Đề thi thử đại học lần II môn thi: Toán

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP Môn thi: TOÁN
 _______________ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
 =========================================
Ngày thi: 20 – 2 – 2012
Câu 1. ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 – 2(m2 +1) x2 + 1 (*).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 0.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hàm số (*) có 3 điểm cực trị . Với giá trị nào của m , 
khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (*) nhỏ 
nhất.
Câu 2. ( 2,0 điểm)
1. Giải phương trình: cos3x – 2sin2x – cosx – sinx – 1 = 0.
2. Giải phương trình: 32 )2(341 +=++++ xxxx .
Câu 3. ( 2,0 điểm)
1. Tính tích phân: I = ∫ −1
0
635 )1( dxxx .
2. Giải hệ phương trình: 

=−+
=−+
xyx yy
yxx yx
9
2633
2
2
Câu 4. ( 1,0 điểm)
Trong mặt phẳng (α ) cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b. Các điểm M, N lần lượt 
chuyển động trên các đường thẳng m, n vuông góc với (α ) tại A, B sao cho luôn có DM ⊥ CN. 
Đặt AM = x, BN =y. Hãy xác định x, y để thể tích tứ diện CDMN có giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. ( 1,0 điểm)
Cho Rx ∈ và pi>x . Chứng minh rằng: 22
22 )(sin
x
xxx
+
−
>
pi
pi .
Câu 6. ( 2,0 điểm)
1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 02163 =−−+ zyx và mặt cầu (S) có bán kính 
bằng 5, tâm thuộc tia Ox và tiếp xúc với mặt phẳng Oyz. Tính bán kính và tọa độ tâm của đường 
tròn (C) là giao của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P).
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( - 2; 1), cạnh BC = 4, điểm M(1; 3) nằm trên 
đường thẳng BC và điểm E( - 1; 3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tính diện tích tam giác 
ABC.
------------------------------------------------ Hết---------------------------------------
Dự kiến thi thử Đại học lần thứ 3 sẽ được tổ chức vào ngày 9, 10/3/2012
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
20/2/201 2
OAP AN - THANG DIEM
rsr rn0 on lAn n - NAtvt zotz
Ciu nAp AN
t' (t;o
2. (1,0
iIi2nr Hoc sinh tr g
+
Tim m d€ hdm).
DTEM
I
1z di6n)
- [ x,=0
Tac6: y'=4x3-4(*r+l)x:4x[x2-1m2+t11 + y':0 e l_r.r= t^tm7Tt
Nhu vdy y' : 0 c6 3 nghipm phdn biQt vdi u'tgi rr'
0,2 5
Cqi'a(*';yr), B(xz; yz), C(xr; y) ld 3 diilm thu0c
X3
thi. Bing x6t dAr-r cira y' :
Suy ra h2rm sO d4t cgc dai tei xr : 0, d4t cgc ti€u t4i x2 , X3 voi mgi gi6 tri cliua m.
0,25
Tac6 y. =1,y2=yr:yft^[ffi +1-)= 1- (ntz+112.
Suy ra phuong trinh drrdng th1ng BC la y = 1 - (nt2 + 1)2
0,2 5
trpGrli r)'ti,vmeR.
Ding thric xiy ra khi vd chi khi rn : 0.
YQry nt:0 thi khodng c6ch tu A dln BC ld nho nhAt.
0,25
II
Q ctidnt)
l. ( I ,0 ilidnl . Giai phro'ng trinh .
Phuongtrinh dicho <+ 4cos'x-3cosx-4sinx.cosx-sinx-cosx- I : 0
<+4cos3x-4sinxcosx '-4cosx-sinx- 1:0 <+ 4(L-sin2x)cosx-4cosx(sinx+1)-(sinxf 1-) = g
e (l +:sinx) [4(l -sinx)cosx-4cosx- l] <+ (l +sinx)(-4sinx.cosx- l):0
0,50
I sinx :o 
lrinz* =
-1
_1
.2
f* = - )+zkn
<+ l*=-a+t*
l*=3 +k*L72
(kez). 0,50
Utlt dnA ciaiphrrong trinh .....
Di€ukiQn xZ-1.
er l.Ptddchotrothdrrh
vt-T--[t'-r=(r.,/t-rft-l;z
0,50
( t>1 ( t>1
c+ tt'- r = tt + t- 1- ztl(t- j o tr(,- 1) - z./t1t- r; + r
( t>1 ( t>1 r+y'E
*{161t-9-1)'=o e t74,-9=r <+ L= 2 '
y'E-s
2
-0
Suy ra
0,50
l. Q,0 itiiinr) . Tinh tich phdn
Ta c6 1 - lo1 xs(1 - x3)6dx:1 [t 
"tct - x3;6clix3;.
E{t u=xr + t=if",t-u)6du 0,50
1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Dar t: I-u + u=1-t v)du=-dt
sLry ra r: 
- i li,, - t) rgdr : ] Io'tru - t7;dt
2. { I ,0 di4nt) . Giai hQ phtro'ng tinh ' . ' ..
va
u-
1
J
c63
Edt u:-'v
^f
- Iu(n
*) N6u Lr
*) N6u u
V0y hQ pt
(u(v-11=?
v: x +y 
-1, khi d6hQpttru'thenh f i = rt\u
v:9u (1) [" : i
t; =: i;; =+ P(2) e 27u2 -3u-2 = o e l"=-
,tir(r)suyra v:3.raconQ {**u-ti*:{ * [;=
2 ^ ( jY--,v
f , tu'1r;suyra v : -2.Tacoh€ t *nu :'t : :;
(1,0 diint). Xdc dlnh x, y ... ...
Ttl M kd ME //AB (E e n) =+ CE // MD vd EB : MA: x'
Do MD I NC ndn EeN :90o vd M nam khdc phia vdi N so v6i
nip(a). Gqi I ld giao di€m ctra MN vdi AB, ta c6
1 1--. ^ 1
S16e :;ab vit V6py1q : Vcori,l * Vcoltl :;MA.S169 + - NB'Srco
L
Vdy Vcorrru:;ab(x + Y; (1)
Tlc"g t"," gt6a wfitg Cpn, tu c6 BE.BN : BC'+ xy = b' (2)'
Theo bAt dang thiLc C6si, ta c6 x + y>2^[xy, dAu bdng xay ra khi x : y (3)
Tir (1), (2) va (3) suy ra V6ey1.1 a + dAu bing xAy khi vd chi khi i : v: b '
Viy gi6 tri nh6 nhAt crlra th6 tich tir diQn CDMNId f ' Unt x: y = b '
t
I tt^
I
I
t
(l ,0 ditnt). Ch*ng minh rdng . ...
T" .6 '-ir- = rin(n 
- 
x), nen b6t ddng thri'c cAn ch6'ng rninh tuong dtLong v6i
(xz- xz\x (xz- n2)x
sin(n-x)>* <+ sln(x-?i) <-;- .t2 +xz Tr'+x'
V
Q dianl
III
Q diiint)
20/2/2012
Do t> 0 tlri t> sint.N€n tachi cAn chfingminh 
(x1-nz)x 
> x-n
nz +x2
"fhat vay, clo x > n, n€n (*) n2 + x2 e nx> r' ++
Vay bAt ding thirc dd cho clLLo. c chft'ng minh.
(*)
x > r , bAt ddng thiLc ndy drhng theo gt
I t/
(t (uenl)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
20/2/2012
). Tim tqa dQ tdm vd bdn kinh .....
6 tqa d0 (5; 0; 0)'
I(hodng cach tu / d6n mp(P) ld h:4.
Suy ra b6n kinh cria dudng trdn (Qlit r = lEr=4 = 3
ir tdm crla duong trdn (C1 '
Ta c6 7F : (x - 5; y; z), IH: 4 vit Trt //fi ( l,;r; - ,to) ld vecto ph6p tuy6n cria mp(P)'
Suyra {;=il' ooHemp(p)n6nc6phuongtrinh 5+t+9t +6t-2t=0<+ t: r,
[z = -V6t
Vay tqa dq tam cta duong trdn (C) ld H(6;z;-.'16)'
). Tinh di€n tich tam gidc '.,.
@cc6b6nkinh R: EA:^ls.
Cqi H ld trung di€m cta BC, ttong LBHEvu6ng c6 p11 :''l ggt:EF : 1'
Ggi vecto ph6p tuytin cria dubng thang BC li fi (a; b;, az + b21 0'
Phuongtrinh BC di quaM(l;3) ld: a(x- 1) +b(y-3) = 0 € ax +by-a- 3b = 0
Tac6 d(E, Bq: EH=r * !:ffi = I e b2 :3az e b:tV3a'
ng BC li : x+ J3Y- I -3V3 = 0'
Suy ra d(r, aq--tr - fi!;ta :=4, do d6 s166' = 3 + 2{1 ,
*) Vdi b:-./3a. PhuongtrinhdubngthangBClir: x-y':y- I +3J3 :0'
,-z:L:# :rf,- t, do do s,a6i. = 2^lj 
- 
3 .Suy ra d(1, BQ:L fiTT z
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com