Ðề 2 thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010 môn thi : Toán

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Mơn thi : TỐN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = đ
1.	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2.	Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Câu II (2,0 điểm)
1.	Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0
2.	Giải phương trình (x Ỵ R).
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân I = 
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ AB = a, gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=3(a2b2+b2c2+c2a2) + 3(ab + bc + ca) + .
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.	Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ đỉnh C(-4; 1), phân giác trong gĩc A cĩ phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A cĩ hồnh độ dương.
2.	Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đĩ b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuơng gĩc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng .
Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: .
B. Theo Chương trình Nâng Cao
Câu VI.b (2,0 điểm). 
1.	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2; ) và elip (E): . Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 cĩ hồnh độ âm); M là giao điểm cĩ tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ANF2.
2.	Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: . Xác định tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho khoảng cách từ M đến D bằng OM.
Câu VII.b (1,0 điểm)
	Gỉai hệ phương trình : (x, y Ỵ R)
BÀI GIẢI 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I. 1. 
TCĐ: x= -1 vì ; TCN: y = 2 vì
Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) và (-1; +¥). Hàm số khơng cĩ cực trị.
x
-∞ -1 +∞
y’
 + +
y
 +∞ 2
2 -∞
3
2
1
-3
-2
-1
O
2. 	Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = -2x +m
 (vì x = -1 khơng là nghiệm)
Phương trình (*) cĩ nên d luơn cắt (C) tại điểm A, B.Ta cĩ:
Câu II.
1. 	(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
Û cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) = 0
Û cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0
Û cos2x (cosx + sinx + 2 = 0) Û cos2x = 0
Û 2x = Û x = (k Ỵ Z)
2.	, điều kiện : 
	Û 
	Û 
	Û x – 5 = 0 hay (vơ nghiệm) Û x = 5
Câu III.
; 
x
1 e
u
0 1
A’
A
B
C
C’
B’
H
G
I
M
Câu IV. 
	Gọi H là trung điểm của BC, theo giả thuyết ta cĩ :
	. Ta cĩ : AH = , A’H = 2AH = 
	và AA’ = =
	Vậy thể tích khối lăng trụ V = =
	Kẻ đường trung trực của GA tại trung điểm M của GA
	trong mặt phẳng A’AH cắt GI tại J thì GJ là bán kính 
	mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
	Ta cĩ: GM.GA = GJ.GI 
	Þ R = GJ = = = 
Câu V. Đặt t = ab + bc + ca, ta cĩ: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
	Þ 1 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)
	Þ a2 + b2 + c2 = 1 – 2t và 
	Theo B.C.S ta cĩ : t2 = (ab + bc + ca)2 ≤ 3(a2b2 + b2c2 + c2a2)
	Þ M ≥ 
	f’(t) = 
	f ’’(t) = < 0, "t Ỵ Þ f’(t) là hàm giảm
	 > 0 Þ f tăng Þ f(t) ≥ f(0) = 2, "t Ỵ 
	Þ M ≥ 2, " a, b, c khơng âm thỏa a + b + c = 1
	Khi a = b = 0 và c = 1 thì M = 2. Vậy min M = 2.
PHẦN RIÊNG 
A.	Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a. 
A
B
C
(d)
Vì C (-4; 1), vuơng và phân giác trong 
	gĩc A là (d) : x + y – 5 = 0, xA > 0 nên A(4; 1) 
	Þ AC = 8 
	Mà diện tích DABC = 24 nên AB = 6. 
	Mặt khác, AB vuơng gĩc với trục hồnh 
	nên B (4; 7) 
	Vậy phương trình của BC là: 3x + 4y – 16 = 0
	2.	A (1; 0; 0); B (0; b; 0); C (0; 0; c) với b, c > 0
	Þ (ABC) : Þ (ABC) : bc.x + cy + bz – bc = 0 
	Vì d (0; ABC) = nên Þ 3b2c2 = b2c2 + b2 + c2
	Û b2 + c2 = 2b2c2 (1)
	(P) : y – z + 1 = 0 cĩ VTPT là 
	(ABC) cĩ VTPT là 
	Vì (P) vuơng gĩc với (ABC) Þ Þ c – b = 0 (2)
	Từ (1), (2) và b, c > 0 suy ra : b = c = 1
Câu VII.a. 
	z = a + ib. Suy ra : và (1+i)z = (1 + i)(a + bi) = (a – b) + (a + b)i
	 Û 
	Û a2 + (b2 – 2b + 1) = 2 (a2 + b2) Û a2 + b2 + 2b – 1 = 0 Û a2 + (b + 1)2 = 2
	Vậy z = a + ib với a, b thỏa a2 + (b + 1)2 = 2.
B. Theo Chương trình Nâng Cao
Câu VI.b. 
1. 	
	Do đĩ F1(-1; 0); F2(1; 0); (AF1) cĩ phương trình 
	Þ M Þ N Þ ; Þ 
	Þ DANF2 vuơng tại A nên đường trịn ngoại tiếp tam giác này cĩ đường kính là F2N. Do đĩ đường trịn cĩ phương trình là : 
2.	d (M; D) = . M Ỵ Ox Û M (m; 0; 0)
	D qua N (0; 1; 0) cĩ VTCP = (2; 1; 2)
	 Þ 
	Ta cĩ: d (M, D) = OM Û Û 
	Û 4m2 – 4m – 8 = 0 Û m = -1 hay m = 2. Vậy M (-1; 0; 0) hay M (2; 0; 0)
Câu VII.b. 
	 Û Û Û 
	Û Û Û Û 
Ths. Lê Ngơ Thiện, Lưu Nam Phát 
(ĐH Sư Phạm – TP.HCM)