Giải bài tập Giải tích 12 chương 3 và 4

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§ 1. Nguyên hàm
Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
a) và ; b) và ;	c) và .
Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?
Có hai cách :
- Tính nguyên hàm.
- Đạo hàm.
Giải:
a) và là nguyên hàm của nhau.
b) là một nguyên hàm của .
c) là một nguyên hàm của .
Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
 a) ; 	b) ;
 	c) 	d) 
	e) ;	h) 
 g) . 	
Giải :
a, Đưa về hàm số chứa các lũy thừa của biến x,
 F(x) = .
c, .
hoặc .
d, Biến đổi thành tổng: 
F(x) = .
b, Biến đổi thành tổng các tích phân:
e, Biến đổi ; 
 g, Biến đổi vi phân, F(x) = .
h, .
hướng dẫn câu h:
Bài tập 3 ( trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
 	a) ; b) ;
	c) 	d) .
Giải:
a, Đặt . I = .	b, Đặt . I = .
c, Đặt . I = .	d, Đặt . I = .
Bài tập 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) 	b) 	c) d) 
Giải 
a,Áp dụng nguyên hàm từng phần. 
Đặt 
c, Áp dụng nguyên hàm từng phần
b,Áp dụng nguyên hàm từng phần hai lần
d, Áp dụng tích phân từng phần 
§ 2. Tích phân
Bài tập 1 (Bài tập 1, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
a) ; 
b) ;
c) ;
d) 
e) 
g) .
Giải:
a) 
 .
b) 
.
c) ;	d) ;	e) ; 
g) 0.
Bài tập 2 (Bài tập 2, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
a) ; 
b) ;
c) ;
d) 
Giải:
a) 
 .
c) 
b) 
 .
d) Ta có 
Bài tập 3 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
 	a) 	; b) ;	 c) 	;	d) .
Giải:
a) Đặt t = 1 + x, A = ;	b) Đặt x = sint, B = 
c) Đặt t = 1 + xex, C = ln(1 + e)	d) Đặt x = asint, D = .
Bài tập 4 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:
	a) ;	 b) ; c) ;	d)
Giải:
a) Đặt , A = 2	b) Đặt , B = 
c) Đặt , C = 2ln2 – 1 	d) Đặt ,D = –1.(từng phần 2 lần)
§ 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài tập 1. (trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) ;	b) ;	c) .
Giải:
a) Hoành độ giao điểm:	x = –1, x = 2
.
c) Hoành độ giao điểm:	x = 3, x = 6
= 9.
b) Hoành độ giao điểm:	
= 
= .
Bài tập 2: (Trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , tiếp tuyến với đường này tại và trục Oy.
Giải :
	Viết phương trình tiếp tuyến với đường này tại :
Phương trình tiếp tuyến:.
Hoành độ giao điểm: x = 0, x = 2
 .
Bài tập 4: (Trang 121 SGK) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) ;
b) ;
c) .
Giải :
a) Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox ?
Ta có 
Suy ra parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là -1; 1.
	Lập công thức tính thể tích ?
Khi đó: .
 b). .
c).
 Bài tập 5: (Trang 121 SGK) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt OM = R, .
a) Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox.
b) Tìm sao cho thể tích đó là lớn nhất.
Viết phương trình OM, toạ độ điểm P?
(OM): y = tana.x
Tọa độ của P:	P = (Rcosa; 0)
a. V= =
b. Max V()= .
Đặt vì , ta có ;
Có ;
Vậy 
Ôn tập chương III
Bài tập 3: (Trang 126 SGK) Tìm nguyên hàm của hàm số:
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải:
a) Khai triển thành tổng ta có 
b) Phân tích tích thành tổng : .
Ta có ;
c) Phân tích thành tổng: 
Ta có 
d) Khai triển 
Ta có 
Bài tập 4: (Trang 126 SGK).Tính:
a/. 	b/.;	c/. 	
d/. 	e/. 	g/.
Giải:
a) Áp dụng nguyên hàm từng phần, ta được: F(x) =
b) .
c) 
d) 
e) 
g) 
Bài tập 5: Tính:
a) b) ; 	c) ;	d).	
Giải:
a) Đặt : 	t = 
Ta có: 	dx= 2tdt.
Đổi cận:	x = 0 thì t = 1
	x = 3 thì t = 2
ĐS: 8/3;
b) 
c) 
Đặt u = x2 và dv = e3x 
ta được du = 2xdx và v = e3x
 =
=x2e3x - 
Đặt u = x và dv = e3x
 ta được du = dx và v = e3x
 = x2e3x -xe3x + 
= - + = + - 
=(13e6 – 1);
d) ĐS:.
Bài tập 6: Tính:
a) 	b) 	c)
d) 	e) 	g) .
Giải:
g) 
Ta có: I = = 
= ++ 
 = + 2I1 + 
 = +2I1 + x - 
= +2I1 + - sin2x 
Tính I1 = 
Đặt u = x và dv = sinxdx 
ta có du = dx và v = -cosx
I1 = 	= -xcosx+ 
	 = + sinx=
I = = + 
Đáp số
Bài 3 / ( Trang 126 , SGK ) .
a) 
b) 
c)
d) 
Bài 4 / ( Trang 126 , SGK ) 
a) ( x – 2 ) cosx – sinx + C 
b) 
c)
d ) 
e ) 
Bài 5 / ( Trang 127 , SGK ) 
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 6 / ( Trang 127 , SGK ) 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Bài 7 / ( Trang 127 , SGK ) 
a) 
b) .
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
§ 1 Số phức
Bài 1(trang 133) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
Giải: 
Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: a. 1;-π b. ;-1 c. 2;0 d. 0;-7.
Bài 2(trang 133). Tìm các số thực x và y, biết:
a) 
b) 
c) 
Giải:
Cho phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, ta có các hệ phương trình ẩn x, y.
a.;	 b. ;	 c..
Bài 4(134). Tính với:
a) 	b) 	c) 	d) 
Đáp số:
a. b. c. 5 d. 
§ 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
Bài 1 Thực hiện các phép tính
a) (3 - 5i) +(2+4i) = 5 - i
b) ( -2-3i) +(-1-7i) = -3-10i 
c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i
( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i.
Bài 2.Tính a+b, a-b với
a)a = 3,b = 2i b)a = 1-2i,b = 6i
c)a = 5i,b =- 7i d)a = 15,b =4-2i
giải
a)a+b = 3+2i a-b = 3-2i;
b)a+b = 1+4i a-b = 1-8i;
c)a+b =-2i 	a-b = 12i;
d)a+b = 19-2i a-b = 11+2i.
Bài 3. Thực hiện các phép tính
a) (3-2i) .(2-3i) = -13i;
b) ( -1+i)(3+7i) = -10-4i ;
c) 5(4+3i) = 20+15i;
 ( -2-5i).4i = -8i + 20.
Bài 4.Tính i3, i4 i5
Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tuỳ ý .
giải
i3=i2.i =-i
i4=i2.i 2=-1
i5=i4.i =i
Nếu n = 4q +r, 0 £ r < 4 thì in = ir
Bài 5.Tính
(2+3i)2=-5+12i;
b) (2+3i)3=-46+9i;
§ 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC
Bài 1 Thực hiện các phép chia sau:
 a/ = ;	 b/ =;
c/ = ;	 d/ .
Bài 2 Tìm nghịch đảo của số phức biết:
a) 	b) 	c) 	d) .
Giải:
a/ =;	b/ =;
c/ ;	d/= .
Bài 3 Thực hiện các phép tính sau:
a/ ;	b/ ;	c/;	d/ 4-3i+.
Giải:
a) ;
b) = ;
c) ;
d) 4-3i+ = 4-3i += 4-3i +.
Bài 4 Giải các phưong trình sau:
a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i
ó(3-2i)z=3 – 2i
óz = =1
b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z
ó(-1+2i)z=(2+5i)
ó z= 
c/
§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Bài 1(140) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.
;	b) ;	c);	d) ;	e) .
Bài 2(140) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 	b) 	c) 
Đáp số:
;	b) ;	c) .
Bài 3(140) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) 	b) 
Đáp số:
;	b) .
Bài 4(140) Cho là hai nghiệm của phương trình Hãy tính và theo các hệ số 
Giải:
Phương trình có nghiệm: 
Ta có: .
Bài 5(140) Cho là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận và làm nghiệm.
Giải:
Theo công thức nghiệm của ptb2:
Nếu , thì phương trình bậc hai là : .
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài tập 5. (trang 143 SGK) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện :
a) Phần thực của bằng 1 ;
b) Phần ảo của bằng -2 ;
c) Phần thực của thuộc đoạn , phần ảo của thuộc đoạn  ;
d) 
Giải :
1/ Số phức có phần thực a = 1: Là đường thẳng qua hoành độ 1 và song song với Oy.
2/ Số phức có phần ảo b = -2: Là đường thẳng qua tung độ -2 và song song với Ox.
3/ Số phức có phần thực a ,phần ảo b : Là miền hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = -1; x = 2; y = 0; y = 1.
3/: Là hình tròn tâm tại gốc tọa độ O, có R = 2.
Bài tập 6 Tìm các số thực x, y sao cho :
b) 2x + y – 1 = (x+2y – 5)i
Bài tập 8 Tính : 
b) (4-3i)+= 4- 3i += 4 – 3i + 
Bài tập 10 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b) .
 ó ó .