Đề thi và lời giải thi đại học môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 
Môn: TOÁN; Khối: A 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) 
Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều 
kiện 2 2 21 2 3x x x+ + < 4. 
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình 
(1 sin cos 2 )sin
14 cos
1 tan 2
x x x
x
x
π⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
+
. 
2. Giải bất phương trình 
21 2( 1
x x
x x
−
− − + )
 ≥ 1. 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = 
1 2 2
0
2 d
1 2
x x
x
x e x e x
e
+ +
+∫ . 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và 
SC theo a. 
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
⎧ + + − − =⎪⎨
+ + − =⎪⎩
 (x, y ∈ R). 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3 0x y+ = và d2: 3 x y− = 0 . Gọi (T) là 
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết 
phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3
2
 và điểm A có hoành độ dương. 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 1
2 1 1
x y z−
= =
−
2+ và mặt phẳng (P): x − 2y + z = 0. 
Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 . 
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết 2( 2 ) (1 2 )z i= + − i . 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung 
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) 
nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng ∆: 2 2
2 3 2
3x y z+ − +
= = . Tính 
khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8. 
Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z = 
3(1 3 )
1
i
i
−
−
. Tìm môđun của số phức z + i z. 
----------- Hết ---------- 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
 Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh................................ 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 
Môn: TOÁN; Khối: B 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+= + . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB 
có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ). 
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình (sin . 2 cos 2 )cos 2cos 2 sin 0x x x x x+ + − =
2. Giải phương trình 23 1 6 3 14 8x x x x+ − − + − − = 0 (x ∈ R). 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( )21
ln d
2 ln
e xI x
x x
= +∫ . 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ' có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng . ' 'ABC A B C
( ' )A BC và ( )ABC bằng . Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho 
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 
60o 'A BC
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 23( ) 3( ) 2M a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + + . 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có 
phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và 
đỉnh A có hoành độ dương. 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương 
và mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng 
(P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1
3
. 
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 
(1 )z i i z− = + . 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3 ) và elip (E): 
2 2
1
3 2
x y+ = . Gọi F1 và F2 là các 
tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với 
(E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2. 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: 1
2 1 2
x y z−= = . Xác định tọa độ điểm M trên 
trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. 
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2
log (3 1)
4 2 3x x
y x
y
− =⎧⎪⎨ + =⎪⎩
 (x, y ∈ R). 
---------- Hết ---------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh: ................................... 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 
Môn: TOÁN; Khối: D 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số . 4 2 6y x x= − − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
6
y x= − . 
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình s in 2 cos 2 3sin cos 1 0.x x x x− + − − =
2. Giải phương trình 
3 32 2 2 2 44 2 4 2 4x x x x x x+ + + + + −+ = + (x ∈ R). 
 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 
1
32 ln
e
dI x x
x
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ x . 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình 
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = 
4
AC . Gọi CM là đường 
cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. 
Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 24 21 3 1y x x x x= − + + − − + + 0 . 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn 
ngoại tiếp là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Viết 
phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. 
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: | z | = 2 và z2 là số thuần ảo. 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của A trên Δ. Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành 
bằng AH. 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1: 
3x t
y t
z t
= +⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
và Δ2: 2 12 1 2
x y− −= = z . Xác 
định tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 bằng 1. 
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
2
2 2
4 2 0
2log ( 2) log 0
x x y
x
⎧ − + + =⎪⎨ y− − =⎪⎩
 (x, y ∈ R). 
---------- Hết ---------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh: ................................ 
ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x 2
2x 3

 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình (1 2sin x)cos x 3(1 2sin x)(1 sin x)
   .
2. Giải phương trình : 32 3x 2 3 6 5x 8 0     (x  R)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2
3 2
0
I (cos x 1)cos xdx

 
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD =
2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết
hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
Câu V (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực d ương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có (x +
y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z)3.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho h ình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) l à giao điểm của 2
đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc
đường thẳng  : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2
+ z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn.
Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm). Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2+2z+10=0. Tính giá trị của
biểu thức A = z12 + z22
B. Theo Chương trình Nâng Cao
Câu VI.b (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đ ường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng  :
x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để  cắt (C) tại 2
điểm phân biệt A và B sao cho diện tích IAB lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đường thẳng 1 :
x 1 y z 9
1 1 6
   ; 2 : x 1 y 3 z 12 1 2
     . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho
khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình : 2 2
2 2
2 2
x xy y
log (x y ) 1 log (xy)
3 81 
    
 (x, y  R)
ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình 2 2x x 2 m  có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình 3sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)   
2. Giải hệ phương trình 2 2 2
xy x 1 7y (x, y )
x y xy 1 13y
      

Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3
2
1
3 ln xI dx( ...  1 sin cos 1 .
3 5 15
I xdx x xdx t dt t t t
π π
⎛ ⎞= = − = − = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 
0,50 
( )2 2 222
0 0 0
1 1 1cos 1 cos 2 sin 2 .
2 2 2 4
I x dx x dx x x
π π π π⎛ ⎞= = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ Vậy 1 2
8 .
15 4
I I I π 0,25 = − = −
Tính thể tích khối chóp... 
( ) (SIB ABCD)⊥ và ( ) ( )SIC ABCD ;⊥ suy ra ( )SI ABCD⊥ .
Kẻ IK BC⊥ ( )K BC∈ ⇒ ( )BC SIK⊥ ⇒ nSKI = 60 .D
 0,50 
Diện tích hình thang :ABCD 23 .ABCDS a=
Tổng diện tích các tam giác ABI và bằng CDI
23 ;
2
a suy ra 
23 .
2IBC
aSΔ = 
0,25 
IV 
(1,0 điểm) 
( )2 2 5BC AB CD AD a= − + = ⇒ 2 3 5
5
IBCS aIK
BC
Δ= = ⇒ n 3 15.tan . 
S 
A B
5
aSI IK SKI= =
Thể tích khối chóp . :S ABCD
31 3 1. .
3 5ABCD
a5SI= =V S 
0,25 
I 
C D K 
 Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm
Chứng minh bất đẳng thức 
Đặt và ,a x y b x z= + = + .c y z= +
Điều kiện ( ) 3x x y z yz+ + = trở thành: c 2 2 2 .a b ab= + −
a b abc c+ + ≤ , ,a b c
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 
3 3 33 5 ; dương thoả mãn điều kiện trên. 
0,25 
2 2 2c a b ab= + − 2( ) 3a b ab= + − 2 23( ) ( )
4
a b a b≥ + − + = 21 ( )
4
a b+ ⇒ (1). 2a b c+ ≤ 0,25 
3 3 33 5a b abc c+ + ≤ 3( ) 3 5a b a b ab abc c+ + − + ≤
.
 ⇔ ( ) 2 2
⇔ 2 3( ) 3 5a b c abc c+ + ≤
⇔ 2( ) 3 5a b c ab c+ + ≤
0,25 
V 
(1,0 điểm) 
(1) cho ta: ( ) và 22a b c c+ ≤ 23 2) 3 ;
4
ab a b c≤ + ≤3 ( từ đây suy ra điều phải chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi: .a b c= = ⇔ x y z= = 
0,25 
1. (1,0 điểm) Viết phương trình ...AB 
Gọi N đối xứng với M qua suy ra ,I ( )11; 1N − và N thuộc đường thẳng .CD 0,25 
VI.a 
(2,0 điểm) 
E∈Δ ⇒ ( );5 ;E x x− ( )6;3IE x x= − −JJG và ( 11;6 )NE x x= − −JJJG .
E là trung điểm ⇒ CD .IE EN⊥ 
. 0IE EN =JJG JJJG ⇔ ( 6)( 11) (3 )(6 ) 0x x x x− − + − − = ⇔ 6x = hoặc 
 7.x =
0,25 
• 6x = ⇒ ( )0; 3 ;IE = −JJG phương trình : 5 0AB y .− = 0,25 
• 7x = ⇒ ( )1; 4 ;IE = −JJG phương trình : 4 19 0.AB x y− + = 0,25 
2. (1,0 điểm) Chứng minh cắt xác định toạ độ tâm và tính bán kính ( )P ( ),S
( )S có tâm bán kính (1;2;3),I 5.R = 
Khoảng cách từ đến I ( ) :P ( ), ( )d I P = 2 4 3 4 3
3
;R
− − − = < suy ra đpcm. 0,25 
Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, H r
H là hình chiếu vuông góc của trên I ( ) :P ( ),( ) 3,IH d I P= = 2 2 4.r R IH= − = 0,25 
Toạ độ thoả mãn: ( ; ; )H x y z=
1 2
2 2
3
2 2 4 0
x t
y t
z t
x y z
= +⎧⎪ = −⎪⎨ = −⎪⎪ .− − − =⎩
 0,25 
Giải hệ, ta được (3; 0; 2).H 0,25 
Tính giá trị của biểu thức 
236 36 ,iΔ = − = 1 1 3z i= − + và 2 1 3 .z i= − − 0,25 
VII.a 
(1,0 điểm) 
2 2
1| | ( 1) 3 10z = − + = và 2 22| | ( 1) ( 3) 10.z = − + − = 0,50 
M B A 
I 
C D E N
 Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm
2 2
1 2| | | | 20.A z z= + = 0,25 
1. (1,0 điểm) Tìm ...m
( )C có tâm bán kính ( 2; 2),I − − 2.R = 0,25 
Diện tích tam giác :IAB n1 . .sin
2
S IA IB AIB= ≤ 21 1;
2
R = lớn nhất khi và chỉ khi S .IA IB⊥ 0,25 
Khi đó, khoảng cách từ đến I :Δ ( , ) 1
2
Rd I Δ = = ⇔ 
2
2 2 2 3
1
1
m m
m
− − − + =+ 0,25 
⇔ ( ) hoặc 2 21 4 1m m− = + ⇔ 0m = 8
15
m = . 0,25 
2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm ...M 
2Δ qua và có vectơ chỉ phương (1;3; 1)A − (2;1; 2).u = −
G
1M ∈Δ ⇒ ( 1 ; ; 9 6 ).M t t t− + − + 
(2 ;3 ;8 6 ),MA t t t , (8 14;20 14 ; 4)MA u t t t⎡ ⎤= − − −JJJG = − − −⎣ ⎦
JJJG G
 ⇒ ,MA u⎡ ⎤⎣ ⎦
JJJG G
23 29 88 68.t t= − + 
0,25 
Khoảng cách từ M đến 2 :Δ 22
,
( , ) 29 88 68.
MA u
d M t t
u
⎡ ⎤⎣ ⎦Δ = = − +
JJJG G
G 
Khoảng cách từ M đến ( ) :P ( ) ( )22 2
1 2 12 18 1 11 20
,( ) .
31 2 2
t t t t
d M P
− + − + − − −= =
+ − +
0,25 
2 11 2029 88 68
3
t
t t
−− + = ⇔ 235 88 53 0t t− + = ⇔ 1t = hoặc 53 .
35
t = 0,25 
VI.b 
(2,0 điểm) 
1t = ⇒ (0;1; 3);M − 53
35
t = ⇒ 18 53 3; ;
35 35 35
M ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠. 0,25 
Giải hệ phương trình VII.b 
Với điều kiện (*), hệ đã cho tương đương: 0xy >
2 2
2 2
2
4
x y xy
x xy y
⎧ + =⎪⎨ − + =⎪⎩
 0,25 
(1,0 điểm) 
2 4
x y
y
=⎧⎨ =⎩ 2.
x y
y
=⎧⎨ = ±⎩
 ⇔ ⇔ 0,50 
( ; ) (2;2)x y = ( ; ) ( 2; 2).x y = − −Kết hợp (*), hệ có nghiệm: và 0,25 
-------------Hết------------- 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 
Môn thi: TOÁN; Khối: B 
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Khảo sát 
• Tập xác định: .D = \
• Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: hoặc 3' 8 8 ;y x x= − ' 0y = ⇔ 0x = 1.x = ±
Hàm số nghịch biến trên: và đồng biến trên: và (1 ( ; 1)−∞ − (0;1); ( 1;0)− ; ).+ ∞
0,25 
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y1, 2;CTx y= ± = − 0,x = CĐ 0.=
- Giới hạn: lim lim .
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞ 0,25 
- Bảng biến thiên: 
 Trang 1/4 
0,25 
• Đồ thị: 
0,25 
2. (1,0 điểm) Tìm ...m
2 2 2x x m− = ⇔ 4 22 4 2 .x x m− = 0,25 
Phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị 
hàm số 
6 2y m=
4 22 4y x x= − tại điểm phân biệt. 6 0,25 
Đồ thị hàm số 4 22 4y x x= − 
và đường thẳng . 2y m=
0,25 
I 
(2,0 điểm) 
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi: 0 2 2m< < ⇔ 0 1m< <
x −∞ 1− 0 1 +∞
 + 
+∞
x
y' − 0 + 0 − 0 
y 
+∞
2− 2−
0
O 
y
2−
2−
1− 1
16
2
y
O x
2
21− 1
16
2−
2y m=
. 0,25 
 Trang 2/4 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Giải phương trình 
Phương trình đã cho tương đương: 2(1 2sin )sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4x x x x x− + + =
II 
x 
⇔ sin cos2 cos sin 2 3 cos3 2cos4x x x x x+ + = x 
0,25 
⇔ sin3 3 cos3 2cos 4x x x+ = ⇔ cos 3 cos4 .
6
x xπ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
⇔ 4 3 2
6
x x kπ π= − + hoặc 4 3 2
6
x x kπ π= − + + . 0,25 
Vậy: 2
6
x kπ π= − + hoặc 2 ( )
42 7
x k kπ π= + ∈] . 0,25 
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Hệ đã cho tương đương: 
2
2
1 7
1 13
xx
y y
xx
y y
⎧
+ + =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
 (do không thoả mãn hệ đã cho) 0y = 0,25 
⇔ 2
1 7
1 13
xx
y y
xx
y y
⎧⎛ ⎞
+ + =⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎨⎛ ⎞⎪
+ − =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
⇔ 
2
1 1 20 0
17
x x
y y
x x
y y
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪
= − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
 0,25 
⇔ 
1 5
12
x
y
x y
⎧
+ = −⎪⎨⎪
=⎩
(I) hoặc 
1 4
3
x
y
x y
⎧
+ =⎪⎨⎪
=⎩
 (II). 0,25 
(2,0 điểm) 
(I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: 1( ; ) 1;
3
x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ và ( ; ) (3;1).x y =
Vậy: 1( ; hoặc ( ; ) 1;
3
x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ) (3;1).x y =
0,25 
Tính tích phân 
3 ln ,u x= + 2 ;( 1)
dxdv
x
=
+
 1 ,du dx
x
= 1 .
1
v
x
= −
+
 0,25 
I 
3 3
1 1
3 ln
1 ( 1)
x dx
x x x
+
= − +
+ +∫ 0,25 
3 3
1 1
3 ln3 3 1
4 2
dxdx
1x x
+
= − + + −
+∫ ∫ 0,25 
III 
(1,0 điểm) 
3 3
1 1
3 ln3 1 27ln ln 1 3 ln .
4 4
x x− ⎛ ⎞= + − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠16 0,25 
Tính thể tích khối chóp 
Gọi D là trung điểm và là trọng tâm tam giác AC G ABC
ta có ' ( )B G ABC⊥ ⇒ n'B BG = 60D 
⇒ n 3' ' .sin '
2
aB G B B B BG= = và 
2
aBG = ⇒ 3 .
4
aBD = 
Tam giác có: ABC 3 ,
2 2
AB ABBC AC= = ⇒ .
4
ABCD = 
0,50 
IV 
(1,0 điểm) 
 2 2 2
B A
BC CD BD+ = ⇒ 
2 2 2
6
3 9
4 16 1
AB AB a
+ = ⇒ 3 13 ,
13
aAB = 3 13 ;
26
aAC = 
29 3 .
104ABC
aSΔ = 0,25 
' 
B 
C 
' 
G 
C'
A
D 
 Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm 
Thể tích khối tứ diện ' :A ABC ' '
1 ' .
3A ABC B ABC ABC
V V B G SΔ= =
39 .
208
a
= 0,25 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Kết hợp với 3( ) 4x y xy+ + ≥ 2 2( ) 4x y x+ ≥ y suy ra: ⇒ 3 2( ) ( ) 2x y x y+ + + ≥ 1.x y+ ≥ 0,25 
A 4 4 2 2 2 23( ) 2( ) 1x y x y x y= + + − + + = ( )22 2 4 4 2 23 3 ( ) 2( )2 2x y x y x y+ + + − + +1 0,25 
≥ ( ) ( )2 22 2 2 2 2 23 3 2( ) 12 4x y x y x y+ + + − + + ⇒ ( ) ( )
22 2 2 29 2 1
4
A x y x y≥ + − + + . 
Đặt , ta có 2t x y= + 2
2
2 2 ( ) 1
2 2
x yx y ++ ≥ ≥ ⇒ 1 ;
2
t ≥ do đó 29 2 1
4
A t t≥ − + . 
Xét 29( ) 2 1;
4
f t t t= − + 9'( ) 2 0
2
f t t= − > với mọi 1
2
t ≥ ⇒
1;
2
1 9min ( ) .
2 16
f t f
⎡ ⎞
+∞ ⎟⎢⎣ ⎠
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,25 
V 
(1,0 điểm) 
9 ;
16
A ≥ đẳng thức xảy ra khi 1 .
2
x y= = Vậy, giá trị nhỏ nhất của bằng A 9 .
16
 0,25 
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm ...K
Gọi ⇔( ; );K a b ( )K C∈ 2 2 4( 2)
5
a b− + = (1); tiếp xúc 1( )C 1,Δ 2Δ ⇔
VI.a 
7
2 5 2
a b a b− −
= (2). 0,25 
(1) và (2), cho ta: 
2 25( 2) 5 4
5 7
a b
a b a b
⎧ − + =⎪⎨
− = −⎪⎩
 (I) hoặc (II). ⇔
2 25( 2) 5 4
5( ) 7
a b
a b a b
⎧ − + =⎨
− = −⎩
2 25( 2) 5 4
5( ) 7
a b
a b b a
⎧ − + =⎨
− = −⎩ 0,25 
(2,0 điểm) 
(I) vô nghiệm; (II) ⇔
225 20 16 0
2
a a
b a
⎧ − + =⎨
= −⎩
⇔ 2
2 8 4( ; ) ; .
5 525 40 16 0
a b
a b
b b
=⎧ ⎛ ⎞
⇔ =⎨ ⎜ ⎟
− + = ⎝ ⎠⎩
 0,25 
Bán kính 1( ) :C
2 2 .
52
a b
R
−
= = Vậy: 8 4;
5 5
K ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ và 
2 2 .
5
R = 0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( )...P 
Mặt phẳng ( )P thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: 
Trường hợp 1: ( )P qua ,A B và song song với .CD 0,25 
Vectơ pháp tuyến của ( ) :P , .n AB CD⎡ ⎤= ⎣ ⎦
G JJJG JJJG
( 3; 1;2),AB = − −
JJJG JJJG
 ( 2;4;0)CD = − ⇒ ( 8; 4; 14).n = − − −G Phương trình ( )P : 4 2 7 15 0.x y z+ + − = 0,25 
Trường hợp 2: ( )P qua ,A B và cắt Suy ra .CD ( )P cắt CD tại trung điểm của 
 vectơ pháp tuyến của 
I .CD
(1;1;1) (0; 1;0);I AI⇒ = −JJG ( ) :P , (2;0;3).n A= B AI⎡ ⎤ =⎣ ⎦
G JJJG JJG
 0,25 
Phương trình ( ) : 2 3 5 0.P x z+ − =
Vậy ( ) hoặc : 4 2 7 15 0P x y z+ + − = ( ) : 2 3 5 0.P x z+ − =
0,25 
Tìm số phức ...z
Gọi ;z x yi= + (2 ) ( 2) ( 1) ;z i x y i
VII.a 
2 2(2 ) 10 ( 2) ( 1) 10z i x y− + = ⇔ − + − =− + = − + − (1). 0,25 
2 2. 25 25z z x y= ⇔ + = (2). 0,25 
(1,0 điểm) 
Giải hệ (1) và (2) ta được: hoặc ( ; Vậy: hoặc ( ; ) (3;4)x y = ) (5;0).x y = 3 4z i= + 5.z = 0,50 
 Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ các điểm , ...B C 
Gọi là hình chiếu của trên suy ra là trung điểm H A ,Δ H .BC 
9( , ) ;
2
AH d A BC= = 
2 4 2.ABCSBC
AH
Δ
= = 
VI.b 
2
2 97 .
4 2
BCAB AC AH= = + = 
0,25 
Toạ độ B và C là nghiệm của hệ: ( ) ( )
2 2 971 4
2
4 0.
x y
x y
⎧
+ + − =⎪⎨⎪
− − =⎩
 0,25 
Giải hệ ta được: 11 3( ; ) ;
2 2
x y ⎛= ⎜⎝ ⎠
⎞⎟ hoặc 3 5( ; ) ; .2 2x y
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
Vậy 11 3 3 5; , ;
2 2 2 2
B C⎛ ⎞ ⎛ −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ hoặc 
3 5 11 3; , ;
2 2 2 2
B C⎛ ⎞ ⎛−⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ .
⎞⎟⎠ 0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng 
Gọi là đường thẳng cần tìm; nằm trong mặt phẳng 
 qua và song song với 
Δ Δ
( )Q A ( ).P 
Phương trình ( ) : 2 2 1 0.Q x y z− + + =
0,25 
,K là hình chiếu của H B trên Ta có ,Δ ( ).Q BK BH≥ nên là đường thẳng cần tìm. AH 0,25 
Toạ độ thoả mãn: ( ; ; )H x y z=
1 1 3
1 2 2
2 2 1 0
x y z
x y z
− + −⎧
= =⎪
−⎨⎪
− + + =⎩
⇒ 1 11 7; ; .
9 9 9
H ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
(2,0 điểm) 
26 11 2; ; .
9 9 9
AH ⎛= −⎜⎝ ⎠
JJJG
H B C
A 
Δ
B 
⎞⎟ Vậy, phương trình 3 1: .26 11 2
x y z+ −Δ = =
−
 0,25 
Tìm các giá trị của tham số ...m
Toạ độ ,A B thoả mãn: 
2 1x x m
x
y x m
⎧ −
= − +⎪⎨⎪
= − +⎩
 ⇔
22 1 0, ( 0)
.
x mx x
y x m
⎧ − − = ≠⎨
= − +⎩
(1)
0,25 
Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2,x x khác 0 với mọi .m
Gọi ta có: .1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2( )AB x x y y x x= − + − = − 
0,25 
Áp dụng định lí Viet đối với (1), ta được: 
2
2 2
1 2 1 22 ( ) 4 4.2
mAB x x x x⎡ ⎤= + − = +⎣ ⎦ 0,25 
VII.b 
(1,0 điểm) 
2
4 4 16 2
2
mAB m= ⇔ + = ⇔ = ± 6. 0,25 
-------------Hết------------- 
Q 
K
A H