 1 4 5
lim lim lim
3 2 23 2 3 33
n n
n n nn
nn
n n
 
 
  
   
 
3.  
  2 2 2 2
2
2 2
2 3 2 3 2 3
lim 2 3 lim lim
2 3 2 3
n n n n n n n n n
n n n
n n n n n n
        
    
     
2
22
3
2
2 3 2 3 2
lim lim lim 1
1 12 32 32 3 1 11 1
n n n
n n n
n
n nn n

 
    
         
 
2 2 3n n n   là biểu thức liên hợp của 2 2 3n n n   
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 3 
4. 
 1
1 1 1 1 1 2
1 ... ... .
12 4 8 2 3
1
2
n
     
                         
 
Tổng của cấp số nhân lùi vô 
hạn có công bội 
1
2
q   và số hạng đầu u1=1. 
5. 
3
3 3 2 3
22
2 33
2 1 2 1
1
2 1
lim lim lim
1 1 32 32 3
n n
n n n n n
n nn n
n n nn
 
 
 
   
    
. 
6.  
   
 
2 233 3 3 33
3 3
2 233 33
2 2 2.
lim 2 lim
2 2.
n n n n n n
n n
n n n n
       
   
   
   
   
3 3
3 3
2 22 23 33 3 3 33 3
2 2
lim lim
2 2. 2 2.
n n n n
n n n n n n n n
   
 
       
 
2 233 33
2
lim 0
2 2.n n n n
 
   
D. BÀI TẬP 
1. Tìm các giới hạn: 
a) 
2
2
7
lim
5 2
n n
n


b) 
2 1
lim
2
n
n


c) 
2
2
3 1
lim
4
n
n


d) 
3
3
6 3 1
lim
7 2
n n
n n
 

e) 
2
3
2 4
lim
7 2 9
n n
n n
 
 
f) 
2
2
2
lim
4 2
n
n


g) 
33 8 1
lim
2 5
n
n


h)  2lim 2 3n n n   
i)  lim 1n n 
2. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
1 2 3 4 ...
lim
3
n
n
    

 b) 
   5sin 7cos
lim
2 1
n n
n


3. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2 23 1 1
lim
n n
n
  
b)  3 23lim 2n n n  
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 4 
c)  2 2lim 1 2n n   
d) 
2 3 4
2 3 4
1 ...
lim a 1, b 1 
1 ...
n
n
a a a a a
b b b b b
     
 
     
e) 
3
4 2
2
lim
3 2
n
n n 
f) 
 
  
12
1
lim
2 1
n
n
n
n

 
 
g)  2 4lim 1 3 1n n n    
h) 
2 63
4 2
1
lim
1
n n
n n
 
 
i) 
  
  
2 1 3
lim
1 2
n n n
n n
 
 
j) 
2 2 2 2
1 1 1 1
lim 1 1 1 ... 1
2 3 4 n
     
        
     
k) 
2 2 2
1 1 1
lim ...
1 2n n n n
 
   
   
4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: 
a) 
3
2
2 11 1
lim
2
n n
n
 

b) 
2 2
1
lim
2 4n n  
c)  3 23lim n n n n    
 _________________________________________________________ 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới 
hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn  a ,
*n  mà 
lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:  lim
x a
f x L

    . 
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: 
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. 
b) Định lý 2:Nếu các giới hạn:    lim , lim
x a x a
f x L g x M
 
        thì: 
        lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
               
        lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
            
 
 
 
 
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f xf x L
g x Mg x



  
  
  
      lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
 
      
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 5 
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm 
a), g(x) f(x)h(x) ,x K x a   và      lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
  
              . 
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: 
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có 
lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:  lim
x a
f x

     . 
b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) =  đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn 
là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:  lim
x
f x L

    . 
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a 
*n  , 
thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :  lim
x a
f x

   . Nếu chỉ đòi hỏi với 
mọi dãy số (xn), xn < a 
*n  thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: 
 lim
x a
f x

   
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
 Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: 
1. Giới hạn của hàm số dạng: 
 
 
0
lim 
0x a
f x
g x
 
 
 
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. 
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên 
hợp. 
2. Giới hạn của hàm số dạng: 
 
 
lim 
x
f x
g x
 
  
o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x thì coi như x>0, 
nếu x thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 
3. Giới hạn của hàm số dạng:      lim . 0.
x
f x g x

    . Ta biến đổi về dạng: 
 
 
 
4. Giới hạn của hàm số dạng:      lim -
x
f x g x

   
 
o Đưa về dạng: 
   
   
lim
x
f x g x
f x g x


C. CÁC VÍ DỤ 
1. 
   
 
22
2
2 3 2 23 2 12
lim 3
2 2 2 4x
x x
x
    
    
  
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 6 
2. 
  
 
2
2 2 2
2 13 2
lim lim lim 1 2 1 1
2 2x x x
x xx x
x
x x  
  
     
 
.Chia tử và mẫu cho (x-2). 
3. 
   
   
  
  23 3 3
1 2 1 2 3 3 1 4 3 31 2
lim lim lim
3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2x x x
x x x x xx
x x x x x x  
        
 
       
  
  
 
 
 
 3 3
3 3 3 3 3 3.3 3 6 1
lim lim
12 23 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2x x
x x x
x x x 
   
    
      
4. 
2
3
3 1
lim
3x
x x
x
 


 (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: 
2
3
2
3
3 1
lim
3
3 1
lim
3
x
x
x x
x
x x
x




  
  

   
 
5. 
  
   
 
  
2 23 2
23 21 1 1
1 2 1 2 12 1
lim lim lim
4 5 2 1 21 2x x x
x x x x xx x
x x x x xx x  
     
   
     
. 
6. 
2
2 2 2
22
22
2 3 1 3
2
2 3 2
lim lim lim 2
111 11
x x x
x x
x x x x x
xx
xx
  
 
 
 
   
 
7. 
1
lim 1 0
x
x

  
8. 
2 2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x x
x x x  


    
9. 
2 2 2
2
1 1
1 1
1 1
lim lim lim lim 1 1
x x x x
x x
x x x
x x x x   
    
        
 
. 
10. Cho hàm số :  
 
 
2 3 x 1
x+a
 x>1
x
x x
f x
   

 


. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 
1 và tìm giới hạn đó. 
Giải 
 Ta có :    2
1 1
lim lim 3 3
x x
f x x x
  
       . 
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 7 
  
1 1
lim lim 1
x x
x a
f x a
x  

      
 Vậy  
1
lim 3 1 3 2
x
f x a a

         
11. 
  
 
23
2
2 2 2
2 2 48
lim lim lim 2 4 12
2 2x x x
x x xx
x x
x x  
  
    
 
. Dạng 
0
0
 
 
 
. 
12. 
3
3 3 2 3
33
33
2 1 2 1
1
2 1 1
lim lim lim
12 12 1 22
x x x
x x
x x x x x
xx
xx
  
 
 
 
  
 
. Dạng 
 
 
 
. 
13.  
 
 2
2
2
2
3 3 33 3 3
2
2 3 1
2 3 12
lim 3 1 lim lim
. 1 . 1 . 1x x x
x x
x x xx x
x x x x x x
x
  
 
  
    
   
2
3
3
1 1
2 3
6
lim 6
11
1
x
x x
x

 
  
   

14.  
  2 2 2 2
2
2 2
3 3 3
lim 3 lim lim
3 3x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x  
        
    
     
2 2
2
3 3
1
3 1
lim lim lim
21 33 3 1 1
x x x
x
x x x
x x x x x x
x xx
  



   
        
. Dạng 
   . 
D. BÀI TẬP. 
1. Tìm các giới hạn sau: 
a)  3 2
0
lim 4 10
x
x x

  
b)  2
3
lim 5 7
x
x x

 
c) 
2
1
5
lim
5x
x
x


d) 
2
3
2 15
lim
3x
x x
x
 

e) 
2
21
2 3 1
lim
1x
x x
x
 

f) 
3 2
1
1
lim
1x
x x x
x
  

Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 8 
g) 
4 4
lim
x a
x a
x a


 h) 
2
7
3 3
lim
2x
x x
x
 

2. Tìm các giới hạn : 
a) 
2
0
1 1
lim
x
x x x
x
   
b) 
2
2
lim
4 1 3x
x x
x
 
 
c) 
3
0
1 1
lim
3x
x
x
 
d) 
3
21
1
lim
3 2x
x
x

 
e) 
 
2
22
3 2
lim
2x
x x
x
 

f) 
2
3 21
2 3 1
lim
1x
x x
x x x
 
  
g) 
2
3
4 3
lim
3x
x x
x
 

h) 
 
6 5
21
4 5
lim
1x
x x x
x
 

i) 
3
22
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x
  
 
3. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
2
3 5 1
lim
2x
x x
x
 

b) 
   
 
2 2
4
1 . 7 2
lim
2 1x
x x
x
 

c) 
  
  
2
3
2 1 5 3
lim
2 1 1x
x x
x x
 
 
d)  2lim 4
x
x x x

  
e) 
   
2
sin 2 2cos
lim
1x
x x
x x

 
.
4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem  
0
lim
x x
f x

   có 
tồn tại không trong các trường hợp sau: 
a)  
 
 
2 1
 x>1
5 3 x 1
x
xf x
x


 
  
 tại x0 = 1 
b)  
 
 
2
2
2
 x>1
1
1 x 1
x x
f x x
x x
  

 
   
 tại x0 = 1 
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 9 
c)  
 
 
24
 x<2
2
1 2 x 2
x
f x x
x
 

 
  
 tại x0 = 2 
d)  
3
2
3 2
5 4
x x
f x
x x
 

 
 tại x0 = 1 
5. Tìm các giới hạn: 
a)  2lim 5
x
x x x

  
  
 b)  2lim 3
x
x x x

  
 __________________________________________________________________________ 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng: 
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0  
(a;b) nếu:    
0
0lim
x x
f x f x

    .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián 
đoạn của hàm số. 
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) 
 liên tục tại điểm x0  (a;b)        
00 0
0lim lim lim
x xx x x x
f x f x f x f x
   
              . 
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục 
tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. 
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục 
trên khoảng (a;b) và 
   
   
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b




    

    
2. Một số định lý về hàm số liên tục: 
o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì:        
 
 
   , . , 0
f x
f x g x f x g x g x
g x
  
cũng liên tục tại x0 . 
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định 
của chúng. 
o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung 
giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. 
 Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một 
điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 
(a;b). 
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 10 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:  
   
 
0
0
 x x
a x=x
g x
f x
 
 

o Tìm  
0
lim
x x
g x

   .Hàm số liên tục tại x0  
0
lim
x x
g x a

    . 
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:  
   
 
   
0
0
0
 x<x
 x=x
 x>x
g x
f x a
h x


 


o Tìm : 
   
   
 
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
 
 
 
 
       


       



. Hàm số liên tục tại x = x0 
     
0 0
0lim lim
x x x x
f x f x f x a
  
          . 
3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). 
o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. 
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0 
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b). 
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh 
f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng 
f(x)=0 đều có nghiệm. 
C. CÁC VÍ DỤ. 
1. Cho hàm số:  
 
 
2 1
 x 1
1
a x=1
x
f x x
 

 


 a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm 
số tại x0 = 1. 
Giải 
 Hàm số xác định với mọi x thuộc R. 
 Ta có f(1) = a. 
  
 
2
1 1 1
1 11
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x xx
x
x x  
 
   
 
 Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1. 
 Nếu a 2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1. 
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 11 
2. Cho hàm số:  
 
 
2 1 x 0
x x 0
x
f x
  
 

. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0. 
Giải 
 Hàm số xác định với mọi x thuộc R. 
 Ta có f(0) = 0 
 
     
0 0
2
0 0 0 0
lim lim 0
lim lim 1 1 0= lim lim
x x
x x x x
f x x
f x x f x x
 
   
 
   
    
          
. 
 Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0. 
3. Cho hàm số:  
 
 2
2 x 1
x +x-1 x 1
ax
f x
  
 

. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn 
trục số. 
Giải 
 x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục. 
 x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục. 
 Khi x = 1: 
 Ta có f(1) = a+2 
   
   
1 1
2
1 1
lim lim 2 2
lim lim 1 1
x x
x x
f x ax a
f x x x
 
 
 
 
      
      
. 
 Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1. 
 Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a  -1. 
 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên    ;1 1;   
nếu a  -1. 
D. BÀI TẬP 
1. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì 
chỉ ra các điểm gián đoạn. 
a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1 
b)   2
2 1
3 2
x
f x
x x


 
c)  
2
2
5 6
2
x x
f x
x x
 


d)  
 
 
2 16
 x 4
4
8 x=4
x
f x x
 

 


2. Cho hàm số:  
 
 
2 x 2
3 x>2
ax
f x
 
 

 a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi 
x, khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số. 
Giải tích 11:Giới hạn của dãy số và hàm số 
 ___________________________________________________________________________ 
Trang 12 
3. Chứng minh rằng phương trình: 
a) 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm 
b) 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1). 
c) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt. 
d) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2). 
e) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2]. 
4. Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R: 
a)  
 
 
3 3 2
 x>2
2
1
 x 2
4
x
xf x
ax
 
  
  

b)  
 
 
1 x<0
 x 0
f x
x a

 
 
5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trường hợp sau: 
a)  
 
 
1 2 3 
 x 2
2
1 x 2
x
f x x
  

 
 
 tại x0 = 2 
b)  
 
 
3 2-x +2x-2 
 x 1
1
4 x 1
x
f x x


 
 
 tại x0 = 1. 
c)  
 
 
 
 
2
2x -x-6 x 3 0
3
 x 0
 x=3
x
x x
f x a
b

  

 



 tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.