Giải bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp đưa về một biến

Gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc b»ng ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn. 
N-H-T
 Bài toán: Xét bài toán:Với điều kiện R (nếu có) . Chứng minh rằng
P = f(x,y,z,...)(hoặc A) hoặc tìm GTLN; NN của P.
Phương pháp 1:
 Chứng minh: P 
 Chứng minh: .
 Chứng minh: P g(t) 
 Chứng minh: g(t) A .
Vấn đề đặt ra là đánh giá biểu thức p để đưa về biểu thức một biến g(t) và chứng minh
 - Việc chứng minh ở đây tôi có thể sử dụng cách biến đổi, dùng các bất đẳng thức cơ bản hoặc với hoc sinh lớp 12 có thể làm bằng cách sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên để giải. 
 - Còn đánh giá P nói chung là phong phú tùy thuộc từng bài toán để lựa chọn cách đánh giá thích hợp (dùng cách biến đổi , sử dụng bất đẳng thức cổ điển. bunhiacopki,côsi,....). 
Phương pháp 2: 
a. Nếu vai trò các biến x,y,z bình đẳng, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử : x = max(x,y,z,...) hoặc x = min(x,y,z,...) hoặc giả thiết ;và dùng điều kiện bài toán kết hợp các bdt cơ bản khử dần các biến đưa về biến x.
b. Đánh giá các biến, giả thiết thêm các điều kiện của biến đưa:
 P= f(x, y, z, ) f(x, t, ..)  f1(x). Trong đó t, = k(x, y,z,)
Sau đó chứng minh f1(x) A.
Bài1: Với x,y là các số thực dương chứng minh rằng:
 	(1)
	Giải: 
 Vì x là số dương nên:
(1) . Đặt =t ( t >0).
C1: Ta có: (1) trở thành : t-t- t+ 10(t-1)(t+1)0 (đúng với mọi t>0).
C2: Hướng dẫn hs xét hàm : f(t)= t-t- t+ 1 trên (0; ).
 f’(t)= 3t2- 2t -1=0 t= 1 ; t= -.
t
0
 1
f’(t)
 -
 0
+
f(t)
 0
Suy ra f(t) 0 với mọi t > 0 (đccm). 
Bài 2:
Với x,y là các số thực khác không chứng minh rằng:
	 Giải:
Đặt t = thì (áp dụng bđt côsi).
C1: Ta có: (2) trở thành:
(t+2)(t-2t-t+3)0(2')
+) Với t2: ta có t-2t-t+3=(t-2)(t-1)+1>0
nên bất đẳng thức (2') đúng
+) Với t-2: ta có t-2t-t+3=(t+2)[(t-2)+3] - 11> 0 
và t+20 nên bất đẳng thức (2') đúng
vậy bất đẳng thức (2) đúng dấu bằng xảy ra khi t=-2 hay x=-y
 đpcm.
C2: Xét hàm số: f(t) = t3 – 2t2 – t + 3 trên (; -2] [2; ).
Bài 3:
Cho x, y, z là các số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức:
 .
	Giải: 
Từ đẳng thức: ; 
 và điều kiện ta có:
 Đặt: 
C1: 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 Vậy: Pmin= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
 Pmax= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
C2: Đặt f(t) = .
 f’(t)= 
t
0
f’(t)
 -
 0
- 
f(t)
Suy ra f(t)= .
Vậy Pmin= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
 Pmax= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị.
.
Bài 4 Đề thi đại học cao đẳng khối A năm 2006
Cho x, y là hai số thực khác không thoã mãn: ;
Tìm GTLN của biểu thức: A= .
	Giải
Đặt: S= x+y; P= x.y (s24p )
Từ gt ta có: .
 ( Lưu ý S = -3 không thoã mãn).
Đánh giá S: S24P => .
Vậy:
A= 
 ( với S<-3 v S).
Xét: f(S) = trên 
 f’(S)= 
Suy ra f(S ) nghịch biến.
BBT:
S
 -3
1
f’(S)
-
-
f(S)
 1
 0
4
 1
MaxA = f2(1) = 16. Đạt được tại x= y= ( Khi S= 1; P= ).
 Sau đây ta xét một số ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P mới thấy được ẩn phụ
Bài 5: Đề thi đại học khối B năm 2006
Cho x, y, z là các số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức:
 .
 Giải
Áp dụng bdt: .
Ta có: . Dấu bằng xảy ra x=0.
Đặt f(y)= .
Với y: f(y)= . f’(y)= 0 .
Lập bảng biến thiên ta có: f(y) .
Với y>2: f(y) .
Vậy GTNN của A = khi x=0; .
Bài 6: (Đề thi đại học khối B năm 2008).
Cho x, y là các số thực thay đổi thõa mãn: x2 + y2 =1. Tìm gTLN, NN của biểu thức:
 Giải 
Ta có: 
-) Nếu y = 0 ta có P = 2.
-) Nếu Đặt x= ty Suy ra: .
Xét hàm .
 f’(t)= 0 .
 .
Vậy GTLN của P là 3 khi : .
GTNN của P là -6 khi : .
BTTT:
Bài 7: (Đề thi cao đẳng khốiA, B,D năm 2008).
Cho x, y là các số thực thay đổi thõa mãn : : x2 + y2 =2. Tìm GTLN, NN của biểu thức:
 P= 2( x3 + y3) – 3xy.
HD: Đặt: t= x + y với : .
Bài 8: 
Cho Cmr: P=.
HD .
Bài 9 
Cho C mr: 	
 Bài 10
Cho Cmr: .