Đề thi thử đại học lần thứ ba môn: Toán khối A,B

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
KHỐI A,B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x4 – 5x2 + 4
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M
Câu II: (2,0 điểm)
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân 	
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a, SA (ABCD), , H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 
Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương trình . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt elip tại A, B sao cho 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2) và mặt phẳng (P) có phương trình z = 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm B, nằm trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng bằng 5.
Câu VII (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z mà là nhỏ nhất.
------------------------Hết----------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:..SBD:
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
 NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
I-1
(1điểm)
 y = x4 – 5x2 + 4
+ TXĐ: R
+Giới hạn và tiệm cận: 
0,25
+ Sự biến thiên: y’ = 4x3 - 10x = 0 Û x = 0 hoặc x = 
Hàm số nghịch biến trên: (-¥; ) và (0; )
Hàm số đồng biến trên: (; +¥ )và (,0)
Các điểm dực trị xCĐ = 0, yCĐ = 4; , yCT1 = ; , yCT2 = ;
0,25
x
0
0
-
-
0
0
+
+
+∞ 
+∞ 
y’
-∞ 
+∞ 
y
4
4
0,25
§å thÞ: 
0,25
I-2
(1điểm)
LÊy M(m ; m4 – 5m2 + 4) Î (C) 
Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M : y = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + 4 (d)
0,25
Hoµnh ®é cña (d) & (C) lµ nghiÖm ph­¬ng tr×nh: 
x4 – 5x2 + 4 = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + 4
 (x – m)2(x2 + 2mx + 3m2 – 5) = 0 (1)
0,25
CÇn t×m m ®Ó x2 + 2mx + 3m2 – 5 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c m
§iÒu kiÖn lµ 
0,25
C¸c ®iÓm M(m ;m4 – 5m2 + 4) Î(C) víi hoµnh ®é 
0,25
II-1
(1 điểm)
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2cos2x
0,25
0,25
0,25
0,25
II-2
(1 điểm)
Hệ tương đương 
0,25
Thay (1) vào (2) được 
0,25
Với x = 0 suy ra y = 0
Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra (Vô lí)
0,25
Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)
0,25
III
(1 điểm)
Đặt u = du = 
 dv = 
0,5
Ta có : I = 
0,25
= 
0,25
IV
(1 điểm)
Trong tam giác vuông SAB có
0,25
K là hình chiếu của B trên AD ta có: BK.AD = AB.BD suy ra , suy ra: 
0,25
Do AD//(SBC) nên 
Dựng hình bình hành ADBE. Do ABBD nên ABDE
0,25
Đặt = h ta có 
Suy ra = h = 
0,25
V
(1 điểm)
ĐÆt x = . Do Khi ®ã:
 (*)
0,25
Áp dông bÊt ®¼ng thøc Trung b×nh céng- trung b×nh nh©n cho c¸c sè d­¬ng ta cã:
, , .
0,25
Céng ba bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu trªn ta cã : 
DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z.
0,25
A= 
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng đạt khi a = b = c = 1
0,25
VI- 1
(1 điểm)
Đường thẳng d qua M(0,2) có phương trình 
Để d cắt elip ở 2 điểm phân biệt điều kiện là phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Điều kiện là: 
0,25
Xét A, B, 
0,25
Theo định lí Vi- et có Suy ra 
0,25
Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = - 1 
Phương trình d là hoặc 
0,25
VI-2
(1 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5 nên
0,25
Gọi A’ là hình chiếu của A trên thì A’(0, 0, 2). Ta có: nên có 
0,25
Từ (1), (2) tìm được hoặc 
0,25
Với H ( , , 2) suy ra 
Với H ( , - , 2) suy ra 
0,25
VII.
(1 điểm)
Gọi z = x + iy khi đó M(x,y) biểu diễn z
M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R = 
0,25
A(4, -2) biểu diễn 4 – 2i. Ta có AM = 
Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất
0,25
AI có phương trình 
Thay vào phương trình (C ): 
0,25
t = - 1 suy ra M1 (6, -5) và AM = ; t = 3 suy ra M2 (-2, 7) và AM = 
Vậy M(6, -5) là điểm cần tìm.
0,25
SỞ GDĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG ĐỢT II
MÔN TOÁN KHỐI B NĂM HỌC 2011-2012
(Thời gian làm bài 180 phút)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I. (2.0 điểm)
 Cho hàm số: (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Câu II. (2.0 điểm)
 1.Giải phương trình : .
 2. Giải bất phương trình : 
Câu III. (1.0 điểm) Tính tích phân: 
Câu IV. (1.0 điểm)
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB = AC = a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60o. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Câu V. (1.0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B ).
A.Theo chương trình chuẩn: 
 Câu VI.a (2 điểm)
 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho điểm là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình .Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông. 
 2. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(13;-1;0), N(12;0;4).Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( S) : .
CâuVII.a (1điểm) 
 Giải phương trình: .
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn () : và đường thẳng () : . Chứng minh rằng () cắt () tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm toạ độ điểm trên đường tròn () sao cho diện tích tam giác lớn nhất
 2. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm H(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua H và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
CâuVII.b (1 điểm)
 Giải bất phương trình .
.................HẾT..............
Hướng dẫn chấm toán khối B lần 2 năm 2011-2012
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
I
1
 Cho hàm số: (1)
2,0
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
1,0
* Tập xác định: 
* Sự biến thiên:
+ Giới hạn: .
0,25
+ Bảng biến thiên:
Bảng biến thiên:
	 	 0 2	 
 	+	 - + 
 1 	
	 -3
0,25
+ Hàm số đồng biến trên khoảng và .
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng .
+ Hàm số đạt cực đại tại 
 đạt cực tiểu tại 
0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Ta có 
 đổi dấu khi x qua x = 1.
Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng.
0,25
I
2
1,0
Ta có .
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.
 Tức là cần có: 
0,5
Chia đa thức y cho , ta được: .
Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm .
Vì nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu là:
 hay 
0,25
Ta thấy với 
 Chứng tỏ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định 
0,25
II
1
Giải phương trình : .
1,0
Điều kiện : sinx.cosx 
0,25
 Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
0,25
 Giải được 
0,25
 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 
0,25
2
Giải phương trình : 
1,0
 ĐK: 
 Đặt Ta có hệ: 
0,25
0,25
 Giải hệ đx ta được x = y = 1 ; 
0,25
 Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và 
0,25
III
Tính tích phân: 
1,0
I = -2 
0,25
Ta có :
0,25
Tính J = 
Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J = = = (t - ln) = 1 - ln2
0,25
Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2
0,25
IV
 Tính thể tích của khối chóp theo a,
 1,0
 Kẻ SH vuông góc với Bc,suy ra SH vuông góc với mp(ABC). 
Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ^ AC SIH = SJH = 60o Þ SHI = SHJ
	Þ HI = HJ Þ AIHJ là hình vuông
0,5
 Từ đó suy ra I là trung điểm AB do đó IH = a/2 .
Trong tam giác vuông SHI ta có: SH = 
0,25
 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: (đvtt)
0,25
V
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
1,0
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 
 (*)
áp dụng (*) ta có 
0,25
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 
0,25
Suy ra 
Do đó 
Dấu = xảy ra 
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 
0,5
VIa
1
Lập phương trình các cạnh của hình vuông.............. 
1,0
. Lập phương trình các cạnh
Gọi hình vuông đã cho là . Giả sử pt cạnh là .
Gọi là hình chiếu của I lên đường thẳng . Suy ra 
0,25
 thuộc đường tròn tâm , bán kính có pt: 
0,25
Toạ độ hai điểm là nghiệm của hệ: .
 Giải hệ tìm được . Suy ra 
0,25
; ; 
0,25
2
Lập phương trình mặt phẳng .........
1.,0
 Mặt cầu (S) có tâm I( 1;2;3) bán kính R = 9.
 Mặt phẳng (P) đi qua M(13;-1;0) nên có phương trình dạng : 
 A(x -13) + B(y + 1) + Cz = 0 với .
0,25
 Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = B + 4C
 Lúc này pt(P) : (B + 4C)x + By + Cz -12B – 52C = 0
0,25
( P ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi : d(I,(P)) = 9
0,25
Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được hai phương trình mặt phẳng thỏa mãn bài toán: 
0,25
VII.a
Giải phương trình: .
1,0
Điều kiện : x > 0
 Ta có phương trinhg tương đương với: 
0,25
.
0,25
 Đặt (t > 0). Phương trình trỏ thành: ( loại)
0,25
Với t = ta giải được x = 3.
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3.
0,25
VIIb
1
 Tìm M trên ( C ).......
1,0
Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = .
Khoảng cách từ I đến đường thẳng () là < R
Vậy đường thẳng () cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt
0,25
Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có 
Trong đó AB không đổi nên lớn nhất khi lớn nhất.
0,25
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ().
PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0
Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình:
 P(1; -1); Q(-3; 5)
0,25
Ta có ; 
Ta thấy lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M (-3; 5).
0,25
2
 Viết Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M......... 
1,0
 Chứng minh được OH vuông góc với mp(ABC)
0,25
 Từ đó suy ra véc tơ OH có tọa độ (3;2;1) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
 Phương trình mp(ABC): 
0,5
 Vậy mp(ABC) có phương trình là :
0,25
VIIb
 Giải bất phương trình .
1,0
ĐK: 
0,25
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: 
0,25
0,25
Kết hợp với điều kiện (*) ta có: hoặc x < 0.
0,25