Bất phương trình logarit mũ và hệ bất phương trình logarit - mũ

 121 
VẤN ĐỀ 6 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT-
MŨ VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
LOGARIT-MŨ 
 122 
Vấn đề 6 
Bất phương trình Logarit-Mũ và hệ 
bất phương trình Logarit-Mũ 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
I. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên một tập con D 
của R, khi đó : 
a) Nếu a > 1 thì bất phương trình logaf(x) > logag(x) 
(1) tương đương với hệ bất phương trình 
( )
( ) ( )
( )
0g x
f x g x
x D
>⎧⎪ >⎨⎪ ∈⎩
b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với hệ bất 
phương trình : 
( )
( ) ( )
( )
0f x
f x g x
x D
>⎧⎪ <⎨⎪ ∈⎩
II. Giả sữ f(x) , g(x) và α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con 
D của R .Khi đó bất phương trình logα(x)f(x) > logα(x)g(x) tương 
đương với 2 hệ bất phương trình : 
( )
( )
( ) ( )
( )
1
0
x
g x
f x g x
x D
α >⎧⎪ >⎪⎨ >⎪⎪ ∈⎩
 hay 
( )
( )
( ) ( )
( )
0 1
0
x
f x
f x g x
x D
α⎪⎨ <⎪⎪ ∈⎩
 123 
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI . 
Bài 1 
Giải bất phương trình sau : ( ) ( )33log3log xxx ≤ 
Giải 
Điều kiện x > 0 và x ≠ 1 
Bpt ⇔ ( )
( )[ ]⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤
≥
⎩⎨
⎧
≥
<
(2) 
)3(log3log
03log
(1) 
03xlog
0log3x
22
3
xx
x
xx
x
Giải (1) ⇔ ( )⎩⎨
⎧
≥
<
1log3log
1log3log
3
x
xx
x
x
 ⇔ ( )( )( )( )⎩⎨
⎧
<−−
<−−
0131
0131
3xx
xx ⇔ x > 3
3
1
 (a) 
Giải (2) ⇔ ( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≤+
>−−
>
(*) 33log13log
0231
0
2
xx
xx
x
(*) ⇔ 023log3log2 ≤−+ xx ⇔ -2 ≤ logx ≤ 1 
(2) ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤−
>∨<<
13log2
1
3
10
x
xx
⇔ ( )
( )⎢⎢
⎢
⎣
⎡
≥
≤<⇔
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
>
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥≥
<<
⇔
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
≤≤−
>
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤−
<<
c 3
b 
3
10
31
1
31
3
1x0
13log2
1
13log2
3
10
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x 
Hợp (a) và (b) và (c) ta có x > 0 
Bài 2 
 124 
Giải bất phương trình sau : log2(1 + 
9
1log x – log9x) < 1 
Giải 
Điều kiện : x > 0 
⇔ 1 – log9x – log9x 0) ⇔ 1 – 2log9x < 1 
⇔ log9x > 2
1− ⇔ log 9x > 2
1− log33 ⇔ x > 3
1
Bài 3 
Giải bất phương trình sau : 233 5lg2lg
2 −< ++ xx (1) 
Giải 
Điều kiện : x > 0 
(1) ⇔ 3lgx.9 0) 
đặt t = 3lgx 
bpt ⇔ 9t 0 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−<
>
27
2
9
1
t
t
• Với t > 
9
1
 : 
3lgx > 
9
1
 ⇔ ⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 2lg
3
1
3
1 x
 -lgx -2 = -2lg10 
⇔ x > 10-2 ⇔ x > 
100
1
• Với t < 
27
2− : 
3lgx < 
27
2− : bất phương trình vô nghiệm 
KL : nghiệm cuả bất phương trình là : x > 
100
1
 125 
Bài 5 
 Giải bất phương trình : log7x > log3(2 + x ) (**) 
Giải 
Điều kiện x > 0 , đặt log7x = t ⇔ x = 7t 
Bất phương trình (**) 
⇔ t > log3(2 + t7 ) ⇔ 3t > 2 + t7 ⇔ 1 > 2.
t
3
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
t
3
7
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
= f(t) 
Do f(t) là hàm nghịch biến trên R , f(2) = 1 
nên bất phương trình (**) ⇔ f(t) 2 ⇔log7x > 2 
⇔ x > 72 = 49 . 
Bài 6 
Giải bất phương trình : 
24
x233
x
x2
−
−+−
 ≥ 0 (*) 
(Đại học luật 1996) 
Giải 
Xét f(x) = 32-x - 2x + 3 nghịch biến trên R , f(2) = 0 , g(x) = 4x – 2 đồng 
biến trên R , g ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
1
= 0 
Bất phương trình (*) ⇔ 
)x(g
)x(f
 ≥ 0 
⇔ 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=<
=≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=>
=≥
2
1g0)x(g
)2(f0)x(f
2
1g0)x(g
)2(f0)x(f
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤
2
1x
2x
2
1x
2x
⇔ 
2
1
< x ≤ 2 
Vậy bất phương trình có nghệm là 
2
1
< x ≤ 2 
 126 
Bài 7 
Với giá trị nào của m thì : y = ( )[ ]mmx2x1mlog 222 −−+ có tập nghiệm xác 
định là R. 
Giải 
Yêu cầu đầu bài cho ta (m + 1)x2 – 2mx – m > 0 (*) , ∀x ∈ R 
• m = -1 : 0.x2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x > -
2
1 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞− ,
2
1 ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R. 
• m ≠ -1 (*) ⇔ 
⎩⎨
⎧
>+
<∆
01m
0'
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ −>
<++
1m
01mm2 ⇔ 
⎩⎨
⎧
−>
∅∈
1m
m
⇔ m ∈ ∅ 
Kết luận : m ∈ ∅ 
Bài 8 
Giải bất phương trình : ( )8exxe8x 1x21x4 −>− −− 
(Đại Học Xây Dựng 2001) 
Giải ( )8exxe8x 1x21x4 −>− −− ⇔ x(x3 + 8) – ex-1(x3 + 8) > 0 
⇔ (x3 + 8) (x – ex-1) > 0 (*) 
 Xét hàm số : f(x) = x – ex-1 
 f’(x) = 1 – ex-1 = 0 ⇔ x = 1 
Bảng biến thiên : 
 x -∞ 1 +∞ 
 f’(x) + 0 - 
 f(x) 0 
 -∞ +∞ 
Bảng biến thiên cho : 
f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) 
Dể thấy x = 1 không thỏa (*) 
Vậy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 . Khi đó : (*) ⇔ x3 + 8 < 0 ⇔ x < -2 
 127 
Bài 9 
Tìm m sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi x 
logm (x2 – 2x + m + 1) > 0 
(Đại học Đà Nẳng ) 
Giải 
Ta có : Logm (x2 – 2x + m + 1) > 0 
⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
<++−
>
⎩⎨
⎧
<++−
<<
11mx2x
1m
11mx2x
1m0
2
2
 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
>+−
>
⎩⎨
⎧
<+−
<<
)2(
0mx2x
1m
)1(
0mx2x
1m0
2
2
Xét (1) : ta thấy x2 –2x +m < 0 không thể xảy ra vơi mọi x 
Xét (2) :x2 – 2x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R 
⇔ '∆ 1 
Vậy: m > 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. 
Bài 10 
Tìm tất cả các giá trị của x thoả x > 1 nghiệm đúng bất phương trình 
sau : 22( )log ( 1) 1x x
m
x m+ + − < với mọi giá trị của m : 0 < m ≤ 4 
(Đại học Giao thông vận tải ) 
Giải 
Vì x > 1 ⇒ 2(x2 + x) > 4 ; cùng với 0 < m ≤ 4 
 ⇒ 
m
)xx(2 2 +
 > 1 và x + m – 1 > 0. 
 Bất phương trình đã cho được viết thành : 
 128 
x+ m –1 < 
m
)xx(2 2 ++
⇔ 2x2 + (2 – m) x – m2 + m > 0 ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > 0 
⇔ x > m – 1 ( vì 2x + m > 0) 
Vì x > 1 và 0 3 
Bài 10 
Giải bất phương trình : 2x + 23-x ≤ 9 
 (Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A 
năm1998 – 1999) 
Giải 
Đặt t = 2x với t > 0 ta được : t2 – 9t + 8 = 0 
Tam thức bậc hai theo t ấy có 2 nghiệm là 1 và 8 .Tam thức ấy âm khi 
và chỉ khi 1 ≤ t ≤ 8 
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ 3 
Bài 11 
a) Giải bất phương trình 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1) 
b) Định m để mọi nghiệm của bất phương trình (1) cũng là nghiệm 
của bất phương trình : 
 (m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 
 (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999) 
Giải 
a) Ta có : 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.22x = 9.2x + 4 ≤ 0 
Đặt t = 2x > 0 , ta sẽ có : (1) ⇔ 2t2 – 9t + 4 ≤ 0 
Nghiệm của tam thức theo t là 
2
1
 và 4. 
Tam thức âm hoặc bằng 0 khi : 
2
1
 ≤ t ≤ 4 
Do đó ta có : 
2
1
 ≤ 2x ≤ 4 hay 2-1 ≤ 2x ≤ 22 
Đáp số : –1 ≤ x ≤ 2 
b) (m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (2) 
 129 
 ⇔ (m2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0 
Đặt f(x) = (m2 + m + 1)x + 3m + 1 
Mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) khi và chỉ khi f(x) > 0, 
 ∀x ∈ [-1 , 2] 
⇔ ( )( )⎩⎨
⎧
>
>−
02
01
f
f
 ⇔ 0 < m < 2 
Đáp số : 0 < m < 2 
Bài 12 
Giải bất phương trình : 
3
1
6
5
log 3 −≥−x
x
x 
 (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối A năm 1998 – 1999) 
Giải 
Ta phải có điều kiện x > 0 và x ≠ 1 
3
1
6
5
log 3 −≥−x
x
x = xx
1log 3 (1) 
Trường hợp 0 < x < 1 
(1) ⇔ 
xx
x 1
6
5 ≤− ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ 6 ⇔ x ≥ -1 ⇔ 0 < x < 1 (vì 0 < x ≠ 1) 
Trường hợp x > 1 
(1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔ ⎢⎣
⎡
≥
−≤
11
1
x
x
Do đó ta có 0 < x < 1 hay x ≥ 11 
Bài 13 
Tìm tham số a sao cho 2 bất phương trình sau đây tương đương : ( )
( )⎩⎨
⎧
>+−+
>+−−
021
031
axa
axa
 (Cao đẳng Hải quan năm 1998) 
Giải 
Xét a = -1. 
Hai bất phương trình đã cho sẽ có dạng –2x > -4 ; Ox > -3 . 
Hai bất phương trình ấy không tương đương 
 130 
Xét a > 1 : Nghiệm của bất phương trình thứ nhất là x > 
1
3
−
−
a
a
 và 
nghiệm của bất phương tình thứ hai là x > 
1
2
+
−
a
a
Muốn cho 2 bất phương trình đó tương đương thì phải có : 
1
2
1
3
+
−=−
−
a
a
a
a
 ⇒ a = 5 
Bằng cách tương tự khi a < -1 hay –1 < a < 1 ta có hai phương trình 
không tương đương . 
Kết luận : Hai bất phương trình tương đương khi a = 5 
Bài 14 
Giải bất phương trình : log2x + log3x < 1 + log2x.log3x 
 (Đại học ngoại thương , khối A năm 1998 – CSII) 
Giải 
Bất phương trình tương đương với : 
log2x(1 – log3x) – (1 - log3x) 0) 
⇔ (1 - log3x)(log2x – 1) < 0 
Có thể xảy ra 2 trường hợp : 
• 
⎩⎨
⎧
<−
>−
01log
0log1
2
3
x
x
 ⇔ 0 < x < 2 
• 
⎩⎨
⎧
>−
<−
01log
0log1
2
3
x
x
 ⇔ x > 3 
Vậy nghiệm của bất phương trình là : ⎢⎣
⎡
>
<<
3
20
x
x
 131 
Bài 15 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau đây 
được thoả mãn với mọi x ≤ 0 ; x ≥ 1 
m.
2xx4 − + (m+1).
2xx10 − - 
2xx125 −+ > 0 
Giải 
Ta có : m.
2xx4 − + (m+1).
2xx10 − - 
2xx125 −+ > 0 
⇔ m + (m + 1).
2xx
2
5 −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ - 25 
2
xx 2
2
5
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − > 0 
Đặt : y = 
2xx
2
5 −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ > 0 
Khi x ≥ 1 , x ≤ 0 , ta có : x – x2 ≤ 0 . Vậy 0 < y ≤ 1 . 
Ta đưa về bài toán : Tìm m để bất phương trình 
f(y) = 25y2 - (m + 1) y – m < 0 thoả mãn với mọi y sao cho 0 < y ≤ 1 
⇔ f(y) có 2 nghiệm y1 ; y2 thoả y1 ≤ 0 < 1 < y2 
⇔ ⎩⎨
⎧
<
≤
0)1(f
0)0(f
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<+−
≤−
024m2
0m
 ⇔ m > 12 
 132 
Bài 16 
1. Giải bất phương trình : 
02)5x(log4)5x(log6)5x(log3)5x(log 25
25
155
2
5
1 ≤+−−−+−+−
 2. Với giá trị nào của m thì bất phương trình trên và bất phương trình 
 sau: (x – m)(x – 35) ≥ 0 chỉ có một nghiệm chung duy nhất . 
Giải 
1/ 02)5x(log4)5x(log6)5x(log3)5x(log 25
25
155
2
5
1 ≤+−−−+−+− (1) 
⇔ 
02)5x(log2)5x(log3)5x(log2)5x(log 555
2
5 ≤+−−−−−+− 
Đặt y = log5(x – 5) . 
(1) ⇔ y2 – 3y + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 2 
Vậy 1 ≤ log5(x – 5) ≤ 2 ⇔ 5 ≤ x – 5 ≤ 25 ⇔ 10 ≤ x ≤ 30 
2/ (x – m)(x – 35) ≥ 0 (1) 
 • Trường hợp 1 : khi m ≥ 35 
(1) ⇔ ⎢⎣
⎡
≤
≥
35x
mx
 (không thoả) 
 • Trường hợp 2 : khi m < 35 
(1) ⇔ ⎢⎣
⎡
≥
≤
35x
mx
(1) có nghiệm duy nhất trong [ ]30;10 ⇔ m = 10 
 133 
Bài 17 
Giải bất phương trình : 
log2 ( ) 0xlog21x3x 222 ≤+−−+ 
Giải 
log2 ( ) 0xlog21x3x 222 ≤+−−+ 
Điều kiện của nghiệm: ⎪⎩
⎪⎨⎧ >
>−−+
0x
01x3x 22 ⇔ 0 < x < 1 
Khi đó : log2x < 0 và )1x(3x 22 +−+ < 1 
⇒ log2 ( )1x3x 22 −−+ < 0 
Vậy vế trái bất phương trình luôn âm với 0 < x < 1 
Nghiệm của bất phương trình là : 0 < x <1 
Bài 18 
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình : 
0)m2mxx(log)m4m2xx2(log 22
2
1
22
2 =−++−+− (1) 
có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và thoả : 1xx 22
2
1 >+ 
Giải 
 (1) ⇔ Log2(2x2 – x + 2m – 4m2) = log2(x2 + mx – 2m2) 
⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ >−+
−+=−+−
0m2mxx
m2mxxm4m2xx2
22
2222
⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ >−+
=−++−
0x2mxx
0)m1(m2x)1m(x
22
2
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−+
⎢⎣
⎡
−=
=
0m2mxx
m1x
m2x
22
Điều kiện của bài toán : 
 134 
⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
 ...  2x 3(1/ 2) 1;
+
+ > 
7) log log (x 0,7)5 0,3(1/ 2) 1;− < 8) 2log1/ 4(x 5x 8)(2 / 5) 5 / 2;+ + ≤ 
9) 21/ 3 4log log (x 5) 0;− > 10) 
2
0,5 6
x xlog log 0;
x 4
+ ≤+ 
11) 0,5 2
xlog log 0;
x 1
>+ 12) 
2
8 / 3 1/ 2log log (x x 6) 0;− − ≥ 
13) 
x
x
4 2
5 3log (5 3 ).log 1;
8
−− ≥ − 14) x x 13 3log (3 1).log (3 3) 6;+− − < 
15) 
x
x
4 1/ 4
3 1log (3 1).log 3 / 4;
16
−− ≤ 16) x2 2 x
2 2log (5 1).log 2;
5 1
− >− 
17) 1/ 2 2 x 1log log log 9 0;− > 18) 3 0,2 32 x 1log log log 0;x 5
− ≤+ 
19) 3log (x 1) log (x 1)(2x 1)x x 3 3(4.3 3 ) 1;− − − +−+ > 
24. 
1) 3 3log (1 2x) log (5x 2);− ≥ − 2) 5 5log (1 x) log (x 3);− < + 
3) 2 2log (3x 4) log (5 2x);+ > − 4) 7 7log (2 x) log (3x 6);− ≤ + 
5) 21/ 3 1/ 3log (x 4) log (x 2x 2);+ < + − 
6) 2 21/ 5 1/ 5log (x x 2) log (3 x 2x);− − > − + 
7) 2 23 3log (2x 3) log (x 6);+ < + 8) 2lg(x 3) lg(x 3);− ≥ + 
9) 20,5 0,5log (x 1) log (2x 5);+ ≤ − 10) 1/ 3 1/ 3 x 4log (8 x) log ;2x 3
+− > − 
 175 
11) 3 4 1/ 3 1/ 4
4x 1 x 1log log log log ;
x 1 4x 1
− +<+ − 
12) 
2
1/ 7 1/ 7log (3x 8) log (x 4) 0;
10 x
− − + ≥− 
13) 5 5log x 7 log (x 1);+ > + 14) 2 21/ log (x 1) 1/ log x 1;− < + 
15) 1/ 2 1/ 21/ log x 3 1/ log (x 1);+ ≤ + 16) 23 3 3log (x 2) log x 1 ;2
⎛ ⎞− < −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
17) 21/ 3 1/ 3log (3 x ) log (4 x 2).− < − 
25. 
1) 2 2log (3x 1) log (2 x);+ < − 2) 7 7log (7x 3) log (1 2x);− ≥ − 
3) 1/ 2 1/ 2log (3x 1) log (3 x);− ≤ − 4) 0,7 0,7log (x 2) log (3x 4);− > − 
5) 2 21/ 2 1/ 2log (x 5) log (3x 1) ;+ > − 
6) 23 3log (x 10x 24) log (6x 36);+ + ≤ + 
7) 21/ 2 1/ 2log (x 3x 4) log (2x 2);− + < − 
8) 21/ 3 1/ 3log (3x 4) log (x 2);+ > + 9) 23 3log (x 4) log (x 2x 2);+ < + − 
10) 27 7log (x 6) log x ;− ≤ 11) 2lg x 3x 4 lg x 1;− + > + 
12) 2 3 0,5 0,(3)
x 1 x 1log log log log ;
x 1 x 1
− +<+ − 
13) 
4 4
1 1 ;
x 1log (x 3) log
x 2
> ++
+
 14) 0,4 0,4
x 7log log (5 x);
2x 3
+ < −+ 
15) 2 0,1 0,1
136 x log (x 1) log 0;
2 x
⎛ ⎞− + − ≥⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
16) 2 21/ 4 7 4 1/ 7log log ( x 1 x ) log log ( x 1 x);+ + < + − 
17) 20,7 0,7log (4 x ) log (6 x 3);− > − 18) 24 4 7log (x 5) log x 3 .3
⎛ ⎞− < −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
26. 
1) 0,5 3log x log x 1;+ > 2) 3 1/ 33log x log x log x 6;+ + < 
3) 0,5 0,5log (x 0,5) log x 1;+ + ≥ 4) 1/ 9 31 2log (x 2) log (x 3);− + > − 
 176 
5) 1/ 3 1/ 3 1/ 3log (x 2) log 5 log (x 2);− < − + 
6) 0,2 0,2 0,2log (4 x) log 2 log (x 1);− ≥ − − 
7) 4 2 2 5log x log ( x 1) log log 5;+ − < 
8) 3 3 3log (x 2) log (x 2) log (4x 1);+ + − < + 
9) 7 7
1log x log x 2;
2
− > 10) 5 35 4 23 1log log x log x;2 2≤ − 
11) 1/ 3 1/ 9 1/ 3log x 2log (x 1) log 6;+ − ≤ 
12) 3 3 1/ 31/ 2 log x log 5x log (x 3);+ − > + 
13) 8 82log (x 2) log (x 3) 2 / 3;− − − > 
14) 7 3 3 2log x log 7.log x log 0,25;− > 
15) 1/ 3 1/ 3 3log (x 1) log (x 1) log (5 x) 1;− + + + − < 
16) 21/ 2 1/ 2log (x 2) log (x x 2) 1;− − − + ≥ 
17) 25 1/ 55
1 12log (1 x)(3 x) log (1 x) log ;
2 2
+ − − + > 
18) 2 2 (x 1) /(x 1)log (x 1) log (x 1) log 2 0;+ −− − + + > 
19) 33 3 1/ 3 32log log x log log (9 x ) 1;+ ≥ 
20) 2 1/ 9 9log (1 log x log x) 1.+ − < 
27. 
1) 5 25log x 2log x 2;− > 2) 1/ 5 4log x log x 1;+ > 
3) 2 2log (x 6) log (x 8) 3;− + − > 
4) log (x 27) log (16 2x) log x;π π π+ − − < 
5) 2 22log 3 log (2 x) log (x 1);< − − − 
6) 0,5 0,5log (x 0,5) 1 log (x 1);− ≥ − − 
7) 2 4 0,5
1log (x 14) 2log (x 2) 2 log ;
8
+ + + < 
8) 22 4
3 log x 2log x 1;
2
− ≥ 9) 55 5
2 1log x log x 1;
5 3
− > 
10) 3 9log x 2log x 2;− > 
11) 22 2log (x 3x 2) 1 log (x 2);− + < + − 
 177 
12) 1/ 7 497
1log (x 2)(4 x) log (4 x) 2log 2;
2
+ − + − > − 
13) 25 5 5
1 1log (x 3) log 3 log (x 6x 7);
2 2
− + ≤ + + 
14) 21/ 4 1/16 1/ 4log (x 1) 2 log 2 log (x 3x 8);+ ≥ − + + + 
15) 3 1/ 3 3
1log (x 2)(x 4) log (x 2) log 7;
2
+ + + + < 
16) 1/ 2 2 4log (x 1)(x 3) log (x 3) 2 log 11;+ + + + > − 
17) 21/ 4 1/ 2
x 1
1log x log 2;
1log
2−
+ ≥ 
18) 1/ 2
2 8x x
1 12log (x 1) ;
3 log −
− ≤ − 
19) 1/ 2 1/ 2 (x 3) /(x 3)log (x 3) log (x 3) log 2 0;+ −− − + − > 
20) 3 32 0,5 2log (x 1) log (x 1) 5 log (x 1) .− − − > − − 
28. 
1) 1/ xlog (2,5x 1) 2;− ≥ − 2) x 4x 5log 1;6 5x
+ < −− 
3) x
2x 1log 1;
x 1
− >− 4) 3x 2log x 1;− ≤ 
5) 
2
2x 4 / 25
x 14x 51log 0;
50−
− + ≤ 
6) 4 6x 1log (1 2x x ) 0;− + − > 7) 
2
x 2,5
x 5log 0;
2x 3+
−⎛ ⎞ >⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
8) 20,2xlog (x 8x 16) 0;− + ≥ 9) x 1 2(x 2)(x 4)log 1;x 5−
− − ≥+ 
10) 7 321/ xlog (x x 3) 3,5 0;+ − + 
12) 2x 10x 31
30
log (5x 11/ 20) 0;− + − ≤ 13) xlog (6x 27) 2;+ > 
14) xlog x 2 1;− < 15) 2x
4x 5 1log ;
x 2 2
− ≥− 
 178 
16) 24x 12x 8log 4x 5 0;− + − − > 17) 2 2x 12x 30
10
2xlog log 0;
5− +
⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠ 
18) 2log (0,5x)2log (x 10x 22) 0,− + > 19) xx 9log log (3 9) 1;− ≤ 
20) 2x 2x 3
x 4 x
log 0.
x 1+ −
+ − >− 
29. 
1) x 1log (x 1) 2;− + > 2) x 4x 2log 1;3
− ≥ 
3) x
2x 5log 0;
4(x 1)
+ <− 4) x
4x 1log 0;
6(x 1)
+ ≤− 
5) 2 2x 1log (x x 6) 4;+ + − ≥ 6) 23xlog (6 2x x ) 1;+ − ≥ 
7) 2x 2log (x 8x 15) 0;− − + > 8) 2x 3log (x 4x 3) 0;− − + < 
9) 2xlog (2 x) 1;+ < 10) 
2
24x / 3 4x / 9
log (x 2) 0;− − > 
11) 229xlog (6 2x x ) 1/ 2;+ − ≤ 12) 
2
3x
2x 1
log (x 2,5x 1) 0;
+
− + ≥ 
13) 2x 18x 91
90
3log 5x 0;
10− +
⎛ ⎞− ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 14) 
2
100x 7
25
x 16x 65log 0;
64−
− + < 
15) log x2 2
1log 0;
4x 20x 22
<− + 16) 2x
2x 1log ;
x 3 2
≤− 
17) 2xlog ( 9 x x 1) 1;− − − ≥ 18) x 6 2
3
x 1log log 0;
x 2+
− >+ 
19) xx 2log log (4 12) 1;− ≤ 20) 2x x / 2 1/ 2log 16x 3 0;− − + − < 
30. 
1) 
3 3
1 1 ;
log x 2 log x
>− 2) 
4
2
2 3lg x 1 ;
24 3lg x
− <+ 
3) 
2
4
2lg x 4 2;
lg x 2
+ > −− 4) 
22 0,5log x0,5log x2 2 2(0, 25) x 2 ;≥ 
 179 
5) 
12 log x30,25log x3 313 x ;
3
≤ 6) 2 2x 1 2 xx 1log (3x 1) log ;− −− < 
7) 2 2x 3 x 3log (2(x 10x 24)) log (x 9);− −− + ≥ − 
8) (x 2) x 2
x 7log log 2x;
x 2− −
+ ≤− 
9) 3x x 1log (x 1).log x 2;++ > 10) 
22 1 2log x;log x2 4x 2 4 ++ ≥ 
11) 
2 log x0,25 2log x 392(9 1) x ;
+ − ≤ 
12) 2 2 4
3x 5x 6 x 10x 2x 12 3log 3;
x
− + + + − − + ≥ 
13) 2 2 x(2 x 7x 12)(2 / x 1) ( 14x 2x 24 2) log (2 / x);+ − + − ≤ − − + 
14) 22 1/ 2 2
2log ( x 4x 3) log 1;
x 4x x 1 1
− + > +
− + + +
15) 23 1/ 32 2
27log 3 log ( 9x x 3);
9x x 5 x 2
− < − +
− + − +
16) 2 2 29 3(log x ) (log 1 x / 4) ;≥ − 17) 3x 9 1 5x 1log 3.log ;6x 4 6
− ≤− 
18) 2 3 4 2 22 25x 6x x x .log x (x x) log x 5 5 6 x x ;+ + − > − + + + − 
19) 222 x 1 log (2 2x ) 1.− − ≥ 
31. 
1) 
2 2
1 1 ;
log x 4 log x
>− 2) 
4
2
6 lg x 2;
3 2lg x
− <+ 
3) 
2
4
lg x 2 1;
24 3lg x
− −>− 4) 
22 log x70,25log x7 717 x ;
7
≤ 
5) x
8 12x5log 25;
x 6
− ≥− 6) x 4,5 x 4,5
x 4log log (x 5);
2x 6− −
+ ≤ −− 
7) 210 x x 9log (19 / 2 x) 2 log (x 9);− −− > − 
8) 
2log (x 4x 3)x 3(1/10) 1;− +− ≥ 9) x 1/ xlog (x 1) log (2 x);+ < − 
 180 
10) 
20,5 log x log x4 211/16 16 x ;− ++ ≥ 11) 
2 42 log x log x333 1,5 x ;
+ − ≤ 
12) 2 25
x 1( x 4x 3 1) log ( 8x 2x 6 1) 0;
5 x
− + + + − − + ≤ 
13) 2 24
xx 7x 10 9log 2x 14x 20 2x 13;
8
− + + ≥ + − − − 
14) 25 1/ 5 2
25log ( 2 x x 4) log 2;
2 x x 1 x 2
+ − + > +
+ − + − +
15) 21/ 4 4 2 2
16log ( x 3x 2 3 1) log 2;
x 3x 2 x 1 1
− + + + < −
− + + − +
16) 4 5 6 2 2 3 42 412x 3x 4x 4x log x 3 4x 4x 4x log x ;+ + − > + − + 
17) x 2
5 12xlog 4.log 2;
12x 8
− ≥− 18) 1/ 2log x x 1;≥ − 
19) x 42 0,25(log x log (x 3)) 1.−+ + > 
32. 
1) 22
4x 3 1log ;
4 3x 2
− −>− 2) 1/ 4 9log (2x 3) log 27;+ > 
3) 1/(x 1)log 0, 4 0;− > 4) x 0,2 xlog 2 log 4;+ < 
5) log x 1 log (x 6)3 33 3 3;− − + 
7) 3 1/ 3log (2 x) log (x 1);− < + 
8) 21/ 5 5log (x 6x 18) 2log (x 4) 0;+ + − < 
9) 3
2x 4log 3;
x 2
+ <− 10) 2
2x 0,2log 0;
x 1
+ <+ 
11) 3
x 1log 2;
x
+ ≤ − 12) 1/ 2log ( 1 x x) 2;+ − < 
13) 2
3 2xlog 1;
1 x
− <− 14) 
2
tg tg
8 8
log (2x 1) log (x 1);π π+ ≥ + 
15) 2
sin
6
log (x 4x 3) 3;π − + ≥ − 16) 23 32log (2x x 1) log 4;+ − > 
17) 4
2x 1 1log ;
x 1 2
− < −+ 18) 
2
1/ 2 8
x 1log log 0;
x 2
− <− 
 181 
19) 23 9 /16log log (x 4x 3) 0;− + ≤ 
20) 4 / 3 4 / 9
2log ( x 3 x ) log 0;
3
+ − + ≥ 
21) 
x 2log log0,3 3 x 4(1/ 4) 1;
−
− ≤ 22) 2 21/ 3 9log (x 6) log x 0;− + ≥ 
23) 2log x 2;≥ 
24) x 1 x 12 2log (9 7) 2 log (3 1);− −+ − < + 
25) 20,7log (1 x x 4) 0;+ − − ≤ 26) 21983log (x 1982x) 1;− < 
27) 2log 1 1/ x 1;+ > 
28) 2 3 1/ 2 1/ 3
x 1 x 1log log log log ;
x 1 x 1
− +<+ − 
29) 2 21/ 3 5 3 1/ 5log log ( x 1 x) log log ( x 1 x);+ + < + − 
30) 3log 3 4x 2;− > 31) 3 3log x log x 3 0;− − < 
32) 1983 19831 log x log x 3 4;− + − > 33) 
2
3 2
x 4x 3
log 0;
x x 5
− +
≥+ − 
34) 
2lg(x 21)lg10 1 lg x;+ > + 
35) 2 2 21/ 2 1/ 2 1/ 2log x log x log 3 1;− > − 
36) 2 2lg(10x).log x 2log 10;< 
37) 7 2 22 1/ 2 2 1/ 2
xlog x log x 3 log x 7 log 3;
2
> + + + 
38) 21/ 4 1/ 41 1 8log x 3log x;− − < 
39) 21/ 2 2 4x16
log x 4log x 2(4 log );+ < − 
40) 
2
x 5 0;
log (x 4) 1
− ≥− − 41) 
2
2
6
4x 12x 5 0;
log (x 2x 7 /16)
+ + >− + 
42) x
3
x 1 0;
log (9 3 ) 3
− ≤− − 
43) 23 31/ log (x 7x 12) 1/ log 20;− + < 
 182 
44) 4 4
x 11/ log 1/ log (x 3);
x 2
+ < ++ 45) 
4
2
1 log x 1 ;
1 log x 2
− ≤+ 
46) 
23 9
1 1 ;
log (x 1) 2 log x 6x 9
<+ + +
47) 2lg x 110 1;
lg x 10
+ ≥+ 48) 
2lg(4x x) / lg(2x) 1;+ ≥ 
49) 0,25 0,25log x 1 / log (x 1) 1;+ − ≤ 50) 5 x 12log x 2 log ;5− ≥ 
51) 1/ 3 xlog x log 3 5 / 2;> − 52) 5 x2log x log 125 1;− < 
53) 
4
2
x / 2 x / 4 2
2
log xlog 8 log 8 ;
log x 4
+ < − 
54) 5 x 3 5 3
xlog x log (2 log x).log x / log x;
3
+ < − 
55) 1/ 3 x 1/ 3
1log (x 1) 3log log (x 1) ;
3
− − − > − 
56) 
3
4 2 2
2 1/ 2 2 1/ 22
x 32log x log 9log 4log x;
8 x
− + < 
57) (x 3) /(x 3) 1/ 2 2 / 2log 4 2(log (x 3) log x 3);+ − < − − + 
58) log x2x 2;≥ 59) lg x 2(x /10) 100;− < 
60) xx 2log log (4 6) 1;− ≤ 
61) x 1/ 7 1/ 7
1log log x 10 log x ;
7
+ > 
62) x 2 (x 3) /(x 5)
1log log 1;
5− − −≥ 63) 3x 1log 2x 1;− > 
64) 
3
2(x 1)
x 7 / 2 1log ;
2x 2−
− ≤− 65) x 2x 4xlog 2.log 2 log 2;> 
66) 2 x /16 2xlog log 2 1(log x 6);> − 67) 
2
2x 6log 2.log (x x 2) 1;+ − − ≥ 
68) 3x xlog 2x log 2x ;≤ 69) 22x 4log (x x) 1;+ − > 
70) 23x 1log (x 4) 1;+ − > 71) x 2x 0, 4log 0;5(1 x)
+ >− 
 183 
72) 23x 5log (9x 8x 8) 2;+ + + > 73) 24 x
1log 1;
x− > 
74) 
2
225 x
16
24 x 2xlog 1;
14−
− − > 75) 2log (x 8x 15)2 x2 1;+ +− < 
76) 
2 5 2 8
2 3
2
log (x 2x 7) log (x 2x 7)
0;
3x 13x 4
− − − − − ≤− + 
77) 
3
8 2
2 2
log log 1 2x ;
log (1 2x) log x
+≤+ 
78) 21/ log x2log (4x 20x 22) 0;− + < 
79) 2x 0,5x 0,5log 16x 3 0;− + + + < 
80) 2 22 81 log (7x 14x 8) 1 log (7x 14x 8);+ + + ≤ + + + 
81) 3 3(2x 3)lg 2x 3 2log 10 3;++ + < 82) 
x
x
4
5 3log (5 3 ).log 1;
8
−− ≥ − 
83) lg x 1 2 3.− + ≥