Đề thi thử đại học khối A + B môn Toán

TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 – KHỐI A+B
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
 2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E 
 sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. 
Câu II:(2 điểm) 
 1. Giải hệ phương trình: 
 2. T×m tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: cotx – 1 = .
Câu III: (2 điểm)
 1. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x £ a).
 Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.
 a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
 b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt
 2. Tính tích phân: I = .
Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d­¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1.
Chứng minh rằng : 
 PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
A. Theo chương trình chuẩn
Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng vµ träng t©m thuéc ®­êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
 2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) 
 vµ ®­êng th¼ng : .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn sao cho:
Câu VIa : Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi
 d : .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, 
 cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
 Câu VIb: Giải hệ phương trình 
--------------- HẾT ---------------
 H­íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u 
 ý
 Néi Dung
§iÓm
 I
 2
 1
 Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm)
 1
y = x3 + 3x2 + mx + 1	(Cm)
1. m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 	(C3)
+ TXÑ: D = R
+ Giới hạn: 
0,25
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 ³ 0; "x
 hµm sè ®ång biÕn trªn R
0,25
Baûng bieán thieân:
0,25
 + y” = 6x + 6 = 6(x + 1)
 y” = 0 Û x = –1 tâm đối xứng U(-1;0)
* Ñoà thò (C3):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
0,25
 2
1
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø ñöôøng thaúng y = 1 laø: 
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 Û x(x2 + 3x + m) = 0 Û 
0,25
	* (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät:
Û Phöông trình (2) coù 2 nghieäm xD, xE ¹ 0.
Û(*)
0,25
Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø:
 kD=y’(xD)=
 kE=y’(xE)= 
Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: kDkE = –1
0,25
(3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1
 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
Û 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh lý Vi-ét). Û 4m2 – 9m + 1 = 0 Û 
 So s¸nhÑk (*): m = 
0,25
 II
 2
 1
 1
 1. §k:
(1) 
0,5
 Û x = 4y Thay vµo (2) cã 
0,25
 V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 
0,25
 2
 1
 ®K: 
 PT 
0,25
0,25
0,25
 tanx = 1 (tm®k)
 Do 
0,25
 III
 2
 1
 1
Do 
Lai cã 
 0,25
Ta cã
O,5
 Tõ biÓu thøc trªn ta cã: 
 M trïng víi D
 0,25
 2
 1
I = 
 0,25
TÝnh I1
®Æt 
0,25
TÝnh I2
0,25
 VËy I= 
0,25
 IV
 1
 1
 .Ta cã :VT =	
 0,25
0,25
 0,25
Tõ ®ã tacã VT
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3
0,25
 V.a
 2
 1
 1
Ta cã: AB = , trung ®iÓm M ( ), 
pt (AB): x – y – 5 = 0
 0,25
 S= d(C, AB).AB = d(C, AB)= 
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= 
 0,25
 d(G, AB)= =t = 1 hoÆc t = 2
G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
 0,25
Mµ C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1)
0,25
 2
1
0,5
Ta cã: 
0,25
 Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4) 
0,25
VI.a
1
1
Bpt 
0,25
 BPTTT : 
 (tm)
0,25
Khi ®ã : 
0,25
0,25
V.b
 2
VIb
 1
 1
. (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Î Oy Þ M(0;m)
 Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
 Vậy Vì MI là phân giác của 
 (1) Û = 300 Û MI = 2R Û
 (2) Û = 600 Û MI = R Û Vô nghiệm
 Vậy có hai điểm M1(0;) và M2(0;-)
0,5
0,5
 2
 1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d.
d có phương trình tham số là: 
Vì H Î d nên tọa độ H (1 + 2t ; - 1 + t ; - t).Suy ra := (2t - 1 ; - 2 + t ; - t)
0,25
Vì MH ^ d và d có một vectơ chỉ phương là = (2 ; 1 ; -1), nên :
2.(2t – 1) + 1.(- 2 + t) + (- 1).(-t) = 0 Û t = . Vì thế, = 
0,25
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: 
0,25
Theo trªn cã mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’
0,25
ĐK: x>0 , y>0 
 (1) Û 
0,5
 Ûlog3xy = 1 Û xy = 3Ûy= 
(2)Û log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) Û x2+ 2y2 = 9
0,25
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( ;) hoặc (; )
0,25
A
M
D
 S
H
B
C