Đề thi Toán Dự trữ khối A - Đề II

Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007
Đề II
Câu I: Cho hàm số 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ 0.
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
2. Giải bất phương trình 
Câu III: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) 
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các đường AB, OC.
Câu IV: 
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường và y = x. Tính thể tích vật thể tròn trong khi quay (H) quanh trục Ox trọn một vòng.
2. Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải phương trình 
2. Cho hình chóp SABC có góc , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
Bài giải
Câu I:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (bạn đọc tự làm)
2. Tìm m:
	Ta có: 
	Đồ thị h/s có 2 cực trị Û y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
	Û (x - 2)2 - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt ¹ 2 Û m > 0
	Gọi A (x1, y1) ; B (x2, y2) là 2 điểm cực trị 
	P/trình đường thẳng AB : 
	Û 2x - y - 2 + m = 0
	AB qua gốc O (0, 0) Û - 2 + m = 0 Û m = 2.
Cách khác:
; 
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt 	Û m > 0
Khi m > 0, pt đường thẳng qua 2 cực trị là 
Do đó, ycbt Û =0 
Câu II:
1. Giải phương trình: (1)
(1)	Û	
	Û 
	Û	
	Û 
	Û 
	Û 
	Û , k Î Z.
2. Giải hệ: (I) 
	(I) Û 
	Đặt u = - x2 + xy, v = x3y
	(I) thành 
	 Do đó hệ đã cho tương đương:
Câu III:
1.	Ta có VTCP của đường thẳng AB là hay
	Ta có VTCP của đường thẳng OC là hay
	Ta có cùng phương với 
	Ta có ¹ 0 Û AB và OC chéo nhau.
2.	Đường thẳng d có VTCP hay 
	Ta có 
	Phương trình mặt phẳng (a) đi qua A, có PVT (a chứa AB)
	6(x – 2) + 3(y – 0) + 2 (z - 0) = 0
	Û 6x + 3y + 2z – 12 = 0 (a)
	Ta có 
	Phương trình mặt phẳng (b) qua O có PVT là (3, - 3, 1) (b chứa OC)
	3x - 3y + z = 0 (b)
	Vậy phương trình đường thẳng D song song với d cắt AB, BC là
Câu IV:
1.	Tọa độ giao điểm của hai đường là nghiệm của hệ
	 (đvtt)
	y
	4	A
	0
	 	y = x	 4 x
2.	Với x, y, z > 0 ta có
	4(x3 + y3) ³ (x + y)3 (*) Dấu = xảy ra Û x = y
	Thật vậy (*)	Û 4(x + y)(x2 – xy + y2) ³ (x + y)3
	Û 4(x2 – xy + y2) ³ (x + y)2 do x, y > 0
	Û 3(x2 + y2 – 2xy) ³ 0 Û (x – y)2 ³ 0 (đúng)
	Tương tự ta có	4(y3 + z3) ³ (y + z)3 Dấu = xảy ra Û y = z
	4(z3 + x3) ³ (z + x)3 Dấu = xảy ra Û z = x
	Do đó 
	Ta lại có Dấu = xảy ra Û x = y = z
	Vậy Dấu = xảy ra Û 
 x = y = z = 1
	Vậy minP = 12. Đạt được khi x = y = z = 1
Câu Va:
1.	Tọa độ A là nghiệm của hệ Þ A(–4, 2)
	Vì G(–2, 0) là trọng tâm của DABC nên
	 (1)
	Vì	B(xB, yB) Î AB Û yB = –4xB – 14 (2)
	C(xC, yC) Î AC Û ( 3)
	Thế (2) và (3) vào (1) ta có
	Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
2.	Nếu n £ 2 thì n + 6 £ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không vượt qua (loại). Vậy n ³ 3
	Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
	Û (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540
	Û n2 + 4n – 140 = 0
	Û 
	Đáp số: n = 10
Câu Vb:
1.	Giải phương trình: (1)
	Điều kiện x >1
	(1)	Û 
	Û và x > 1
 và x > 1
	Û 2x2 – 3x – 5 = 0 và x > 1Û 
S
A
C
B
M
N
60°
2. Gọi M là trung điểm của BC. thì SM ^ BC,
	AM ^ BC Þ 
Suy ra DSMA đều có cạnh bằng 
	Do đó 
	Ta có 
	Gọi N là trung điểm của đoạn SA. Ta có CN ^ SA
	Þ (vì DSCN vuông tại N)
	Þ 
	Ta có 
	Þ 
----------@---------
HÀ VĂN CHƯƠNG - PHẠM HỒNG DANH 
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)