Đề Toán - Thi thử Đại học - lần 6

Môn Toán
THI THỬ ĐẠI HỌC 2011
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số  y =
x +1
x -1

.
a)   Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
b)  Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x + 1
x -1

= m.
(	)
a)   Tìm m để phương trình 2  sin4 x + cos4 x  + cos 4x + 2sin 2x - m = 0 có nghiệm trên ê	ú .
Câu II (2 điểm)
é   p ù
0;
ë	2 û
log   2 ( x + 3) +	log4 ( x -1)	= log2 ( 4x).
b)  Giải phương trình
Câu III (2 điểm)
1            1                           8
2                         4
a)   Tìm giới hạn L = lim
x®0
3
3x2 -1 +   2x2 +1
1- cos x

.
b)  Chứng minh rằng C100	100	100	100	100	100 = -2   .
- C
+ C
- C
+ ... - C
+ C
M =   4a + 9b +16c +   9a +16b + 4c +   16a + 4b + 9  .
0	2	4	6	98	100	50
Câu IV (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
c
B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn
Câu Va (2 điểm)
a)   Trong hệ tọa độ  Oxy, cho  hai đường tròn có  phương trình (C1 ) : x2 + y2 - 4 y - 5 = 0  và
(C2 ) : x2 + y2 - 6x + 8 y +16 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1 )

và (C2 ).
b)  Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’.
Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.
Câu VIa (1 điểm)
Cho điểm  A ( 2;5;3)  và đường thẳng  d :
x -1    y  z - 2
=    =
2       1       2

. Viết phương trình mặt phẳng (a )  chứa
d  sao cho khoảng cách từ  A đến (a ) lớn nhất.
Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao
Câu I
2 điểm
a)
x + 1
Tập xác định: Hàm số  y =          có tập xác định D = R \ {1}.
x -1
x +1                x + 1                    x + 1
Giới hạn:   lim           = 1;  lim          = +¥;  lim          = -¥.
+                                      -
x®±¥ x -1          x®1  x -1                x®1  x -1
0,25
-2
Đạo  hàm:   y ' =              < 0, "x ¹ 1 Þ   Hàm  số  nghịch  biến  trên  các  khoảng
( x -1)2
( -¥;1) và (1; +¥). Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  x = 1; tiệm cận ngang  y = 1. Giao của hai tiệm
cận I (1;1) là tâm đối xứng.
0,25
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25
b)
x +1
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị  y =       (C ')
x -1
Học sinh tự vẽ hình
0,5
b)  Cho tứ diện OABC có  OA = 4, OB = 5, OC = 6  và   AOB = BOC  = COA = 60  .  Tính thể tích
Môn Toán
Câu Vb (2 điểm)
a)   Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp
xúc với đường thẳng d : x - y - 2 = 0 tại điểm A có hoành độ bằng 4.
0
tứ diện OABC.
Câu VIb (1 điểm)
Cho	mặt	phẳng	( P ) : x - 2 y + 2z -1 = 0

và     các     đường     thẳng

d1 :
x -1
2
y - 3    z
=          =    ,
-3      2
d2 :
x - 5     y  z + 5

=    =

6       4      -5

. Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường
thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.
ĐÁP ÁN
x + 1                                                               x +1
Số nghiệm của           = m bằng số giao điểm của đồ thị  y =           và  y = m.
x -1                                                               x -1
0,25
Suy ra đáp số
m  1: phương trình có 2 nghiệm
m = -1: phương trình có 1 nghiệm
-1 < m £ 1: phương trình vô nghiệm
0,25
Câu II
2 điểm
a)
4                  4           1        2                                                        2
Ta có sin   x + cos  x = 1 -   sin   2x  và cos4x = 1 - 2sin  2 x.
2
0,25
2
Do đó (1) Û -3sin   2x + 2sin 2x + 3 = m .
é   p ù
Đặt t = sin 2x . Ta có  x Î ê0;   ú Þ 2x Î[0;p ] Þ t Î[0;1].
ë    2 û
2
Suy ra  f (t ) = -3t   + 2t + 3 = m, t Î[0;1]
0,25
Ta có bảng biến thiên
0,25
é   p ù                   10
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên   0;      Û 2 £ m £
ê       ú
ë    2 û                    3
0,25
b)
1            1                           8
Giải phương trình    log   2 ( x + 3) +   log4 ( x -1)   = log2 ( 4x)  (2)
2                         4
Điều kiện: 0 < x ¹ 1
0,25
( 2) Û ( x + 3) x -1 = 4x
0,25
Trường hợp 1: x > 1
2
( 2) Û x   - 2x = 0 Û x = 2
0,25
Trường hợp 1: 0 < x < 1
2
( 2) Û x   + 6x - 3 = 0 Û x = 2  3 - 3
Vậy tập nghiệm của (2) là T =  2; 2  3 - 3
{         }
0,25
Câu III
a)
3       2                        2
3x   -1 +   2x   +1
Tìm L = lim                                 .
x®0         1- cos x
Môn Toán
æ 3       2                                2           ö
3x   -1 +1      2x   +1 -1
Ta có L = lim ç                    +                    ÷
x®0 ç   1- cos x          1- cos x    ÷
è                                           ø
0,25
2                                                              2
2x   +1 -1                          2x
Xét L  = lim                     = lim                                      = 2
1      x®0   1- cos x           x®0            2 x æ           2          ö
2 sin      ç   2x   + 1 + 1÷
2 è                    ø
0,25
3       2                                                                              2
3x   -1 +1                                     3x
Xét L  = lim                     = lim                                                             = 2
2       x®0   1- cos x           x®0              æ                         2                       ö
2 x    3         2                   3       2
2sin      ç    3x   -1    -   3x   -1 +1÷
2 ç (      )                         ÷
è                                          ø
0,25
Vậy L = L  + L  = 2 + 2 = 4
1         2
0,25
b)
0              2              4                       100             50
Chứng minh rằng C     - C     + C     - ... + C      = -2   .
100         100         100                  100
Ta có
100           0              1                2      2                   100 100
(1+ i )      = C100 + C100i + C100i   + ... + C100 i
0              2              4                       100              1              3                       99
=  C     - C     + C     - ... + C       +  C     - C     + ... - C       i
(    100         100         100                  100 )  (    100         100                  100 )
0,5
Mặt khác
2                         2                                 100                50             50
(1+ i )   = 1+ 2i + i   = 2i Þ (1+ i )      = ( 2i )    = -2
0              2              4                       100             50
Vậy C     - C     + C     - ... + C      = -2   .
100         100         100                  100
0,5
Câu IV
Cho a, b, c thoả a + b + c = 3. Tìm GTNN của
a         b           c             a           b         c                a         b         c
M =   4   + 9  +16   +   9   +16  + 4   +   16   + 4  + 9  .
r                        r                        uur                                    r     r     uur
a     b      c                    c     a      b                     b     c      a
Đặt u =  2  ;3  ; 4    , v =  2  ;3  ; 4    , w =  2  ;3 ; 4    Þ M = u + v + w
(         )    (         )     (         )
r   r   uur                                             2                                      2                                        2
a         b         c                a         b        c                 a         b         c
M ³ u + v + w =     2   + 2  + 2      +  3  + 3  + 3      +  4   + 4  + 4
(            )   (           )   (            )
0,25
2         b         c         3    a+b+c
Theo cô – si có 2  + 2  + 2  ³ 3  2           = 6 . Tương tự 
0,5
Vậy M ³ 3  29. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.
0,25
Câu Va
Học sinh tự vẽ hình
a)
(C1 ) : I1 (0; 2) , R1 = 3; (C2 ) : I2 (3; -4) , R2 = 3.
0,25
2          2
Gọi tiếp tuyến chung của (C1 ) , (C2 ) là D : Ax + By + C = 0 ( A  + B   ¹ 0)
D là tiếp tuyến chung của (C1 ) , (C2 )
ì                            ì                                   2          2
ï d ( I1; D ) = R1      ï 2B + C = 3   A  + B        (1)
Û í                       Û í
îïd ( I2 ; D ) = R2      ïî 3A - 4B + C = 3   A2 + B2 ( 2)
0,25
Môn Toán
Từ (1) và (2) suy ra  A = 2B hoặc C = -3A + 2B
2
Trường hợp 1: A = 2B .
Chọn B = 1 Þ A = 2 Þ C = -2 ± 3  5 Þ D : 2x + y - 2 ± 3  5 = 0
-3A + 2B
Trường hợp 2: C =                 . Thay vào (1) được
2
2          2                          4
A - 2B = 2   A  + B   Û A = 0; A = -   B Þ D : y + 2 = 0; D : 4x - 3y - 9 = 0
3
0,5
b)
a  3
Gọi H là trung điểm của BC Þ d ( M ;( BB 'C )) = AH =   2
0,25
2                                                                              3
1                  a                         1                        a    3
S           =    BB '.BC =      Þ V           =    AH .S           =
DBB 'C                                                       MBB 'C                         DBB 'C
2                   2                        3                          12
0,25
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình)
Ta có B 'C ^ MI ; B 'C ^ BC ' Þ B 'C ^ MB.
0,5
Câu VIa
(Học sinh tự vẽ hình)
Gọi K là hình chiếu của A trên d Þ K  cố định;
Gọi (a ) là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên (a ) .
0,25
Trong tam giác vuông AHK ta có  AH £ AK.
Vậy  AHmax = AK Û (a ) là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.
0,25
Gọi ( b ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d Þ ( b ) : 2x + y + 2z -15 = 0
Þ K (3;1; 4)
0,25
(a ) là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK Þ (a ) : x - 4 y + z - 3 = 0
0,25
Câu Vb
a)
2          2
x      y
Gọi ( H ) :      -      = 1
2          2
a      b
2         2
(H) tiếp xúc với d : x - y - 2 = 0 Û a   - b   = 4         (1)
0,25
16     4
x = 4 Þ y = 2 Þ A( 4; 2) Î ( H ) Þ      -      = 1 (2)
2          2
a      b
0,25
2          2
2              2                     x      y
Từ (1) và (2) suy ra a   = 8;b   = 4 Þ ( H ) :      -      = 1
8      4
0,5
b)
(Học sinh tự vẽ hình)
Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho OA = OB ' = OC ' = 4
0,25
Môn Toán
Lấy M là trung điểm của B’C’ Þ (OAM ) ^ (OB 'C ').
Kẻ  AH ^ OM Þ AH ^ (OB 'C ')
0,25
2 3        4 6
Ta có  AM = OM = 2  3 Þ MH =         Þ AH =
3                     3
0,25
1               15 3
S        =    OB.OC.sin BOC =
OBC     2                                  2
1
Vậy V          =    AH .S        = 10  2
OABC                        OBC
3
0,25
Câu VIb
Gọi M (1+ 2t;3 - 3t; 2t ) , N (5 + 6t '; 4t '; -5 - 5t ')
d ( M ; ( P)) = 2 Û 2t -1 = 1 Û t = 0;t = 1.
0,25
Trường hợp 1: t = 0 Þ M (1;3;0) , MN = (6t '+ 4;4t '- 3; -5t '- 5)
uuuur    uur      uuuur uur
MN ^ nP Û MN.nP = 0 Þ t ' = 0 Þ N (5;0; -5)
0,25
Trường hợp 2: t = 1 Þ M (3; 0; 2) , N ( -1; -4; 0)
0,25
Kết luận
0,25
Môn Toán