Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2012 - Tỉnh Vĩnh Phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH VĨNH PHÚC 
MÔN: TOÁN 
NĂM HỌC: 2011 – 2012 
Câu 1.(2 đ) 
Giải hệ pt: 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
2 4
2 4
2 3
x y z
z y x
x z y
         
Câu 2.(2,5 đ) 
1. Tìm pt của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số 
2 2( 1)y x  tại đúng hai điểm phân biệt. 
2. Tìm tất cả các giá trị đúng của tham số m sao cho pt sau có nghiệm thực: 
 sin 2 ( 2). sin (2 ) s 2 0x m x m co x m      . 
Câu 3. (3 đ) 
1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B với 
AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Gọi M là trung điểm của cạnh C’A’, I là giao 
điểm của các đường thẳng AM và A’C. Tính thể tích của khối tứ diện IABC 
và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC). 
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC và đường 
thẳng : 3 1 0x y    . Giả sử D(4;2), E(1;1), N(3;3) theo thứ tự là chân 
đường cao kẻ từ A,B và trung điểm cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của 
tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường 
thẳng  và điểm M có hoành độ lớn hơn 2. 
Câu 4. (1,5 đ) 
Cho các số thực a,b,c với a < 3 và đa thức: 3 2( )f x x ax bx c    có ba 
nghiệm âm phân biệt . CMR: b + c < 4. 
Câu 5.(1 đ) 
Tìm số các cặp sắp thứ tự (A;B) hai tập con của tập hợp S={1,2,3,,2011} sao 
cho số phần tử của tập hợp A B là chẵn. 
www.VNMATH.com