Đề thi thử tuyển sinh đại học lần 1 môn: Toán; khối: D

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP  ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ­ LẦN 1 
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu                                            Môn: TOÁN; Khối: D 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 
1 
2 
x 
y 
x 
+ 
= 
- 
. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Gọi (d) là đường thẳng qua ( ) 2;0 M  có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
2 MA MB = - 
uuur uuur 
. 
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình 
1 
3 sin cos 
cos 
x x 
x 
+ =  . 
2. Giải phương trình  2 2 2 2 3 2 3 9 x x x x x + + + + + = ( ) x Ρ  . 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 
4 
2 
2 
0 
log 9 I x x dx = + ò  . 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ·  0 60 ABC =  , hai mặt 
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng  0 30  . Tính 
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a. 
Câu V (1,0 điểm) Cho bất phương trình  2 2 4 2 15 2 13 x x x x m - - + + ³ - - + 
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi [ ] 3;5 x Î -  . 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2.0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) M 6;2  và đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 5 - + - =  . Lập phương trình đường 
thẳng (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 10 =  . 
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( )  1 1 : 
2 4 1 
x y z 
d 
- + 
= = 
- 
và hai điểm ( ) ( ) 4; 1;1 , 2;5;0 A B -  . Tìm 
điểm M trên (d) sao cho tam giác MAB vuông tại M . 
Câu VII.a (1.0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) 
( ) ( ) 
3 
3 3 
8 2 0,5 
log 2 log 3 2 3 
x y 
y 
x y x y 
- 
- ì = ï 
í 
ï - + + = î 
. 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2.0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 1; 2 A -  và đường thẳng ( ) : 2 3 0 d x y - + =  . Tìm trên đường thẳng (d) hai 
điểm  , B C  sao cho tam giác ABC vuông tại C và  3 AC BC =  . 
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm ( ) ( ) ( ) 0;1;0 , 2;2; 2 , 2;3; 4 A B C -  và đường thẳng 
( )  1 2 3 : 
2 1 2 
x y z 
d 
- + + 
= = 
- 
. Tìm điểm M thuộc (d) sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3. 
Câu VII.b (1.0 điểm) Giải hệ phương trình 
2 
3 
3 3 
9.4 2.4 4 0 
log log 1 0 
y 
x 
x y 
ì ï - - = í 
ï - + = î 
. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:..............................................; Số báo danh:.............................. 
Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ diễn đàn  đã gửi tới www.laisac.page.tl
SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP  ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu  ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ­ LẦN 1 
Môn: TOÁN; Khối: D 
(Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
Câu  Đáp án  Điểm 
1. (1,0 điểm) 
·  Tập xác định: { } \ 2 D = ¡ 
·  Sự biến thiên: 
ￚ Chiều biến thiên: 
( ) 2 
3 
' 0, 
2 
y x D 
x 
- 
= < " Î 
- 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;2 -¥  và ( ) 2;+¥ 
0.25 
ￚ Giới hạn và tiệm cận:  lim lim 1 
x x 
y y 
®-¥ ®+¥ 
= =  ; tiệm cận ngang:  1 y = 
2 2 
lim , lim 
x x 
y y 
- + ® ® 
= -¥ = +¥ ; tiệm cận đứng:  2 x = 
0.25 
ￚ Bảng biến thiên:  0.25 
·  Đồ thị  0.25 
2.(1,0 điểm) 
I 
(2,0 điểm) 
Phương trình đường thẳng (d):  2 y kx k = -  0.25
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 
1 
2 
2 
x 
kx k 
x 
+ 
= - 
- 
(1) 
Điều kiện:  2 x ¹ 
Phương trình (1) tương đương với: ( ) 2 ( ) 4 1 4 1 0 f x kx k x k = - + + - =  (2) 
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û  (1) có hai nghiệm phân biệt 
Û  (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 
( ) 
0  0 
12 1 0  1 
2 3 0  12 
k  k 
k 
k 
f 
ì ¹ ¹ ì 
ï ï Û D = + > Û í í 
> - ï ï = - ¹ î î 
(*) 
0.25 
Đặt ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y  với  1 2 , x x  là hai nghiệm của (2) và  1 1 2 2 2 ; 2 2 y kx k y x k = - = - 
Khi đó: 
( ) 
( ) 
1 2 
1 2 
1 2 
2 2 2 
2 2 6 
2 2 2 
x x 
MA MB x x 
y y 
- = - - ì ï = - Û Û + = í 
- = - - ï î 
uuur uuur 
(3) 
0.25 
Theo định lý Viet ta có: 
1 2 
1 2 
4 1 
(4) 
4 1 
(5) 
k 
x x 
k 
k 
x x 
k 
+ ì + = ï ï 
í - ï = 
ï î 
Từ (3) và (4) suy ra:  1 2 
2 2 4 1 
; 
k k 
x x 
k k 
+ - 
= =  (6) 
Từ (5) và (6) ta được: 
2 2 2 1 4 1 2 
. 
3 
k k k 
k 
k k k 
+ - - 
= Û =  , thỏa (*) 
Vậy, giá trị k thỏa đề bài là: 
2 
3 
k =  . 
0.25 
1. (1,0 điểm) 
Điều kiện:  cos 0 x ¹  (*) 
Phương trình đã cho tương đương với: 
2  3 1 cos 2 3 sin cos cos 1 s in2 1 cos 2 3 s in2 1 
2 2 
x 
x x x x x x 
+ 
+ = Û + = Û + = 
0.25 
1 3 1 
cos 2 s in2 
2 2 2 
x x Û + = 
0.25 
1 
cos 2 
3 2 
x p æ ö Û - = ç ÷ 
è ø 
0.25 
3 
x k 
x k 
p p 
p 
é = + ê Û 
ê 
= ë 
( k ΢ ), thỏa (*) 
Vậy, phương trình có nghiệm là: 
3 
x k x k p p p = + Ú =  ( k ΢ ). 
0.25 
2.(1,0 điểm) 
Đặt  2  3 t x x = + +  , phương trình đã cho trở thành:  2  12 0 t t + - =  0.25 
2  3 12 0 
4 
t 
t t 
t 
= é 
+ - = Û ê = - ë 
0.25 
·  Với  3 t =  thì  2 
2 2 
3 
3 3 1 
3 6 9 
x 
x x x 
x x x 
£ ì 
+ + = Û Û = í 
+ = - + î 
0.25 
II 
(2,0 điểm) 
·  Với  4 t = -  thì  2 
2 2 
4 
3 4 
3 8 16 
x 
x x x 
x x x 
£ - ì 
+ + = - Û Û ÎÆ í 
+ = + + î 
0.25
Vậy, phương trình có nghiệm là:  1 x =  . 
(1,0 điểm) 
Đặt ( ) ( ) 
2 
2  2 
2 
log 9 
9 .ln 2 
x 
u x du dx 
x 
= + Þ = 
+ 
và 
2  9 
2 
x 
dv xdx v 
+ 
= Þ = 
0.25 
Suy ra: ( ) 
4  4 2 
2 
2 
0 0 
9 1 
.log 9 
2 ln 2 
x 
I x xdx 
é ù + 
= + - ê ú 
ë û 
ò 
0.25 
· ( ) 
4 2 
2 
2 2 2 2 2 
0 
9 25 9 
.log 9 log 25 log 9 25log 5 9 log 3 
2 2 2 
x 
x 
é ù + 
+ = - = - ê ú 
ë û 
· 
4 4  2 
0  0 
8 
2 
x 
xdx 
é ù 
= = ê ú 
ë û 
ò 
0.25 
III 
(1,0 điểm) 
Vậy  2 2 
8 
25log 5 9log 3 
ln 2 
I = - -  . 
0.25 
(1,0 điểm) 
Gọi O  AC BD = I  , M là trung điểm AB và I là trung điểm của AM. 
Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên: 
, CM AB OI AB ^ ^  và 
2 3 3 3 
, , 
2 4 2 ABCD 
a a a 
CM OI S = = = 
0.25 
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD)  nên ( ) SO ABCD ^ 
Do  AB OI AB SI ^ Þ ^  . Suy ra: ( ) ( ) · ( ) · ·  0 , , 30 SAB ABCD OI SI SIO = = = é ù ë û 
Xét tam giác vuông SOI ta được:  0 
3 3 
. t an30 . 
4 3 4 
a a 
SO OI = = = 
Suy ra: 
2 3 1 1 3 3 
. . . . 
3 3 2 4 24 ABCD 
a a a 
V S SO = = =  . 
0.25 
Gọi J  OI CD = I  và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI 
Suy ra: 
3 
2 
2 
a 
IJ OI = =  và ( ) JH SAB ^ 
Do ( ) / / / / CD AB CD SAB Þ  . Suy ra: 
( ) ( ) ( ) , , , d SA CD d CD SAB d J SAB JH = = = é ù é ù ë û ë û 
0.25 
IV 
(1,0 điểm) 
Xét tam giác vuông IJH ta được:  0 
3 1 3 
.s in30 . 
2 2 4 
a a 
JH IJ = = = 
0.25
Vậy ( )  3 , 
4 
a 
d SA CD =  . 
(1,0 điểm) 
Xét bất phương trình:  2 2 4 2 15 2 13 x x x x m - - + + ³ - - +  (1) 
Điều kiện:  2  2 15 0 3 5 x x x - + + ³ Û - £ £ 
Đặt  2  2 15 t x x = - + +  , ta có: 
2 
1 
' ,   ' 0 1 
2 15 
x 
t t x 
x x 
- 
= = Û = 
- + + 
Bảng biến thiên: 
Suy ra: [ ] 0;4 t Π
0.25 
Do  2 2 2 2 15 2 15 t x x x x t = - + + Û - = -  nên bất phương trình đã cho trở thành: 
2  4 2 t t m - - ³  (2) 
0.25 
Xét hàm số  2 ( ) 4 2 f t t t = - -  với [ ] 0;4 t Π , ta có: 
( ) ' 2 4 0 2 f t t t = - = Û = 
Bảng biến thiên: 
Suy ra: 
[ ] 
( ) 
0;4 
min ( ) 2 6 
t 
f t f 
Î 
= = - 
0.25 
V 
(1,0 điểm) 
Bất phương trình (1) nghiệm đúng [ ] 3;5 x " Î - 
Û  Bất phương trình (1) nghiệm đúng [ ] 0;4 t " Î 
Û  m £ 
[ ] 0;4 
min ( ) 
t 
f t 
Î 
Û  6 m £ - 
Vậy, giá trị m thỏa đề bài là:  6 m £ -  . 
0.25 
1. (1,0 điểm) VI.a 
(2,0 điểm) 
Đường tròn (C) có tâm ( ) I 1;2  và bán kính  R 5 = 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB, ta có: 
0.25
2 
2 2 2 2  AB 10 5 10 IH IA AH R 5 IH 
4 4 2 2 
= - = - = - = Þ = 
Đường thẳng (d) đi qua M và có VTPT ( ) n a;b = 
r 
( ) 2 2  0 a b + ¹  có dạng: 
( ) ( ) a x 6 b y 2 0 ax by 6a 2b 0 - + - = Û + - - = 
0.25 
Đường thẳng (d) thỏa đề bài khi: 
( )  2 2 
2 2 
a 2b 6a 2b  10 
d I;(d) IH 9a b b 3a 
2 a b 
+ - - 
= Û = Û = Û = ± 
+ 
0.25 
·  Với  b 3a = -  ta được ( ) d : x 3y 0 - = 
·  Với  b 3a =  ta được ( ) d : x 3y 12 0 + - = 
Vậy, có hai đường thẳng thỏa đề bài là: ( ) d : x 3y 0 - =  hoặc ( ) d : x 3y 12 0 + - =  . 
0.25 
2.(1,0 điểm) 
Phương trình tham số của (d): 
1 2 
4 
1 
x t 
y t 
z t 
= + ì 
ï = í 
ï = - - î 
. Đặt ( ) 1 2 ; 4 ; 1 M t t t + - - 
Ta có: ( ) ( ) 3 2 ; 1 4 ;2 ; 1 2 ;5 4 ;1 MA t t t MB t t t = - - - + = - - + 
uuur uuur 
0.25 
MAB D  vuông tại M  . 0 MAMB Û = 
uuur uuur 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 
2 2 2 
2 
3 2 1 2 1 4 5 4 2 1 0 
4 8 3 16 16 5 3 2 0 
21 21 0 0 1 
t t t t t t 
t t t t t t 
t t t t 
Û - - + - - - + + + = 
Û - + + - - + + + = 
Û - = Û = Ú = 
0.25 
· ( ) 0 1;0; 1 t M = Þ -  0.25 
· ( ) 1 3;4; 2 t M = Þ - 
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: ( ) 1;0; 1 M -  hoặc ( ) 3; 4; 2 M -  . 
0.25 
(1,0 điểm) VII.a 
(1,0 điểm) 
Xét hệ phương trình: ( ) 
( ) ( ) 
3 
3 3 
8 2 0,5                                (1) 
log 2 log 3 2 3        (2) 
x y 
y 
x y x y 
- 
- ì = ï 
í 
ï - + + = î 
Điều kiện:  2 0;3 2 0 x y x y - > + >  (*) 
0.25 
Khi đó: ( )  6 1 3 
2 
x y 
y y x 
- + 
Û = - Û = -  (3) 
0.25 
Thay (3) vào (1) ta được:  2 3 3 log 3 log 3 3 27 3 x x x x + = Û = Û = ±  .  0.25 
·  Với  3 3 x y = Þ = -  , thỏa (*) 
·  3 3 x y = - Þ =  , không thỏa (*) 
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 
3 
3 
x 
y 
= ì 
í = - î 
. 
0.25 
(1,0 điểm) 
Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vuông góc của A trên (d) 
Phương trình đường thẳng ( ) D  qua A và vuông góc với (d) là:  2x y m 0 + + = 
( ) ( ) A 1; 2 2 2 m 0 m 0 - Î D Û - + + = Û = 
Suy ra: ( ) : 2x y 0 D + =  . 
0.25 
VI.b 
(2,0 điểm) 
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: { 
3 
x  3 6 2x y 0  5  C ; x 2y 3 6  5 5 y 
5 
ì = - ï æ ö + = Û Þ - í ç ÷ - = - è ø ï = 
î 
. 
0.25
Đặt ( ) B 2t 3; t (d) - Π , theo giả thiết ta có:  2 2 3 9 AC BC AC BC = Û = 
2 2 
2 
16 
t 4 16 12 6  15 9 2t t 45t 108t 64 0  4 25 25 5 5  t 
3 
é = é ù ê æ ö æ ö Û + = - + - Û - + = Û ê ú ç ÷ ç ÷ ê è ø è ø ê ú = ë û ê 
ë 
. 
0.25 
·  Với 
16 13 16 
; 
15 15 15 
t B æ ö = Þ - ç ÷ 
è ø 
·  Với 
4 1 4
; 
3 3 3 
t B æ ö = Þ - ç ÷ 
è ø 
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: 
13 16 
; 
15 15 
B æ ö - ç ÷ 
è ø 
hoặc 
1 4
; 
3 3 
B æ ö - ç ÷ 
è ø 
. 
0.25 
2.(1,0 điểm) 
Ta có: ( ) ( ) ( ) 2;1;2 ; 2;2;4 , 0; 12;6 AB AC AB AC é ù = = - Þ = - ë û 
uuur uuur uuur uuur 
0.25 
Phương trình tham số của (d): 
1 2 
2 
3 2 
x t 
y t 
z t 
= + ì 
ï = - - í 
ï = - + î 
. Đặt ( ) 1 2 ; 2 ; 3 2 M t t t + - - - + 
Ta có: ( ) 1 2 ; 3 ; 3 2 AM t t t = + - - - + 
uuuur 
.Suy ra:  , . 18 24 AB AC AM t é ù = + ë û 
uuur uuur uuuur 
0.25 
0 
1 
3 , . 3 18 24 18  3 
6 
2 
MABC 
t 
V AB AC AM t 
t 
= é 
ê é ù = Û = Û + = Û ë û ê = - 
ë 
uuur uuur uuuur  0.25 
·  Với ( ) 0 1; 2; 3 t M = Þ - - 
·  Với 
1 
0 2; ; 6 
2 
t M æ ö = Þ - - - ç ÷ 
è ø 
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là ( ) 1; 2; 3 M - -  hoặc  1 2; ; 6 
2 
M æ ö - - - ç ÷ 
è ø 
. 
0.25 
(1,0 điểm) 
Xét hệ phương trình 
2 
3 
3 3 
9.4 2.4 4 0        (1) 
log log 1 0     (2) 
y 
x 
x y 
ì ï - - = í 
ï - + = î 
Điều kiện:  0; 0 x y > > 
0.25 
Khi đó:  3 3 (2) log 3 log 3 x y y x Û = Û =  (3)  0.25 
Thay (3) vào (1) ta được: 
( ) 2 2 
4 4 
1 
9.4 2.4 4 0 2. 4 9.4 4 0 1 1  2 4 
2 
x 
x x x x 
x 
x x 
é = 
ê - - = Û - + = Û Û = Ú = - ê = 
ê ë 
(loại) 
0.25 
VII.b 
(1,0 điểm) 
·  Với  1 3 x y = Þ = 
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 
1 
3 
x 
y 
= ì 
í = î 
. 
0.25 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­