Đề thi thử đại học, cao đẳng năm 2010 môn Toán học

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010. 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Cõu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . 
 Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Cõu II (2 điểm) :
1. Giải hệ phương trỡnh: 
 2.Giải phương trỡnh: .
Cõu III: Tớnh diện tớch của miền phẳng giới hạn bởi cỏc đường và .
Cõu IV (1 điểm) Cho hỡnh chúp cụt tam giỏc đều ngoại tiếp một hỡnh cầu bỏn kớnh r cho trước. Tớnh thể tớch hỡnh chúp cụt biết rằng cạnh đỏy lớn gấp đụi cạnh đỏy nhỏ.
Cõu V (1 điểm) Cho phương trỡnh 
Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất.
PHẦN RIấNG (3 điểm): Thớ sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trỡnh chuẩn.
Cõu VI.a (2 điểm)
	1. ChoABC cú đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: và phõn giỏc trong CD: 	. 	Viết phương trỡnh đường thẳng BC.
	2. Cho đường thẳng (D) cú phương trỡnh: 	.Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn (D). Trong cỏc mặt phẳng qua , hóy viết phương trỡnh của mặt phẳng cú khoảng cỏch đến (D) là lớn nhất.
Cõu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
2. Theo chương trỡnh nõng cao.
Cõu VI.b (2 điểm) 	
1. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chộo nằm trờn đường thẳng y = x. Tỡm tọa độ đỉnh C và D.
2. Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng cú phương trỡnh tham số .Một điểm M thay đổi trờn đường thẳng , tỡm điểm M để chu vi tam giỏc MAB đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giỏc. Chứng minh
----------------------Hết----------------------
Kỳ thi thử đại học- cao đẳng 
năm 2010 
Hướng dẫn chấm môn toán
Câu
Nội dung
Điểm
I.1
Khảo sát hàm số y=
1,00
1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1;+∞)
. Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
. Tiệm cận: 
Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng
Vậy đường thẳng y= 2 là tiệm cận ngang 
0,25
 * Bảng biến thiên:
x
-∞
 1
+∞
y'
-
-
y
2
 -∞
 +∞
 2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
I.2
Với M bất kì ẻ (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
1,00
Gọi Mẻ(C)	
* Tiếp tuyến tại M có dạng: 
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A
 B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)
 * Ta có: SDIAB=. IA. IB= (đvdt)
0,25
 0,25
* DIAB vuông có diện tích không đổi => chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự chứng minh). 
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
 M1()
 M2()
Khi đó chu vi DAIB = 
0,5
Cõu
í
Nội dung
Điểm
II
2,00
1
1,00
CõuII:2. Giải phương trỡnh: 
.
0,50
1
1,00
Điều kiện: 
Đặt ; khụng thỏa hệ nờn xột ta cú . 
Hệ phương trỡnh đó cho cú dạng:
0,25
 hoặc 
+ (I)
+ (II)
0,25
Giải hệ (I), (II).
0,25
Sau đú hợp cỏc kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trỡnh ban đầu là 
0,25
Sau đú hợp cỏc kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trỡnh ban đầu là 
1,00
III
0,25
Diện tớch miền phẳng giới hạn bởi: và 
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C) và (d):
Suy ra diện tớch cần tớnh:
0,25
Tớnh: 
Vỡ nờn 
0,25
Tớnh 
Vỡ và nờn .
0,25
Vậy 
1,00
IV
0,25
Gọi H, H’ là tõm của cỏc tam giỏc đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta cú:
Suy ra hỡnh cầu nội tiếp hỡnh chúp cụt này tiếp xỳc với hai đỏy tại H, H’ và tiếp xỳc với mặt bờn (ABB’A’) tại điểm .
0,25
Gọi x là cạnh đỏy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đỏy lớn. Ta cú:
Tam giỏc IOI’ vuụng ở O nờn: 
0,25
Thể tớch hỡnh chúp cụt tớnh bởi: 
Trong đú: 
0,25
Từ đú, ta cú: 
0,25
VIa
2,00
1
1,00
Điểm . 
Suy ra trung điểm M của AC là . 
0,25
Điểm 
0,25
0,25
Từ A(1;2), kẻ tại I (điểm ).
 Suy ra . 
Tọa độ điểm I thỏa hệ: . 
Tam giỏc ACK cõn tại C nờn I là trung điểm của AK tọa độ của .
Đường thẳng BC đi qua C, K nờn cú phương trỡnh: 
2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thỡ hoặc . Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P). Ta luụn cú và . 
Mặt khỏc 
Trong mặt phẳng , ; do đú . Lỳc này (P) ở vị trớ (P0) vuụng gúc với IA tại A.
Vectơ phỏp tuyến của (P0) là , cựng phương với .
Phương trỡnh của mặt phẳng (P0) là: .
VIIa
Để ý rằng ; 
và tương tự ta cũng cú 
0,25
Vỡ vậy ta cú:
vv
1,00
Ta cú: . Phương trỡnh của AB là: .
. I là trung điểm của AC và BD nờn ta cú: . 
0,25
Mặt khỏc: (CH: chiều cao) . 
0,25
Ngoài ra: 
Vậy tọa độ của C và D là hoặc 
0,50
2
1,00
Gọi P là chu vi của tam giỏc MAB thỡ P = AB + AM + BM.
Vỡ AB khụng đổi nờn P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng cú phương trỡnh tham số: .
Điểm nờn .
0,25
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xột hai vectơ và .
Ta cú 
Suy ra và 
Mặt khỏc, với hai vectơ ta luụn cú 
Như vậy 
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cựng hướng 
 và .
0,25
Vậy khi M(1;0;2) thỡ minP = 
0,25
VIIb
1,00
Vỡ a, b, c là ba cạnh tam giỏc nờn:. 
Đặt .
Vế trỏi viết lại:
0,50
Ta cú: .
Tương tự: 
Do đú: .
Tức là: 
0,50
V.Phương trỡnh (1)
Điều kiện : 
Nếu thỏa món (1) thỡ 1 – x cũng thỏa món (1) nờn để (1) cú nghiệm duy nhất thỡ cần cú điều kiện . Thay vào (1) ta được:
* Với m = 0; (1) trở thành:
Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất.
* Với m = -1; (1) trở thành
	+ Với 
	+ Với 
Trường hợp này, (1) cũng cú nghiệm duy nhất.
* Với m = 1 thỡ (1) trở thành: 
Ta thấy phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm nờn trong trường hợp này (1) khụng cú nghiệm duy nhất.
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1.