Đề thi thử đại học môn: Toán A

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: Toán A. Thời gian: 180 phút ( Không kể giao đề).
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I (2 điểm): Cho hàm số .
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và .
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: .
2) Giải hệ phương trình: .
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: 
Câu IV (1 điểm):
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng .
 Câu V (1 điểm): Cho các số dương 
 Chứng minh rằng: 
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)).
1. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn cùng đi qua M(1; 0). Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VII.a (1 điểm):
 Khai triển đa thức: Tính tổng: .
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm , chân đường cao hạ từ đỉnh B là , trung điểm cạnh AB là .
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: và .
Tìm tọa độ các điểm M thuộc và N thuộc sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng độ dài đoạn MN bằng .
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình 
 .....................HẾT
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 I
(2,0)
1(1,0)
Làm đúng, đủ các bước theo Sơ đồ khảo sát hàm số cho điểm tối đa.
1,0
2(1,0)
Từ giả thiết ta có: Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt sao cho 
. Ta có: 
Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó dễ có được 
Ta biến đổi (*) trở thành: 
Theo định lí Viet cho (**) ta có: thế vào (***) ta có phương trình: .
KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
0,25
0,5
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 II
(2,0)
1(1,0)
+) 
+) 
+) 
KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên.
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1,0)
Dễ thấy , ta có: 
Đặt ta có hệ: 
+) Với ta có hệ: .
+) Với ta có hệ: , hệ này vô nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 III
(1,0)
Đặt 
Suy ra: (Do tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu cảu biến số).
Suy ra: =
=. KL: Vậy 
0,25
0,25
0,5
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 IV
(1,0)
M
N
O
C
A
D
B
S
G
+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có
 suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
 Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của 
SC, SD.
+ Dễ có: .
 Theo công thức tỷ số thể tích ta có:
Từ đó suy ra:
+ Ta có: ; mà theo giả thiết nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD) chính là góc , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra Suy ra: .
Suy ra: .
Suy ra: thể tích cần tìm là: 
0,25
0,25
0,5
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 V
(1,0)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:.
Suy ra: 
Tương tự ta có: 
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
0,25
0,25
0,5
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 VIa
(2,0)
1(1,0)
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và , đường thẳng (d) qua M có phương trình .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: ,
Dễ thấy nên chọn .
Kiểm tra điều kiện rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1,0)
+ Ta có: Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là: 
+ Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là Suy ra (ABC):
.
+ Giải hệ: . Suy ra tâm đường tròn là 
Bán kính là 
0,25
0,25
0,5
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 VII.a
(1,0)
+ Ta có: 
 (*).
Nhận thấy: do đó thay vào cả hai vế của (*) ta có: .
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 VIb
(2,0)
1(1,0)
+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận 
 làm vtpt và AC đi qua K nên
 Ta cũng dễ có:
.
+ Do nên giả sử 
 Mặt khác là 
trung điểm của AB nên ta có hệ:
Suy ra: 
+ Suy ra: , suy ra: .
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận , suy ra:
KL: Vậy : , 
0,25
0,5
0,25
2(1,0)
+ nên ta giả sử .
+ MN song song mp(P) nên: 
.
+ Ta có: .
+ Suy ra: hoặc .
+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào 
KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
 VII.b
(1,0)
+ Điều kiện: .
+ Ta có: 
+ Đặt thì (1) trở thành: 
Với ta có: Thế vào (2) ta có:
. Suy ra: .
+ Kiểm tra thấy chỉ có thoả mãn điều kiện trên.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
0,25
0,25
0,25
0,25