Đề thi thử đại học lần 4 môn: Toán 12 Khối A - THPT chuyên Vĩnh Phúc

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC  KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 2011­2012 
Môn: Toán 12. Khối A. 
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) 
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số :  3 2 y x 3x 1 = - +  có đồ thị là ( ) C  . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
2) Với giá trị nào của  m  thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với 
đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 x m y m G - + - - = 
Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : ( )( ) 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x - + = + 
2) Giải hệ phương trình: 
( ) 
3 
4 
2 1 27 
2 1 
x y x 
x y 
ì - - - = - ï 
í 
- + = ï î 
( , ) x y ÎR  . 
Câu III (1,0 điểm)Tính tích phân : ( ) 
1 
4 2 
1 
3 
ln 3 2ln I x x x dx é ù = + - ë û ò 
Câu IV.  (1,0 điểm) Cho  lăng trụ tam giác đều  1 1 1 . ABC A B C  có chín cạnh đều bằng  5  .Tính góc và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng  1 AB  và  1 BC  . 
Câu V. (1,0 điểm)  Cho  , , a b c là các số thực dương thoả mãn  7 ab bc ca abc + + =  . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
4 5 6 
2 2 2 
8 1 108 1 16 1 a b c 
S 
a b c 
+ + + 
= + +  . 
B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 
1.Theo chương trình Chuẩn 
Câu VIa. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) ( ) 2  2 : 4 4 C x y - + =  và 
điểm ( ) 4;1 E  .Tìm  toạ  độ  điểm  M  trên  trục  tung  sao  cho  từ  điểm  M  kẻ  được  hai  tiếp  tuyến 
, MA MB đến đường tròn ( ) C  với  , A B  là các tiếp điểm sao cho đường thẳng  AB đi qua  . E 
2)Trong không gian với hệ toạ độ  Oxyz  cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0 P x y z - + - =  và các đường thẳng 
1 
1 3 
: 
2 3 2 
x y z 
d 
- - 
= = 
- 
và  2 
5 5 
: 
6 4 5 
x y z 
d 
- + 
= = 
- 
.Tìm các điểm  1 2 , M d N d ΠΠ sao cho  MN  song song 
với ( ) P  và cách ( ) P  một khoảng bằng  2. 
Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) ( )  3 3 5 12 3 5 2 x x  x+ - + + = 
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VIb. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( ) : 3 4 0 d x y - - =  và 
đường tròn ( )  2 2 : 4 0. C x y y + - =  Tìm điểm ( ) M d Π và điểm ( ) N C Π sao cho chúng đối xứng nhau 
qua điểm ( ) 3;1 A  . 
2)  Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz ,  cho  đường  thẳng  2 4 : 
3 2 2 
x y z - - 
D = = 
- 
và  hai  điểm 
( ) 1;2; 1 , A - ( ) 7; 2;3 B -  .Tìm  trên D  những điểm  M sao  cho  khoảng  cách  từ  M  đến đường  thẳng 
chứa  AB  là nhỏ nhất . 
Câu VIIb.(1,0điểm) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2  1 log 1 log 1 log 2 
2 
x x x - = + + - 
Đề chính thức 
(Đề thi gồm 01 trang)
www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM TOÁN 12 KHỐI A  ( 5 Trang) 
Câu  Ý  Nội dung  Điểm 
I  2,00 
1  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  3 2 y x 3x 1 = - +  1,00 
·  Tập xác định: Hàm số  có tập xác định = ¡ D . 
·  Sự biến thiên: 
v Chiều biến thiên :  2 3 6 y' x x = -  Ta có 
2 
0 
0 
x 
y' 
x 
= é 
= Û ê = ë 
v  , y 0 x 0 x 2 > Û Û h/số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0 & 2; -¥ +¥ 
v  , y 0 0 x 2 < Û < < Û  hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0; 2 
v ( ) ( ) 0 1 2 3 CD CT y y ; y y = = = = - 
v Giới hạn  3  3 x x 
3 1 
lim y lim x 1 
x x ®±¥ ®±¥ 
æ ö = - + = ±¥ ç ÷ 
è ø 
0,25 
0,25 
v  Bảng biến thiên: 
x -¥  0  2 +¥ 
y' +  0 -  0 + 
y 
1 +¥ 
-¥  ­3 
0,25 
·  Đồ thị:    cắt trục Oy tại điểm (0;1) 
0,25 
2  Với giá trị nào của  m  thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị....  1,00 
Đồ  thị  hàm  số  có  điểm  cực  đại ( ) 0;1 A  ,điểm  cực  tiểu ( ) 2; 3 B -  suy  ra  phương  trình 
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị  , A B là ( )2 1 0 d x y + - = 
0,25 
đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 x m y m G - + - - =  có tâm ( ) ; 1 I m m +  bán kính  5 R =  điều  0,25 
2 
1 
O  x 
­3 
y 
3 2 3 1 y x x = - +
www.VNMATH.com
kiện ( ) d  tiếp xúc với 
( ) ( ) ( ) 
2 2 
2 1 1  5 
, 5 3 5 
3 2 1 
m m 
d I d R m m 
+ + - 
G Û = Û = Û = Û = ± 
+ 
Đáp số : 
5 
3 
m = ± 
0,25 
0,25 
II  2,00 
1  Giải phương trình : ( )( ) 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x - + = +  (1)  1,00 
Đặt 
2 
2 
tan sin 2 
1 
t 
t x x 
t 
= Þ = 
+ 
.Phương trình  (1) trở thành 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 
2  2 
2  2 
1 2 
1 1 1 1 1 1 1 
1  1 1 1 
t t 
t t t t t t 
t  t t t 
= - é æ ö - + = + Û - + = + + Û ê ç ÷ + - + = + è ø ê ë 
( ) 1 0 tan 1 tan 0 
4 
t t x x x k x k k 
p 
= - Ú = Û = - Ú = Û = - + p Ú = p Î ¢ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2  Giải hệ phương trình:  1,00 
ĐK 
2 
1 
x 
y 
³ ì 
í ³ î 
từ  phương  trình  (2)  ta  có ( ) ( ) 4 2 2 1 1 2 x y y x - = - Þ - = -  thay  vào 
phương trình 
( ) 1  ta được  3 2 2 27 4 4 x x x x - = - + - + Û  3 2 2 4 31 0 x x x x - + - + - = ( ) * 
Xét hàm số ( )  3 2 2 4 31, f x x x x x = - + - + -  với mọi  2 x ³ 
( ) ' 2 1  3 2 4 0 2 
2 2 
f x x x x 
x 
Þ = + - + > " > 
- 
hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2;+¥  mặt khác ( ) 3 0 3 f x = Þ =  là nghiệm duy nhất 
của (*) thay vào phương trình (2) ta được  2 y =  vậy nghiệm của hệ phương trình là 
3; 2 x y = = 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
III  Tính tích phân    1,00 
Ta có ( ) 
1 
4 2 
1 
3 
ln 3 2ln I x x x dx é ù = + - ë û ò ( ) 
1 1 
2 2 2 2 
1 1 
3 3 
ln(3 1) ln ln ln 3 1 x x x x dx é ù = + + - = + ë û ò ò 
Đặt ( ) 
2 
2 
6 
ln 3 1 
3 1 
xdx 
u x  du 
x 
dv dx  v x 
ì ì = + = ï ï Þ + í í 
= ï ï î = î 
( ) 
1  2 
2 1 
1  2 
1 3 
3 
6 4ln 2 ln3 
ln 3 1 | 
3 1 3 
x dx 
I x x J 
x 
+ 
= + - = - 
+ ò 
Với 
1 1 
2 2 
1 1 
3 3 
2 4 4 
2 2 
3 1 3 3 1 3  3 3 
dx 
J dx 
x x 
p æ ö = - = - = - ç ÷ + + è ø ò ò  ( đặt  3 tan x t =  với  ;2 2 t 
p p æ ö Î - ç ÷ 
è ø 
( ) 2 1  1 tan 
3 
dx t dt = +  đổi  cận 
1 
; 1 
3 6 3 
x t x t 
p p 
= Þ = = Þ =  từ  đó  tính  được 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
www.VNMATH.com
4 3 4 ln 2 ln3 4 3 
3 9 3 3 9 
J I 
p + p 
Þ = - Þ = - + 
IV  ... Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng  1 AB  và  1 BC  .  1,00 
Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5 
1 1  5 2 AB BC Þ = =  .Dựng hình bình hành 
1 1 1 1 1 1 5 2, 5 BDB C DB BC BD C B Þ = = = =  , 
0 .sin 60 5 3 AD CD = = 
(do  ACD D  vuông tại  A  vì  ) BA BC BD = = ( ) ( ) 1 1 1 1 ; ; AB BC AB DB Þ a = = 
· ( ) ( ) ( ) 
2 2 2 
2 2 2 
1 1 
1 
1 2 
5 2 5 2 5 3  1 
cos 
2 . 4 2.5 2.5 2 
AB DB AD 
AB D 
AB DB 
+ - + - 
= = = · 1 AB D Þ  nhọn từ đó 
· 
1 
1 
cos 
4 
AB D a = Û a =  . Ta thấy ( ) ( ) 1 1 1 1 / / , BC mp AB D AB mp AB D Ì  từ đó 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , d BC AB d BC mp AB D d B mp AB D = = =  1
1 
. 3  B AB D 
AB D 
V 
dt D 
1 . 
1 1 
3 
1 
. .sin 
2 
B ABC V 
AB DB 
= 
a 
1 
1 1 
25 3 
5. 
4  5 
1  1 15 . sin  .5 2.5 2. 2  2 4 
ABC BB dt 
AB AD 
D = = = 
a 
.Đáp số 
( ) ( ) 
( ) 
1 1 
1 1 
1 
cos ; 
4
, 5 
AB BC 
d AB BC 
ì a = a = ï 
í 
ï = î 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
V  Cho  , , a b c là các số thực dương thoả mãn  7 ab bc ca abc + + =  .Tìm giá trị nhỏ nhất  1,00 
giả thiết tương đương với 
1 1 1 
7 
a b c 
+ + =  áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta 
có:  2 3 3 2 2 2 2 
1 2 2 2 
8 54 54 
2 9 9 9 
S a b b 
a b b b 
æ ö æ ö = + + + + + + + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
4 
2 2 
1 1 
16 
4 4 
c 
c c 
æ ö + + ç ÷ 
è ø 
2 
2 
2 2 2 
1 1 1 1 1 1 1 1 
4 10 3 17 .7 24 
2 3 2 2 3 2 7 a b c a b c 
æ ö æ ö + + + ³ + + + + + = + = ç ÷ ç ÷ + + è ø è ø 
dấu bằng xẩy 
ra khi 
1 1 
,
2 3 
a c b = = =  .Vậy  giá trị nhỏ nhất của  S  bằng 24 đạt khi 
1 1 
,
2 3 
a c b = = = 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
VIa  2,00 
1  Tìm toạ độ điểm  M  trên trục tung sao cho từ điểm  M  kẻ được hai tiếp tuyến  1,00 
Đường  tròn ( ) ( ) 2  2 : 4 4 C x y - + =  có  tâm ( ) 4;0 I  bán  kính  2 R =  .Gọi  toạ  độ  điểm 
( ) 0; M a  .Tiếp điểm ( ) ( ) 1 1 2 2 ; ; ; A x y B x y  .Do  MA  là tiếp tuyến của ( ) C  và ( ) A C Î 
( ) 
(*) 
MA I A 
A C 
ì ^ ï Û í 
Î ï î 
uuur ur 
mà 
( ) 
( ) 
1 1 
1 1 
; 
4; 
MA x y a 
IA x y 
ì = - ï 
í 
= - ï î 
uuur 
uur  từ đó ( ) 
( ) 
. 0 
* 
MA IA 
A C 
ì = ï Û í 
Î ï î 
uuur uur 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) 
1 1 1 1 
2  2 
1 1 
4 0 1 
4 4 2 
x x y a y 
x y 
ì - + - = ï Û í 
- + = ï î 
,lấy (1) trừ (2) theo vế ta được 
1 1 4 12 0 x ay - - =  tương  tự cho điểm ( ) 2 2 ; B x y  ta được  2 2 4 12 0 x ay - - =  từ đó ta có 
phương  trình  đường  thẳng  chứa  dây  AB  là ( ); 4 12 0 d x ay - - =  mà  điểm 
0,25 
0,25 
0,25
www.VNMATH.com
( ) ( ) 4;1 E d Î ( ) 4.4 .1 12 0 4 0;4 a a M Û - - = Û = Û  .Đáp số ( ) 0; 4 M  0,25 
2    1 2 , M d N d ΠΠ sao cho  MN  song song với ( ) P  và cách ( ) P  một khoảng bằng  2.  1,00 
PT tham số của  1 2 
1 2 5 6 
: 3 3 & : 4 
2 5 5 
x t x s 
d y t d y s 
z t z s 
= + = + ì ì 
ï ï = - = í í 
ï ï = = - - î î 
Vậy 
( ) 
( ) 
1 
2 
1 2 ;3 3 ;2 
5 6 ;4 ; 5 5 
M t t t d 
N s s s d 
ì + - Î ï 
í 
+ - - Î ï î 
( ) 6 2 4;4 3 3; 5 2 5 MN s t s t s t Þ = - + + - - - - 
uuuur 
mặt phẳng ( ) P  có 1 vtpt ( ) ( ) 1; 2;2 , / / . 0 n MN P MN n MN n = - Þ ^ Û = 
uuuur uuuur r r r 
( ) ( ) ( ) 1 6 2 4 2 4 3 3 2 5 2 5 0 s t s t s t t s Û - + - + - + - - - = Û = -  .Vì ( ) / / MN P 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
1 2 2 3 3 2 2 1 
, , 2 
1 4 4 
t t t 
d MN P d M P 
+ - - + - 
= = = 
+ + 
1 
6 12 6 
0 
t 
t 
t 
= é 
- + = Û ê = ë 
· ( ) ( ) 1 1 1 1 3;0;2 , 1; 4;0 t s M N = Þ = - Þ - - 
· ( ) ( ) 2 2 0 0 1;3;0 , 5;0; 5 t s M N = Þ = Þ - 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
7a  Giải phương trình: ( ) ( )  3 3 5 12 3 5 2 x x  x+ - + + =  1,00 
Chia hai vế của phương trình cho  2 0 x >  ta được : 
3 5 3 5 
12 8 
2 2 
x x 
æ ö æ ö - + 
+ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
(1) do 
3 5 3 5 
. 1 
2 2 
x x 
æ ö æ ö - + 
= ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
đặt 
3 5 3 5 1 
0& 
2 2 
x x 
t t 
t 
æ ö æ ö - + 
= Þ > = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
khi đó pt (1) trở 
thành  2 
2 12 
8 8 12 0 
6 
t 
t t t 
t t 
= é 
+ = Û - + = Û ê = ë 
( thoả mãn) 
· 
3 5 
2 
3 5 
2 2 log 2 
2 
x 
t x 
- 
æ ö - 
= Þ = Û = ç ÷ ç ÷ 
è ø 
· 
3 5 
2 
3 5 
6 6 log 6 
2 
x 
t x 
- 
æ ö - 
= Þ = Û = ç ÷ ç ÷ 
è ø 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
VIb  2,00 
1  Tìm điểm ( ) M d Π và điểm ( ) N C Π sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm ( ) 3;1 A  .  1,00 
Gọi ( ) ( ) 3 4; M a a d + Π mà  N đối xứng với  M qua ( ) ( ) 3;1 2 3 ;2 A N a a Þ - -  theo gt 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : 4 0 2 3 2 4 2 0 N C x y y a a a Î + - = Û - + - - - = 
( )  6 2 5 6 0 0 
5 
a a a a Û - = Û = Ú = 
· ( ) ( ) 1 1 0 4;0 , 2;2 a M N = Þ 
·  2 2 
6 38 6 8 4 
; , ; 
5 5 5 5 5 
a M N æ ö æ ö = Þ - ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2  ...điểm  M sao cho khoảng cách từ  M  đến đường  thẳng  chứa  AB  là nhỏ nhất .  1,00 
Ta  có ( ) 6; 4;4 AB = - 
uuur 
đường  thẳng D  có một  vtcp ( ) 3; 2;2 / / . u AB = - Þ D r  Gọi  H là  0,25
www.VNMATH.com
hình  chiếu  của  A  trên D .Gọi ( ) P  là  mặt  phẳng  qua ( ) 1;2; 1 A - 
và ( ) P ^ D ( ) : 3 2 2 3 0 P x y z Þ - + + =  .{ } ( ) H P = D Ç  nên  toạ  độ  điểm  H  là  nghiệm 
của hệ pt  : ( ) 
1 3 2 2 3 0 
2 1;2; 2 2 4 
2 3 2 2 
x x y z 
y H x y z 
z 
= - ì - + + = ì 
ï ï Û = Û - - - í í 
= = ï ï = - î î 
.Gọi  ' A đối xứng với  A  qua 
D ( ) '  3;2;5 A Þ -  ( do  H là trung điểm của  ' AA ) Ta có  ' , , , A A B D cùng nằm trong một 
mặt phẳng ( ) P  .Pt đường thẳng  ' A B  là  3 2 5 3 2 5 
7 3 2 2 3 5 5 2 1 
x y z x y z + - - + - - 
= = Û = = 
+ - - - - - 
Từ đó điểm  M cần tìm là giao điêm giữa  ' A B  và D Þ  toạ độ  M  là nghiệm hpt 
( ) 
3 2 5  2 
5 2 1  0 2;0;4 
2 4 
4 
3 2 2 
x y z  x 
y M 
x y z 
z 
+ - - ì = ì = = ï ï ï - - Û = Û í í - - ï ï = = = î ï - î 
. Đáp số ( ) 2;0; 4 M 
0,25 
0,25 
0,25 
7b 
Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2  1 log 1 log 1 log 2 
2 
x x x - = + + -  1,00 
Đ/k: 
2  2 1 1 0 
1 1 0; 2 0 
x x 
x x x 
¹ > ì - > ì 
Û í í < - + ¹ - ¹ î î 
. 
Khi đó phương trình ( ) ( ) 2 2 log 1 log 1 log 2 x x x Û - = + + - 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 1 log 1 2 1 1 2 x x x x x x é ù Û - = + - Û - = + - ë û 
( ) 
( )( ) 
( )( ) 
2 
2 
2  2 
1 1 2  2 1 0  1 2 
1 1 2 
1 2 1  1 2 1  3 
1 1 2  3 
x  x 
x x x  x x  x 
x x x 
x x  x x  x 
x x x  x 
é > é ì > ì ï
êí êí - = + - é - - = = + ï êî î ê Û - = + - Û Û Û ê ê ê < < Ú < - < < Ú < - ì ì = ± ê ï ë ê ê í íê ê - = + - + = ï î î ë ë 
Phương trình có 3 nghiệm .:  1 2, 3 x x = + = ± 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Lưu ý khi chấm bài: 
­ Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi 
chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. 
­ Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. 
­ Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được 
điểm. 
­ Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. 
­ Trong lời giải câu IV,  nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm. 
­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
www.VNMATH.com