Dùng công cụ lượng giác để giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

DÙNG CÔNG CỤ LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
trên .
Lời giải:
Cách 1: ( Phương pháp hàm số)
Tập xác định: (TXĐ) 
Ta có: 
v 
Lập bảng biến thiên suy ra:
GTLN của 
GTNN của 
Cách 2: ( Phương pháp tam thức bậc 2)
TXĐ: 
Để tồn tại GTLN và GTNN của thì phương trình có nghiệm.
có nghiệm.
Vậy 
GTLN của 
GTNN của 
Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
TXĐ: 
Đặt với 
Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Bunnhiacopxki ta được:
Vậy
GTLN của 
GTNN của 
Chú ý: 
1. Ở cách và cách , khi ta tìm ra được thì ta giải phương trình và để tìm giá trị của thỏa mãn GTLN và GTNN đó!
2. Nguyên nhân dẫn đến ý tưởng đặt là do trong hàm số có xuất hiện lượng sẽ có dạng lượng giác là với cách đặt trên. Từ đó có thể đưa hàm số về dạng bậc nhất . Với thì sẽ đi từ .
Trên đây là một ví dụ đơn giản về ứng dụng của công cụ lượng giác. Ở những bài toán sau ta sẽ thấy được công cụ lượng giác sẽ rất có hiệu quả!
Bài toán 2: Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
(Câu IV.2, Đề thi Đại học khối B 2008)
Lời giải:
Dựa vào điều kiện nên ta có thể đặt với 
Sau đó chú ý 
Biểu thức đã cho có thể đưa về dạng phương trình bậc nhất đối với .
Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình đó ta tìm được GTLN và GTNN của biểu thức .
Ngoài ra, bài toán trên cũng có thể giải theo cách sau:
Đưa biểu thức về dạng 
Suy ra: 
với mọi 
Viết lại 
Đặt 
Cách 1: Xét đạo hàm của hàm số .
Sau đó lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận. (Như đã trình bày ở bài toán 1)
Cách 2: Dùng phương pháp tam thức bậc 2. ( Như đã trình bài ở bài toán 1).
Kết quả: GTLN của hoặc 
GTNN của hoặc 
Bài toán 3: Cho là hai số thực không âm thay đổi. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
(Câu IV.2, Đề thi Đại học khối D 2008)
Lời giải:
Cách 1:
Đặt với 
Ta có:
Ta có:. Do 
Vậy 
GTLN của 
GTNN của 
Cách 2: Nhận thấy rằng 
Đặt với 
Thế vào biểu thức , rút gọn và dùng những BĐT cơ bản ta suy ra kết quả như trên.
Cách 3: ( phương pháp đại số)
Nếu nhận thấy được rằng có thể đưa biểu thức về dạng:
Đặt 
Nhận xét rằng:
với 
Vậy 
GTLN của 
GTNN của