Đề thi thử đại học lần 2 môn Toán –khối D

SỞ GD-ĐT HÀ NAM
TRƯỜNG THPT B PHỦ LÍ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – NĂM HỌC 2011-2012
Môn Toán –Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút
------------------------------------
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
C©u I (2,0 ®iÓm). 
 Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + m2 + m.
 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè ứng với m = 1. 
 2) Tìm tất cả giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng y = một góc 450.
C©u II: (2,0 ®iÓm). 
 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . 
 2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: .
C©u III: (1,0 ®iÓm). 
 TÝnh tÝch ph©n sau: I = .
C©u IV: (1,0 ®iÓm). 
 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Cho SA = a, 
AD = a, AB = a. Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích tứ diện ABIN theo a.
C©u V: (1,0 ®iÓm). 
 Cho c¸c sè thùc a, b, c thuéc ®o¹n [; 1]. Chøng minh r»ng: . 
PHẦN RIÊNG (3,0 ®iÓm) : ThÝ sinh ®­îc chän mét trong hai phÇn(phÇn A hoÆc B)
 A. Theo ch­¬ng tr×nh ChuÈn
 C©u VI.a (2,0 ®iÓm).
 1) Cho (P): y = x2 – 4x + 3. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn cã t©m n»m trªn trôc hoµnh vµ tiÕp xóc víi (P) t¹i M(4; 3).
 2) Cho 2 ®­êng th¼ng (d1):vµ (d2):. Gäi A lµ ®iÓm trªn (d1), B lµ ®iÓm trªn (d2), AB vu«ng gãc víi c¶ (d1) vµ (d2). ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®­êng kÝnh AB.
 C©u VII.a (1,0 ®iÓm).
 Trong các số phức z thoả mãn tìm số phức có mô đun nhỏ nhất?
 B. Theo ch­¬ng tr×nh N©ng cao
 C©u VI.b (2,0 ®iÓm).
 1) Cho hai ®­êng trßn (C1): (x +1)2 + (y – 1)2 = 8 vµ (C2): x2 + y2 - 6x – 4y = 0. Chøng minh r»ng hai ®­êng trßn c¾t nhau t¹i A vµ B, gäi A lµ ®iÓm cã hoµnh ®é d­¬ng. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A c¾t hai ®­êng trßn trªn theo hai d©y cung b»ng nhau.
 2) Cho hai ®iÓm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) vµ mÆt ph¼ng (P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0. T×m to¹ ®é cña ®iÓm C trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu.
 C©u VII.b (1,0 ®iÓm).
 Trong các số phức z thoả mãn: là số thuần ảo. Tìm số phức có mô đun lớn nhất?
--------- HÕt ---------
 Hä vµ tªn thÝ sinh:...............................................................; Sè b¸o danh:.......................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D
C©u
Néi dung bµi
§iÓm
I
Với m =1 ta có hàm số: y = x3 -3x2 + 2 
TX§: D = R.
Cbt: G/ h:. . 
+) LËp b¶ng biÕn thiªn: y’ = 3x2 – 6x, y’ = 0 víi x = 0 hoÆc x = 2.
 KÎ b¶ng xÐt dÊu kÕt luËn h/s ®ång biÕn trªn (- ∞; 0) vµ (2; +∞), nghÞch biÕn trªn (0; 2). Hµm sè cã cùc ®¹i t¹i ®iÓm x = 0 gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(0) = 2.
Hµm sè cã cùc tiªu t¹i ®iÓm x = 2 gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(2) = -2.
+) y” = 6x – 6, y” = 0 t¹i ®iÓm x = 1 vµ y” ®æi dÊu tõ ©m sang d­¬ng khi qua ®iÓm x = 1. §iÓm giao ®å thÞ víi trôc Ox lµ A(1; 0) vµ B(1 -; 0), C(1 +; 0). 
VÏ ®å thÞ. NhËn xÐt t©m ®èi xøng I(1; 0).
 0,25
0,25
0,25
0,25
2) Hàm số có cực đại và cực tiểu khi y’(x) = 3x2 – 6mx = 0 có 2 nghiệm phân biệt
m ≠ 0. Khi đó 2 điểm cực trị là M(0; m2 + m), N(2m; -4m3 + m2 + m).
 nên chọn vtcp của đt MN là ; vtcp d . Ycbt
 0,25
 0,25
0,25
0,25
II
1)Ta có : 
sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0 
 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0 
 sinx ( cosx + sinx + 2 ) = 0 
 sinx = 0 (1) hoặc cosx + sinx + 2 = 0 (2)
+ (1) 
+ (2) 
0,25
0,25
0,25
0,25
2) Hệ với 
Đặt: được 
u, v là nghiệm của phương trình: X2 – 3X + 2 = 0 
 Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3)
0,25
0,25
0,25
0,25
III
 .
§æi cËn : 
Khi ®ã .
§Æt 
Ta có : 
 0,25
0,25
0,25
0,25
IV
Ta có AD // BC nên 
do đó AI = AC = , MI = MB = 
Khi đó MI2 + AI2 = = AM2 ∆AMI vuông tại I hay ACBM 
Mặt khác SA(ABCD), BM (ABCD) SABM. Từ 2 điều kiện trên và SA× AC = A ta có BM(SAC), BM (SBM) (SBM)(SAC).
Vì N là trung điểm SC nên d(N; (ABCD) = SA/2 = a/ 2.
Vì AI/AC= 1/3 nên SABI = SABC/3 = a2/6
VABIN = 
 0,25
 0,25
 0,25
 0,25
V
Víi a, b, c th× a, b, c ≥ 1/2 a + b, b + c, c + a ≥ 1 do ®ã 
0 < 1 + c, 1 + b, 1 + a ≤ a + b + c 
 DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 1/2.
MÆt kh¸c 
 Céng hai vÕ cho ta kÕt qu¶.
DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 1.
 0,25
 0,25
 0,25 
 0,25
VI.a
1) Ta cã M (P)
§­êng trßn (C) tiÕp xóc víi (P) t¹i M cã t©m n»m trªn Ox §­êng trßn tiÕp xóc víi tiÕp tuyÕn cña (P) còng t¹i M cã t©m n»m trªn Ox.
(P): y = x2 – 4x + 3, y’(x) = 2x – 4, y’(4) = 4.
Pt tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i M lµ: (d): y – 3 = 4(x – 4) 4x – y – 13 = 0
§­êng th¼ng (Δ) chøa t©m cã pt: x – 4 + 4(y – 3) = 0 x – 4y – 16 = 0
§­êng th¼ng (Δ) c¾t trôc Ox t¹i I(16; 0).
B¸n kÝnh ®­êng trßn lµ R = IM = .
VËy ®­êng trßn cÇn t×m cã pt: (x – 16)2 + y2 = 153.
 0,25
 0,25
 0,25
 0,25
2) Ph­¬ng tr×nh tham sè (d1): x = t1, y =2 – t1, z = - 4 + 2t1
 (d2): x = - 8 + 2t2, y =6 + t2, z = 10 – t2
V× A(d1), B(d2) nªn A(t1, 2 – t1, - 4 + 2t1), B(- 8 + 2t2, 6 + t2, 10 – t2)
=(- 8 +2t2 – t1, 4 + t2 + t1, 14 – t2 – 2t1)
Mµ 6t1 + t2 = 16
 t1 + 6t2 = 26. Tõ ®ã suy ra t1 = 2, t2 = 4 nªn A(2, 0, 0), B(0, 10, 6).
T©m I cña mÆt cÇu lµ I(1, 5, 3). Pt mÆt cÇu: (x – 1)2 + (y – 5)2 + (z – 3)2 = 35.
 0,25
 0,25
 0,25
 0,25
VII.a
Gọi z=x+yi ta có 
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(0;9/8); bán kính R=3/8.
Đường thẳng OI có pt x=0 cắt đường tròn tại M(0;3/4); M’(0;3/2).
Min|z|=OM khi z=3/4.i
 0,5
0,25
 0,25
VI.b
1) Tõ gt ta cã I1(-1; 1), I2(3; 2)
 XÐt hÖ pt: 
. Tõ gt suy ra A(1; -1).
KÎ I1E, I2F vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng qua At cÇn t×m. Tõ gt suy ra A lµ trung ®iÓm EF. 
H×nh I1I2 FE lµ h×nh thang vu«ng t¹i E, F. KÎ AH At c¾t I1I2 t¹i H H lµ trung ®iÓm I1I2 H(1; 3/2).
 = (0; 5/2) mµ AH At Chän = 0; 1) lµ vtpt cña At. 
Do ®ã pt At lµ: y + 1 = 0.
 0,25
 0,25
 0,25
 0,25
2) XÐt ®iÓm C(x, y, z)(P) th× = (x, y, z + 3), = (2, 0, 2),
 = (x - 2, 7, z + 1).
Tam gi¸c ABC ®Òu x2 + y2 + (z + 3)2 = (x – 2)2 + y2 + (z + 1)2 = 8
 .
ThÕ z = - (x + 1) vµo pt (P) ta ®­îc y = -(x + 2)/2, 
ThÕ vµo (2) ta ®­îc pt: 3x2 – 3x – 4 = 0 .
Víi x = 2 y = - 2, z = - 3. Víi x = - 2/3 y = - 2/ 3, z = - 1/ 3Kl.
 0,25
 0,25
 0,25
 0,25
VII.b
Gọi z=x+yi ta có 
=(2-x)x-y(y-1)-[(2-x)(y-1)+xy]i là số thuần ảo khi 
(2-x)x-y(y-1)=0 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(1;1/2); bán kính R=.
Đường thẳng OI có pt y=1/2.x cắt đường tròn tại O(0;0); M(2;1).
Max|z|=OM khi z=2+i
0,5
 0,25
 0,25