Đề thi thử sức trước kì thi Đại học môn Toán (có hướng dẫn)

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI
ĐỀ SỐ 1
(Thời gian làm bài: 180 phút)
I. PHẦN CHUNG
Câu 1. (2 điểm)
Cho họ đồ thị (Cm) y = .
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, điểm cực tiểu và gốc toạ độ lập thành tam giác vuông tại O.
Câu 2. (2 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: .
Câu 3. (2 điểm)
a) Tính cách tích phân sau:
;	.
b) Cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
Câu 4. (2 điểm)
a) Giải phương trình: .
b) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng .
II. PHẦN TỰ CHỌN	
( Học sinh chỉ được chọn câu 5A hoặc câu 5B)
Câu 5A. (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)
a) Cho n là số nguyên dương với n ³ 2. Chứng minh rằng: 
b) Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với AC. Hỏi các đường này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
Câu 5B. (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)
Cho đường thẳng (D) có phương trình và elip (E) có phương trình . Giả sử đường thẳng (D) cắt elip (E) tại hai điểm B và C.
a) Tìm điểm A thuộc elip (E) để tam giác ABC cân tại A.
b) Tìm điểm A thuộc elip (E) để tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
I. Phần bắt buộc
Câu 1. 
a) Tự làm.
b) y’ = ; y’ = 0 Û x2 - 2x - m - 1 = 0.
Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D’ > 0 Û 1 + m + 1 > 0 Û m > -2.
Khi đó y’ = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : .
Gọi các điểm cực đại và cực tiểu là A(x1; y1), B(x2; y2). Có : y1 = 2x1 + 2; y2 = 2x2 + 2.
Tam giác OAB vuông tại O Û Û x1x2 + y1y2 = 0 Û x1 x2 + 4(x1 + 1)(x2 + 1) = 0 Û 
5x1x2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0 Û 5(-m - 1) + 4.2 + 4 = 0 Û -5m + 7 = 0 Û m = 7/5 (t/m).
Câu 2. 
a) 
Û 
Û .
b) Giải hệ phương trình: 
ĐK: x>0, y>0
Pt Û 
Û y = 2x. Thế vào (1) ta được: 3x.2x = 22x.x Û .
Þ y = .
Câu 3.
a) Tính các tích phân sau:
;	
. Đặt t = Þ t2 = 1 + x3 Þ 2tdt = 3x2dx.
x = 1 Þ t = , x = 2 Þ t = 3.
I = 
= .
. Đặt t = cos2x Þ dt = -2cosxsinxdx = -sin2xdx. x = 0 Þ t = 1, x = Þ t = 0.
. Đặt t = tgx Þ dt = (1 + tg2x)dx. t = 1 Þ x = 0, t = 1 Þ x = .
J = .
b) , , .
Có Þ .
Vậy AB và CD chéo nhau.
d(AB, CD) = 
+ Gọi (a) là mặt phẳng chứa AB và có VTCP . Suy ra (a) có vt VTPT . Phương trình của (a):
34(x - 5) + 10(y - 1) - 86(z - 3) = 0 Û 17x + 5y - 43z + 39 = 0.
+ Gọi (b) là mặt phẳng chứa CD và có VTCP . Suy ra (b) có vt VTPT . Phương trình của (b):
-18(x - 5) + 25(y - 0) - 9(z - 4) = 0 Û 18x - 25y + 9z + 54 = 0.
Vậy phương trình đường vuông góc chung của AB và CD là: .
Câu 4.
a) Giải phương trình: . ĐK x > 1.
Dễ thấy x = 2 không phải là nghiệm của phương trình.
PT Û .
+ Xét hàm số f(x) = . Có f’(x) = Þ f(x) luôn đồng biến với.
+ Xét hàm số g(x) = . Có g’(x) = Þ g’(x) luôn nghịch biến với.
Vậy đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = g(x) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Hay phương trình có một nghiệm duy nhất.
Nhẩm nghiệm ta được x = 3 là nghiệm của phương trình.
b) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng .
II. Phần tự chọn
Câu 5A.
a) C ó (1 + x)n = . Lấy đạo hàm hai vế ta được:
Û (*). Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được:
.
Cho x = 1 ta được: .
b) Gọi hai đường thẳng song song với nhau là hai đường thẳng cùng loại, hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng khác loại.
+ Ta thấy một hình bình hành được tạo thành bởi hai cặp đường thẳng cùng loại. Vậy có:
 hình bình hành.
+ Một hình thang được tạo thành bởi hai đường thẳng cùng loại và hai đường thẳng khác loại. Vậy có:
 hình thang.
Câu 5B.
Cho đường thẳng (D) có phương trình và elip (E) có phương trình . Giả sử đường thẳng (D) cắt elip (E) tại hai điểm B và C.
a) Tìm điểm A thuộc elip (E) để tam giác ABC cân tại A.
b) Tìm điểm A thuộc elip (E) để tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Toạ độ giao điểm của (D) và (E) là nghiệm của hệ phương trình:
.
Vậy (D) cắt (E) tại hai điểm B(), C().
a) Gọi A(x0; y0) Î (E) Þ x02 + 2y02 = 8.Tam giác ABC cân tại A Û AB = AC Û AB2 = AC2 
Û 
Û 
Û .
Ta có hệ phương trình: 
A
B
C
D