Đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn: Toán; Khối B

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
----------------------------------------	 Môn: TOÁN; Khối B 
	ĐỀ CHÍNH THỨC	 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
 Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số là tham số thực.
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
 Câu 2. (1,0 điểm). Giải phương trình .
 Câu 3. (1,0 điểm). Giải bất phương trình 
 Câu 4. (1,0 điểm). Tính tích phân .
 Câu 5. (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo .
 Câu 6. (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện và .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
 A. Theo chương trình Chuẩn
 Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn , và đường thẳng . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc , tiếp xúc với d và cắt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. 
 Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
 Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
 B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình . Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox. 
 Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho. Viết phương trình mặt phẳng qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình Viết dạng lượng giác của và .
  Hết 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ..; Số báo danh: .
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 
Môn: TOÁN - Khối B
(Đáp án) 
BÀI GIẢI
Câu 1: 
a) 	m= 1, hàm số thành : y = x3 – 3x2 + 3. Tập xác định là: D = R. 
	y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = 2; y(0) = 3; y(2) = -1
y
x
0
3
2
-1
	 và 
x
-¥ 	 0	2 +¥
y’
 +	 0 -	 0 +
y
 3 +¥
-¥ CĐ -1
	CT
	Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 2)
	Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y(2) = -1
	y" = 6x – 6; y” = 0 Û x = 1. Điểm uốn I (1; 1)
	Đồ thị : 
	b)	y’ = 3x2 – 6mx, y’ = 0 Û x = 0 hay x = 2m 
	y có 2 cực trị Û m ¹ 0
	Vậy A (0; 3m3) và B (2m; -m3)
	SDOAB = Û m4 = 16 Û m = ±2 (nhận so với đk ).
Câu 2 : 
Cách 1: 
Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với: cos 2x + sin 2x = cos x − sin x
 hoặc .
Câu 3 : Giải bất phương trình . Đk : 0 £ x £ hay x ³ 	
	nhận xét x = 0 là nghiệm
	+ Với x ¹ 0, BPT Û ³ 3
	Đặt t = Þ = t2 – 2 (t ³ 2)
	Ta có : Û 
	Hay Û hay x ³ 4 
Kết hợp với đk ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: .
Câu 4 :
 Cách 1: Đặt t = ; ; 
Cách 2:
Giả sử: 
S
A
H
C
B
O
D
Câu 5
Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ∆ABC. Ta có
AB CD và AB SO nên AB (SCD), do đó AB SC.
Mặt khác SC AH , suy ra SC ( ABH)
Vậy .
Cách 1: Gọi SD là chiều cao của tam giác SAB 
Ta có 
.
Cách 2 : Ta có : nên 
Do đó . Suy ra 
Ta có 
Do đó .
Câu 6. 
Cách 1: Þ 
	P = x5 + y5 + z5 = x5 + y5 – (x + y)5 = -5xy(x3 + y3) – 10x2y2(x + y)
	= ; 	t = x + y
	f(t) = 
	f’(t) = 
	f’(t) = 0 Û t = 
t
f’(t)
 – 0 + 0 – 
f(t)
	Vậy P £ . Vậy max P = xảy ra khi t = 
	Û (có nghiệm)	hay (có nghiệm)
Cách 2: Với x + y + z = 0 và x2 + y 2 + z 2 = 1, ta có:
 0 = ( x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2 x( y + z)+ 2 yz =1− 2 x2 + 2 yz, nên 
 Mặt khác , suy ra , do đó 
 Khi đó: P = x5 + ( y 2 + z 2 )( y3 + z3 ) − y 2 z 2 ( y + z)
 Xét hàm trên , suy ra ; 
Ta có Do đó 
Suy ra 
Khi thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là 
Câu 7a. 
Cách 1: 
(C2)
(C1)
A
B
C
d
I
(C1) có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của đường tròn (C) 
cần viết phương trình, ta có ABOI . Mà AB d và O d nên OI // d, do đó OI có phương trình y = x.
Mặt khác I (C2 ), nên tọa độ của I thỏa mãn hệ:
Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R = d (I , d ) = 2.
Vậy phương trình của (C) là ( x − 3)2 + ( y − 3)2 = 8.
Cách 2: 
Phương trình đường tròn (C) : 
Phương trình đường thẳng AB : AB có vtcp (b;-a)
Đường thẳng (d) có vtcp vì (1)
d(I,d) = Û 8 = 2a2 – c (2)
Thế (1) vào (3) ta có : 
Thế vào (2) ta có : c = 10 
Vậy phương trình đường tròn (C) : 
Cách 3: Gọi I (a;b) ; vì đường tròn tâm I cắt (C1) tâm O tại A, B sao cho AB .
Mà . Vậy d(I/d) = d(O/d) = = R
Ta có : 
Hệ (1) ; (loại) vì I và O phải cùng phía so với (d).
Hệ (2) 
Phương trình đường tròn : .
Câu 8a. 
Ta có: 
Gọi tâm mặt cầu là khi đó: , 
Do A, B nằm trên mặt cầu nên , 
Vậy phương trình mặt cầu là : 
Câu 9a. 
Cách 1: Số cách gọi 4 học sinh lên bảng là : 
Số cách gọi 4 học sinh có cả nam lẫn nữ là : 
	TH 1: 1 nữ 3 nam có : 10.455 = 4550
	TH 2: 2 nữ 2 nam có : 4725
	TH 3: 3 nữ 1 nam có : 1800 
Vậy số cách gọi 4 học sinh có nam và nữ là : 4550 + 4725 + 1800 = 11075
Vậy xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam lẫn nữ là : 
Cách 2: Xác suất chọn không có nam: P1 = 
y
	Xác suất chọn không có nữ : P2 = 
H
B
	Xác xuất có cả nam và nữ : P = 1 – (P1 + P2) = 
A
B. Theo chương trình Nâng cao
x
C
Câu 7b. 
O
Cách 1:
Giả sử . Hình thoi ABCD có 
D
AC = 2BD và A, B, C, D thuộc (E) suy ra OA = 2OB.
Không mất tính tổng quát, ta có thể xem A(a; 0) và 
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB,
suy ra OH là bán kính của đường tròn 
Ta có : 
Suy ra a2 = 20, do đó b2 = 5. Vậy phương trình chính tắc của (E) là 
Cách 2:
Đặt AC = 2a , BD = a . Bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi R = 2.
Ta có 
Vậy phương trình của (E) : 
Cách 3:
Gọi (E) có dạng với , ta có: 
 Vậy phương trình của (E) : 
Câu 8b. 
Cách 1:
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng với Ox, B(b;0;0).
C là giao điểm của mặt phẳng với Oy, C(0;c;0).
Vậy pt mặt phẳng có dạng : và trọng tâm tam giác ABC là : 
. Pt đường thẳng AM : 
Vì nên 
Vậy pt mặt phẳng (P) là .
Cách 2:
Do B Ox, C Oy nên tọa độ của B và C có dạng: B(b; 0; 0) và C (0; c; 0).
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra 
Ta có nên đường thẳng AM có phương trình 
Do G thuộc đường thẳng AM nên Suy ra và 
Do đó phương trình của mặt phẳng (P) là , nghĩa là 
Câu 9b. Phương trình có hai nghiệm là 
Vậy dạng lượng giác của z1, z2 là : 
	z1 = 2(cos+ isin);