Đề thi thử tuyển sinh đại học năm học 2009 ­ 2010 môn toán - Khối B

Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh  Đ Ề T H I T H Ử T U Y Ể N S I N H Đ Ạ I H Ọ C 
NĂM HỌC 2009 ­ 2010 
MÔN TOÁN - KHỐI B 
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7điểm ) 
Câu I ( 2 điểm)  Cho hàm số  3 2 ( ) 2 y f x x mx m = = - +  (1)  ( m tham số) 
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 . 
2.Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm . 
Câu II ( 2 điểm) 
1.Giải phương trình  :  2 2sin 3 sin 2 1 3 sin cos x x x x + + = +  . 
2.Giải hệ phương trình  : 
( ) 
2 
3 2 
2 8 
x y xy 
x y 
ì - = ï 
í 
- = ï î 
Câu III ( 1 điểm)  Tính tích phân  : 
/ 6 
0 
sin 
cos 2 
x 
dx 
x 
p 
ò 
Câu IV ( 1 điểm)  Cho các số thực x , y thuộc đoạn [ ] 2; 4  , chứng minh rằng : 
( )  1 1 9 4 
2 
x y 
x y 
æ ö 
£ + + £ ç ÷ 
è ø 
Câu V (1 điểm) 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên độ dài bằng a và các 
mặt bên hợp với mặt đáy góc 45 0  . Tính thể tích của hình chóp đó theo a. 
PHẦN RIÊNG  (3điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu VI.a  (2 điểm) 
1.Trong mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng  1 :2 5 3 0 d x y + + =  ; 
2  :5 2 7 0 d x y - - =  cắt nhau tại A và điểm P( 7;8) -  . Viết phương trình đường thẳng  3 d  đi qua P 
tạo với  1 d  ,  2 d  thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng 
29 
2 
. 
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz , lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt 
phẳng (P) :  2 z =  lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và  8 . 
Câu VII.a  (1 điểm) 
Tìm a và n nguyên dương thỏa : 
2 3 1 
0 1 2  127 ...... 
2 3 ( 1) 7 
n 
n 
n n n n 
a a a 
aC C C C 
n 
+ 
+ + + + = 
+ 
và  3  20 n A n = 
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu VI.b  (2 điểm) 
1.Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , lập phương trình đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ và 
cắt đường tròn (C) có phương trình :  2 2  2 6 15 0 x y x y + - + - =  thành một dây cung có độ dài 
bằng 8. 
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz ,cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (D): 
1 
1 1 2 
x y z - 
= = 
- - 
và tạo với mặt phẳng (P) :  2 2 1 0 x y z - - + =  góc 60 0 .  Tìm tọa độ giao điểm 
M của mặt phẳng (a) với trục Oz . 
Câu VII.b  (1 điểm) 
Tìm giá trị của tham số m để cho phương trình ( )  (1 )(2 ) .3 .2 0 x x x x m = + - -  có nghiệm . 
­­­­­­­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­­­­
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH 
ĐÁP ÁN ­ THANG ĐIỂM 
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009­2010 
MÔN TOÁN – KHỐI B 
Câu  Đáp án  Điểm 
I  2,00 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 (1,00 điểm) 
3 2 3 6 y x x = - + 
Tập xác định D R = 
Sự biến thiên:  2 ' 3 6 y x x = - 
' 0 y = Û  x = 0 hay x = 2 
0,25 
Bảng biến thiên 
x  –¥  0                 2                      +¥ 
y’  +       0  –  0           + 
y  6                                          +¥ 
–¥  2 
0,25 
( ) ( ) CD CT 0 6, 2 2 y y y y = = = =  0,25 
1 
Đồ thị:  0,25 
2  Tìm m để đồ thị của (1) cắt Ox tại duy nhất 1 điểm  (1,00 điểm) 
' 2 3 2 (3 2 ) y x mx x x m = - = - 
Khi m = 0  thì  ' 2 3 0 y x = ³ Þ  (1) đồng biến trên R Þ  yêu cầu bài toán thỏa. 
Khi  0 m ¹  thì (1) có 2 cực trị  1 2 
2 
0 , 
3 
m 
x x = = 
Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi ( ) 1 2 ( ). 0 f x f x > 
3 2 
2 4 2 2 (2 ) 0 4 (1 ) 0 
27 27 
m m 
m m m Û - > Û - > 
0 
3 6 3 6 
2 2 
m 
m 
¹ ì 
ï Û í 
- < < ï î 
0,25 
0,25 
0,25 
Kết luận : khi 
3 6 3 6 
; 
2 2 
m 
æ ö 
Î - ç ÷ ç ÷ 
è ø 
thì đồ thị của (1) cắt Ox tại duy nhất một 
điểm  . 
0,25 
II  2,00 
1  Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 
2 
2 
2sin 3 sin 2 1 3 sin cos 
( 3 sin cos ) 3 sin cos 
x x x x 
x x x x 
+ + = + 
Û + = + 
Khi đó: 
( )( ) 3 sin cos 3 sin cos 1 0 
3 sin cos 0 ( ) 3 sin cos 1 0 ( ) 
x x x x 
x x a hay x x b 
Û + + - = 
Û + = + - = 
0,25 
0,25
3 
( ) 
3 6 
2 
( ) sin sin 2 ; 2 
6 6 3 
a tanx x k 
b x x k x k 
p p 
p p p p p 
Û = - Û = - + 
æ ö Û + = Û = = + ç ÷ 
è ø 
0,25 
Kết luận : phương trình có các nghiệm : 
2 
; 2 ; 2 , 
6 3 
x k x k x k k Z p p p p p = - + = + = Π
0,25 
2  Giải hệ phương trình  (1,00 điểm) 
Với điều kiện :  . 0 ; x y x y ³ ³ 
Pt  2 3( ) 2 3( ) 4 (3 )( 3 ) 0 x y xy x y xy x y x y - = Û - = Û - - = 
3 
3 
y 
x y hay x Û = = 
0,25 
Với  3 x y =  , thế vào Pt  2 2 8 x y - =  được :  2  6 8 0 2 ; 4 y y y y - + = Û = = 
Hệ có nghiệm 
6 12 
;
2 4 
x x 
y y 
= = ì ì 
í í = = î î 
0,25 
Với 
3 
y 
x =  , thế vào Pt  2 2 8 x y - =  được :  2 3 2 24 0 y y - + =  Vô nghiệm.  0,25 
Kết luận : hệ phương trình có 2 nghiệm là : 
6 12 
;
2 4 
x x 
y y 
= = ì ì 
í í = = î î 
0,25 
III  Tính tích phân  1,00 
/ 6 / 6 
2 
0 0 
sin sin 
cos 2 2cos 1 
x x 
I dx dx 
x x 
p p 
= = 
- ò ò  0,25 
Đặt  cos sin t x dt xdx = Þ = - 
Đổi cận: 
3 
0 1; 
6 2 
x t x t p = Þ = = Þ = 
0,25 
Ta được 
1 
3 / 2 
2 
1  3 / 2 
1 1 2 2 
ln 
2 1  2 2 2 2 
t 
I dt 
t  t 
- 
= - = 
- + ò 
0,25 
1 3 2 2 
ln 
4 2 5 2 6 
- 
= 
- 
0,25 
IV  Chứng minh bất đẳng thức  1,00 
Gọi ( )  1 1  2  x y A x y 
x y y x 
æ ö æ ö 
= + + = + + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
Đặt 
x 
t 
y 
=  thì 
1 
( ) 2 A f t t 
t 
= = + + 
Với [ ] 
2 4 
1 1 
, 2;4 2 ;2 1 1 1 
2 2 
4 2 
x 
x 
x y t 
y 
y 
£ £ ì 
ï é ù Î Þ Þ £ £ Þ Î í ê ú £ £ ë û ï î 
0,25 
0,25 
Ta có 
2 
' ' 
2 2 
1 1 1 
( ) 1 ; ( ) 0 1 ;2 
2 
t 
f t f t t 
t t 
- é ù = - = = Û = Î ê ú ë û  0,25 
Ta có : 
1 9 9 
(2) ; (1) 4 4 
2 2 2 
f f f A æ ö = = = Þ £ £ ç ÷ 
è ø 
(điều phải chứng minh)  0,25 
V  Tính thể tích  1,00
Kẻ đường cao SH, gọi I là trung điểm BC . 
Giả thiết cho  ·  0 45 SIH =  . 
Gọi x là cạnh Dđều ABC , suy ra : 
3 3 3 
, , 
2 3 6 
x x x 
AI AH HI = = = 
0,25 
DSAH vuông tại H 
2 
2 2 2 2  3
3 
x 
SH SA AH a 
æ ö 
Þ = - = - ç ÷ ç ÷ 
è ø 
DSHI vuông cân tại H 
3
6 
x 
SH HI Þ = = 
0,25 
Suy ra : 
2 2 
2 3 3 2 15 
6 3 5 
x x a 
a x 
æ ö æ ö 
= - Þ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
0,25 
Do đó ( ) 
2 2 3 
. 
1 1 5 3 3 15 
. . . 
3 3 5 5 25 S ABC 
a a a 
V SH dt ABC = = =  0,25 
VI.a  2,00 
1  Viết phương trình đường thẳng  (1,00 điểm) 
Ta có  A(1; 1) -  và  1 2 d d ^ 
3 d  tạo với  1 d  ,  2 d  tam giác vuông cân Þ  3 d  vuông góc với 2 phân giác góc 
tạo bởi  1 d  ,  2 d  có phương trình :  7 3 4 0 x y + - =  ; 3 7 10 0 x y - - = 
Nên  3 d  có phương trình  7 3 0 x y C + + =  hay 
/ 3 7 0 x y C - + = 
0,25 
3 d  qua  ( 7;8) P -  nên C = 25  ; C 
/ = 77 
Suy ra :  3 : 7 3 25 0 d x y + + =  hay  3  :3 7 77 0 d x y - + = 
0,25 
Theo giả thiết D vuông cân có diện tích bằng 
29 
2 
cạnh huyền bằng  58 
Suy ra độ dài đường cao A H = 
58
2 
=  3 ( , ) d A d 
0,25 
Với  3  : 7 3 25 0 d x y + + =  thì  3 
58 
( ; ) 
2 
d A d =  ( thích hợp) 
Với  3  : 3 7 77 0 d x y - + =  thì  3 
87 
( ; ) 
58 
d A d =  ( loại ) 
0,25 
2  Viết phương trình mặt cầu (S)    (1,00 điểm) 
Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thỏa yêu cầu bài toán . Gọi (S0) là mặt cầu 
có tâm  0 (0,0, ) I m  thuộc trục Oz , khi đó (Oxy) và mp: z = 2 cắt (S0) theo 2 
đường tròn tâm  1 (0,0,0) O  , bán kính  1  2 R =  và tâm  2 (0,0,2) O  ,  2  8 R = 
0,25 
R là bán kính mặt cầu thì : 
2 2 2 
2 2 
2 2 2 
2 
4 64 2 
8 2 
R m 
m m 
R m 
ì = + ï Þ + = + - í 
= + - ï î 
Ta được  16 m =  và  2 65 R =  , I0 (0.0.16) 
0,5 
Suy ra (S) có tâm  ( ; ;16) I a b  (  , a b R Π ) và  2 65 R = 
Vậy pt  (S) :  2 2 2 ( ) ( ) ( 16) 260 x a y b z - + - + - =  , (  , a b R Π ) 
0,25 
VII.a  Tìm số nguyên dương a và n  1,00 
3 2 20 ( 1)( 2) 20 3 18 0 n A n n n n n n n = Û - - = Û - - = 
Suy ra : n = 6 và n = – 3 ( loại ) 
Giả thiết còn lại trở thành : 
2 7 
0 1 6 
6 6 6 
127 
. . .... 
2 7 7 
a a 
aC C C + + + = 
0,25
Ta có :  6 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 (1 ) x C C x C x C x C x C x C x + = + + + + + +  0,25 
Nên [ ] 
2 7 
6 0 1 6 
6 6 6 0 
0  0 0 
(1 ) ... 
2 7 
a a a 
a  x x 
x dx C x C C 
é ù é ù 
+ = + + + ê ú ê ú 
ë û ë û 
ò 
Û 
7 2 7 
0 1 6 
6 6 6 
0 
(1 ) 
. . .... 
7 2 7 
a 
x a a 
a C C C 
é ù + 
= + + + ê ú 
ë û 
0,25 
Theo giả thiết ta được : 
7 
7 7 7 (1 ) 1 127  (1 ) 128 (1 ) 2 
7 7 7 
a 
a a 
+ 
- = Þ + = Þ + = 
Vậy   a = 1 và n = 6 . 
0,25 
VI.b  2,00 
1  Viết phương trình đường thẳng   (1 điểm) 
(C) có tâm  (1; 3) I -  và bán kính R = 5 
Gọi H là trung điểm dây cung AB thì AH = 4 
và  2 2 2 2 5 4 3 IH R AH = - = - =  hay  ( , ) 3 d I D =  (*) 
0.25 
(D) qua gốc tọa độ nên có pt :  2 2 0 ; 0 Ax By A B + = + ¹ 
Từ (*) cho : 
2 2 
3 
3 (4 3 ) 0 
A B 
A A B 
A B 
- 
= Û + = 
+ 
Do đó  0 A =  hay  4 3 0 A B + = 
0,25 
Với  4 3 0 A B + =  , chọn A = 3 ; B = – 4 : (D) có pt là  3 4 0 x y - = 
0,25 
Với A = 0 chọn B = 1 : (D) có pt là y = 0 
Kết luận : PT của (D) là  3 4 0 x y - =  hay y = 0 . 
0,25 
2  Tìm tọa độ giao điểm M  ( 1 điểm) 
(D) qua điểm A(1;0;0) và có vectơ chỉ phương  (1; 1; 2) u = - - 
ur 
Giao điểm M(0;0;m) cho  ( 1;0; ) AM m = - 
uuuur  0,25 
(a) có vectơ pháp tuyến  , ( ; 2;1) n AM u m m é ù = = - ë û 
ur uuuur ur 
0,25 
(a) và (P):  2 2 1 0 x y z - - + =  tạo thành góc 60 0 nên : 
( ) ' 2 2 1 1 1 cos , 2 4 1 0 2 2 2 4 5 n n m m m m = Û = Û - + = - + 
ur r  0,25 
Ta được  2 2 m = -  hay  2 2 m = + 
Kết luận :  (0;0; 2 2) M -  hay  (0;0; 2 2) M +  0,25 
VII.b  Tìm giá trị tham số m ..  1,00 
( )  (1 )(2 ) .3 .2 0 x x x x m = + - - 
1 2 1 2 
.3 0 
3 
x 
x 
x x 
x 
m x m 
- £ £ ì - £ £ ì ï Û Û í í 
= - = î ï î 
0,25 
Đặt :  ( ) 
3 x 
x 
f x =  ,  ' 
1 .ln 3 
( ) 
3 x 
x 
f x 
- 
=  ; [ ] '  1 ( ) 0 1;2 
ln 3 
f x x = Û = Î -  0,25 
2 1 1 1 
( 1) 3 ; (2) ; 3 ( ) 
9 ln 3 .ln 3 .ln 3 
f f f f x 
e e 
æ ö - = - = = Þ - £ £ ç ÷ 
è ø 
; [ ] 1; 2 xÎ -  0,25 
Kết luận : Khi 
1 
3 
.ln 3 
m 
e 
- £ £  thì pt trên có nghiệm . 
0,25
S 
A  C 
B 
I 
H  45 
0