Đề thi mẫu môn Toán thi tốt nghiệp THPT

ĐỀ THI MẪU MÔN TOÁN 
THI TỐT NGHIỆP THPT 2009 
(Thời gian làm bài: 150 phút) 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (3,0 điểm). 
Cho hàm số 3 2
1
xy
x
−= − . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2y mx= + cắt đồ thị của 
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 
Câu II (3,0 điểm). 
1. Giải bất phương trình 1
2
2 1log 0
1
x
x
− <+ . 
2. Tính tích phân 
2
0
(sin cos 2 ) .
2
xI x dx
π
= +∫ 
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2( ) xf x x e= − trên đoạn [-
1;0]. 
Câu III (1,0 điểm). 
Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. 
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó 
(phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu IV.a (2,0 điểm). 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) 
có phương trình: x+2y+z-1 = 0. 
1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên (P). 
2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P). 
 Câu V.a (1,0 điểm). 
 Tìm môđun của số phức z = 4-3i+(1-i)3. 
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu IV.b (2,0 điểm): 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;2;3) và đường thẳng 
d có phương trình: 2 1 .
1 2 1
x y z− −= = 
1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d. 
2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. 
Câu V.b (1,0 điểm). 
 Viết dạng lượng giác của số phức 1 3z i= − . 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
Câu Đáp án Điểm 
I (3,0 điểm) 1. (2,0 điểm) 
Tập xác định: \{1}.D =  0,25 
Sự biến thiên: 
• Chiều biến thiên: ' 21 0 .( 1)y x Dx= − < ∀ ∈− 
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ;1)−∞ và . (1; )+∞
• Cực trị: hàm số không có cực trị. 
0,50 
• Giới hạn: − lim lim 2;
x x
y y→−∞ →+∞= = 1limx y+→ = +∞ và 1limx y−→ = −∞ . 
Suy ra, đồ thị của hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x=1, và 
một tiệm cận ngang là đường thẳng y = -2. 
0,50 
• Bảng biến thiên: 
0,25 
Đồ thị: 
• Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; -3) và cắt trục hoành tại điểm 
3 ;0
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
• Đồ thị nhận điểm I(1;-2) (là giao điểm của hai đường tiệm cận) làm 
tâm đối xứng. 
0,50 
2. (1,0 điểm) 
Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt 2y mx= +
⇔ Phương trình (ẩn x) 3 2 2
1
x mx
x
− = +− có hai nghiệm phân biệt 
⇔ Phương trình (ẩn x) 2 ( 4) 5mx m x 0− − − = có hai nghiệm phân biệt, 
khác 1. 
0,50 
x   +∞1−∞  
−   −  'y
y 2−
−∞
+∞
1,5
2−
y
I 
‐3
‐2
10
x
22
0
( 4) 20
.1 ( 4).1 5 0
m
m m
m m
≠⎧⎪⇔ Δ = − + >⎨⎪ − − − ≠⎩
0 
2
0
12 16 0
6 2 5 6 2 5 0 0
m
m m
m hay m hay m
≠⎧⇔ ⎨ + + >⎩
⇔ 
0,50 
II (3,0 điểm) 1. (1,0 điểm) 
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: 2 1 1
1
x
x
− >+ 
0,50 
2 0
1 0 12 0
21 2 0
1 0
x
x xx
xx x
x
⎡ − >⎧⎨⎢ + > ⇔ ⇔ ⎢⎢ >+ − <⎧ ⎣⎢⎨ + <⎢⎩⎣
0,50 
2. (1,0 điểm) 
2 2
0 0
sin cos 2
2
xI dx xdx
π π
= +∫ ∫ 
0,25 
2
0
2
2
xcox
π
= − + 
2
0
1 sin 2
2
x
π
0,50 
2 2= − . 0,25 
3. (1,0 điểm) 
Ta có: ' 2( ) 1 2 .xf x e= − 0,25 
Do đó: ' ( ) 0 ln 2 ( 1;0);f x x= ⇔ = − ∈ − 
 ' ( ) 0 [ 1; ln 2);f x x> ∀ ∈ − − 
0,25 
 ' ( ) 0 ( ln 2;0].f x x< ∀ ∈ − 
Suy ra: 
[ 1;0]
1max ( ) ( ln 2) ln 2 ;
2x
f x f
∈ −
= − = − − 
[ 1;0]
min ( ) min{ ( 1); (0)}
x
f x f f∈ − = −
 2 2min{ 1 ; 1} 1 .e e− −= − − − = − − 
0,50 
III (1,0 
điểm) 
Do S.ABCD là khối chóp đều và AB = a nên đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và gọi I là trung điểm của 
cạnh BC. Ta có SO là đường cao và là góc giữa mặt bên và mặt 
đáy của khối chóp đã cho. 
SIO
0,50 
Trong tam giác vuông SOI, ta có: 
  3.tan .tan 60 .
2 2
a aSO OI SIO= = =o 
Diện tích đáy: 2ABCDS a= . 
0,25 
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là: 
3
2
.
1 1 3. .
3 3 2S ABCD ABCD
a aV S SO a= = =
S
3 .
6
0,25 
IV.a (2,0 
điểm) 
1. (1,0 điểm) 
Ký hiệu d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Gọi H là giao 
điểm của d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). 
0,25 
O
I
D
A B
C
Do là một vectơ pháp tuyến của (P) nên v(1;2;1)v =r r là một vectơ chỉ 
phương của d. Suy ra, d có phương trình: 1 4 2 .
1 2 1
x y z− − −= = 
0,25 
Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: 
1 4
1 2 1
2 1 0
x y z
x y z
− − −⎧ = =⎪⎨⎪ + + − =⎩
2
.
Giải hệ trên, ta được: 2 2, ,
3 3
x y z 1 .
3
= − = = 
Vậy: 2 2 1; ; .
3 3 3
H ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,50 
2. (1,0 điểm). Có thể giải theo một trong hai cách. 
• Cách 1 (Dựa vào kết quả phần 1): 
Ký hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có: 
2 2 22 2 1 51 4 2
3 3 3
R AH ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 .
3
0,50 
Do đó, mặt cầu có phương trình là: 
 ( )2 2 2 501 ( 4) ( 2)
3
x y z− + − + − = 
Hay: 2 2 23 3 3 6 24 12 13 0.x y z x y z+ + − − − + =
0,50 
• Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1): 
Ký hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có 
R bằng khoảng cách từ A đến (P). Suy ra: 
2 2 2
1.1 2.4 1.2 1 5 6 .
31 2 1
R
+ + −= =+ + 
0,50 
Do đó, mặt cầu có phương trình là: 
0,50 
 2 2 2 50( 1) ( 4) ( 2)
3
x y z− + − + − = 
Hay: 2 2 23 3 3 6 24 12 13 0.x y z x y z+ + − − − + =
V.a (1,0 
điểm) 
Ta có: 4 3 (1 3 3 ) 2 5 .z i i i= − + − − + = − i 0,50 
Do đó: 4 25 29.z = + = 0,50 
IV.b (2,0 
điểm) 
1. (1,0 điểm) 
Ký hiệu (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là giao 
điểm của (P) và d, ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên d. 
0,25 
Do là một vectơ chỉ phương của d nên (1;2;1)v =r vr là một vec tơ pháp 
tuyến của (P). Suy ra, (P) là phương trình: x+2y+z-6=0. 
0,25 
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: 
2 1
1 2
2 6
1
0.
x y z
x y z
− −⎧ = =⎪⎨⎪ + + − =⎩
Giải hệ trên, ta được: 7 5, ,
3 3
x y z 1 .
3
= = = 
Vậy 7 5 1; ; .
3 3 3
H ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,50 
2. (1,0 điểm). Có thể giải theo một trong hai cách. 
• Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1): 
Ký hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta 
có: 
2 2 27 5 1 1651 2 3
3 3 3
R AH ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .3 
0,50 
Do đó, mặt cầu có phương trình là : 
 2 2 2 55( 1) ( 2) ( 3)
3
x y z+ + − + − = 
Hay: 2 2 23 3 3 6 12 18 13 0.x y z x y z+ + + − − − =
0,50 
• Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1): 
Ký hiệu R là bán kính của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. 
Ta có R bằng khoảng cách từ A đến d. Suy ra: 
2 2 2
2 2 2
1 3 3 3 3 1
2 1 1 1 1 2 165 .
31 2 1
R
− −+ +
= =+ + 
0,50 
Do đó, mặt cầu có phương trình là: 
 2 2 2 55( 1) ( 2) ( 3)
3
x y z+ + − + − = 
Hay: 2 2 23 3 3 6 12 18 13 0.x y z x y z+ + + − − − =
0,50 
V.b (1,0 
điểm) Ta có: 
1 32
2 2
z i
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0,50 
 2 cos sin .
3 3
iπ π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 
0,50 
Nguồn: Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục (Bộ GD-ĐT). 
Hướng dẫn: Trung tâm Luyện thi Vĩnh Viễn.