Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2012 - Tỉnh An Giang

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 AN GIANG Năm học 2011 – 2012 
Môn : TOÁN (vòng 1) 
 Lớp : 12 
Thời gian làm bài : 180 phút 
 (Không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: (3,0điểm) 
Cho hàm số (m là tham số) 
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. 
Bài 2: (3,0điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
Bài 3: (3,0điểm) 
Giải phương trình 
Bài 4: (3,0điểm) Giải hệ phương trình 
Bài 5:(2,0điểm) Tính giới hạn 
Bài 6: (2,0điểm) 
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có điểm , điểm B 
nằm trên trục hoành, điểm C nằm trên đường thẳng và góc 
 . 
Tìm tọa độ điểm D. 
Bài 7: (4,0 điểm) 
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a; góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy 
bằng ; góc hợp bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên bên kề nhau bằng 2. 
a) Tính thể tích khối chóp theo a và . (2,0điểm) 
b) Chứng minh rằng . (2,0điểm) 
---Hết--- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SBD :  PHÒNG : 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 
AN GIANG Năm học 2011 – 2012 
 MÔN TOÁN VÒNG 1 
A.ĐÁP ÁN 
Bài 1 
+ TXĐ : D=R 
+ Để đồ thị hàm số có ba điểm cực thì m<0 
+Với m<0 Gọi ba điểm cực trị là A,B,C 
 . 
+Do hàm trùng phương nên AOy và B,C đối xứng qua Oy 
Vậy 
 thì thỏa yêu cầu bài toán. 
3điểm 
Bài 2 
+ A xác định khi . Đặt khi đó xét hàm số 
 ạ 
+ Ta có bảng biến thiên 
 ậ 
 arctan 
t 0 9 + 
y’ + 0 - 
y 
 1/6 
 -1/3 0 
3điểm 
Bài 3 
+ 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
3điểm 
Bài 4 
 Điều kiện 
 Trường hợp phương trình (1) trở thành 
Đặt với ta được 
 ạ 
Khi ta có hệ 
 ạ 
 ạ 
So với trường hợp đang xét hệ phương trình có nghiệm 
 Trường hợp phương trình (1) trở thành 
Đặt với ta được phương trình 
3điểm 
 ạ 
Khi ta có hệ 
So với trường hợp đang xét hệ phương trình có nghiệm 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm 
Bài 5 
2điểm 
Bài 6 
+Ta có ABCD là hình thoi và 
 suy ra . 
+Gọi B(b,0)  Ox và 
Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC 
TH1: thay vào phương trình (2) ta được 
TH2: thay vào phương trình (2) ta được 
2điểm 
 phương trình vô nghiệm 
+ Vậy 
 . 
+ Gọi I là trung điểm AC khi đó 
 , D là điểm đối xứng B qua I nên 
Bài 
7a 
Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông ABCD. Do hình chóp 
đều nên SO(ABCD) và là góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy. 
Đặt SO=h khi đó 
Tam giác SOM vuông tại O nên ta được 
2điểm 
Bài 
7b 
+ Gọi H là hình chiếu của O lên SC ta được SCOH (1) 
 Do BDAC, BDSO BD(SOC)BDSC (2) 
 Từ (1) và (2) SC(BDH) vậy góc hợp bởi hai mặt bên của hình 
chóp là góc hợp bởi hai đường thẳng BH và HD theo đề bài ta được 
 hay . 
+Tam giác SOC vuông tại O có OH là đường cao 
 Vậy 
2điểm 
B HƯỚNG DẪN CHẤM 
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 
+ Điểm số có thể chia nhỏ đến 0,25 cho từng câu. Tổng điểm toàn bài không làm tròn 
C
h
a
M
O
S
B
DA
H