Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 đề thi môn: Giải tích (cơ sở)

Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
ĐỀ THI MÔN : GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu I:
Cho không gian mêtric X với E,F là hai tập con của X sao cho E là tập conpact và F là tập
đóng. Đặt d(E,F ) = inf
x∈E,y∈F
d(x, y)
a) Chứng minh tồn tại x0 ∈ E sao cho d(x0, F ) = d(E,F ).
b) Cho E ∩ F = Ø. Chứng minh tồn tại số t > 0 sao cho d(E,F ) ≥ t.
Câu II:
Cho (X,µ) là không gian có độ đo và hàm số f : X → R+ là hàm khả tích. Cho dãy (An) các
tập đo được trong không gian X sao cho:
An ⊂ An+1 với mọi n ∈ N và
∞⋃
n=1
An = X
Chứng minh rằng:
lim
n→∞
∫
An
fdµ =
∫
X
fdµ
Câu III:
Cho (X,µ) là không gian có độ đo và B ⊂ X với B là tâp đo được. Cho hàm số đo được
f : X → N. Với n ∈ N , ta đặt:
Bn = {x ∈ B : |f(x)| ≤ n}
Chứng minh rằng với mọi n thì Bn là tập đo được và
lim
n→∞
µ(Bn) = µ(b)
Câu IV:
Tính tích phân sau đây:
lim
n→∞
1∫
−1
x+ x2enx
1 + enx
dx
Câu V:
Cho X là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈·, ·〉 và en là một hệ trực chuẩn đầy đủ trong
không gian X. Cho an là một dãy số. Đặt
T (x) =
∞∑
n=1
an en , với x ∈ X
a) Cho dãy an bị chặn. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính ‖T‖.
b) Cho lim
n→∞
an = 0. Chứng minh T là ánh xạ compact.
HẾT
Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
1