Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An từ năm 1994 đến 2007 môn Toán lớp 12

®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 1994-1995
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. T×m giíi h¹n c¸c hµm sè sau:
	a) 
	b) 
Bµi 2. a) X¸c ®Þnh tham sè k ®Ó hµm sè 
 cã cùc ®¹i
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
Bµi 3. 1) T×m quü tÝch ®iÓm gi÷a c¸c d©y cung ®i qua gèc täa ®é cña ®­êng trßn:
2) Cho tam gi¸c vu«ng ABC cã , AB = 2c, AC = 2b. C¸c c¹nh gãc vu«ng ®­îc chia thµnh c¸c phÇn b»ng nhau bëi c¸c ®iÓm chia. Qua c¸c ®iÓm chia trªn c¹nh AB kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AC. Nèi c¸c ®iÓm chia t­¬ng øng cña AC víi B (lÊy tõ B vµ C). Chøng minh r»ng giao ®iÓm c¸c cÆp ®­êng th¼ng t­¬ng øng lµ m«t parabol.
Bµi 4. Cho ®­êng th¼ng trong mÆt ph¼ng (P). §iÓm M n»m ngoµi mÆt ph¼ng (P), kÎ MH vu«ng gãc víi (P), HÎ(d). LÊy NÎd. KÎ ph©n gi¸c gãc c¾t (P) t¹i I. T×m quü tÝch ®iÓm I khi N thay ®æi trªn d.
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 1995-1996
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 2. a) T×m a ®Ó 
b) Cho hµm sè 
Chøng minh r»ng f lµ hµm sè liªn tôc.
Bµi 3. TÝnh 
Bµi 4. T×m mèi liªn hÖ gi÷a a, b ®Ó tån t¹i tam gi¸c vu«ng CDE vu«ng t¹i C, sao cho t×m ®­îc hai ®iÓm A, B tháa m·n: vµ a = CA, b=CB.
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 1996-1997
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. KÝ hiÖu , lµ phÇn lÎ cña x, lµ phÇn nguyªn cña x.
	T×m 
Bµi 2. Cho hµm sè (Ck), k lµ tham sè.
	1) T×m nh÷ng ®iÓm mµ (Ck) kh«ng bao giê ®i qua víi mäi k.
	2) T×m quü tÝch c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña (Ck).
Bµi 3. Cho ®­êng th¼ng D cã ph­¬ng tr×nh: .
Chøng minh r»ng víi mäi α th× D lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng trßn cè ®Þnh. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®ã.
Cho c¸c ®iÓm A(1; 0), . X¸c ®Þnh α ®Ó D c¾t ®o¹n th¼ng AB t¹i mét ®iÓm kh¸c A vµ B.
Bµi 4. Cho tø diÖn ABCD. M, N, P, M’, N’, P’ lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh DA, DB, DC, BC, CA, AB sao cho MM’ = ’ = PP’.
Chøng minh r»ng (xem l¹i)
Chøng minh r»ng 
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 1997-1998
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. Cho ph­¬ng tr×nh 
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm trong (0; 10).
T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh trong (0; 10).
Bµi 2. a) X¸c ®Þnh sè ®o gãc A cña DABC biÕt tæng c¸c nghÞch ®¶o sè ®o cña hai c¹nh AB, AC b»ng nghÞch ®¶o sè ®o ®­êng ph©n gi¸c gãc xen gi÷a hai c¹nh Êy.
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
Kh«ng nhiÒu h¬n sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 4. a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè khi , k> 0 lµ tham sè.
	b) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy, cho ®iÓm M=(2; 4). XÐt c¸c tam gi¸c cã mét c¹nh vu«ng gãc víi trôc Oy vµ 2 ®Ønh n»m trªn parabol sao cho M lµ trung ®iÓm cña mét trong hai c¹nh cßn l¹i. X¸c ®Þnh tam gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch ®ã.
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 1998 - 1999
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. a) Cho f(x2 + 1) = 6x4 - x2 + 5. T×m f(x2 - 1).
b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 2. Cho hai sè bÊt kú a, b Î [0; 1]. Chøng minh:
.
	víi mäi xÎ[0; 1].
Bµi 3. Cho h×nh chãp tam gi¸c cã 3 c¹nh bªn vu«ng gãc víi nhau. Chøng minh:
. Trong ®ã S1, S2, S3 lµ diÖn tÝch c¸c mÆt bªn, h lµ ®­êng cao cña h×nh chãp.
Bµi 4. Cho tø gi¸c ABCD cã nhän, I lµ trung ®iÓm AC, biÕt . Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp.
Bµi 5. Mét v­ên rau d¹ng h×nh vu«ng c¹nh 12m. trong v­ên cã mét nguån n­íc, ng­êi ta ®Æt mét hÖ thèng èng dÉn ®Ó t­íi rau, sao cho kho¶ng c¸ch mçi ®iÓm trªn v­ên rau tíi èng kh«ng qu¸ 1m. Chøng minh tæng chiÒu dµi èng dÉn kh«ng qu¸ 70m.
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 1999 - 2000
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. 1) Gi¶i hÖ: 
2) Cho a Î Z. Chøng minh ph­¬ng tr×nh
x4 - 2001x3 + (2000 + a)x2 - 1999x + a = 0 
kh«ng thÓ cã qu¸ 2 nghiÖm nguyªn.
Bµi 2. 1) Cho xy + yz + zx = -1. Chøng minh: .
2) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y = 1; m lµ sè d­¬ng tuú ý.
 T×m GTNN cña biÓu thøc: .
Bµi 3. Cho d·y {un} x¸c ®Þnh bëi: 
Chøng minh {un} kh«ng tuÇn hoµn.
Bµi 4. Cho tø diÖn SABC. Trªn c¸c c¹nh SA, SB, SC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm D, E, F. C¸c mÆt ph¼ng (ABF), (ACE), (BCD) c¾t nhau t¹i M, SM c¾t mp(ABC) t¹i D vµ c¾t mp(DEF) t¹i N.
Chøng minh: 
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 2000 - 2001
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 2004-2005
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. a) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
	.
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2003x + 2005x = 4006x + 2.
Bµi 2. a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gÝa trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
b) T×m m ®Ó tån t¹i cÆp sè (x; y) kh«ng ®ång thêi b»ng 0 vµ tháa m·n ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 3. T×m tÊt c¶ c¸c ®a thøc p(x) tháa m·n:
 "x.
Bµi 4. a) Cho a, b, c, d lµ 4 sè thùc vµ tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: 
a2 + b2 = 1 vµ c -d = 3. 
Chøng minh r»ng: .
b) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho hä ®­êng trßn (Cm):
	x2 + y2 – 2(m – 1)x – (m + 6)y + m + 10 = 0 (m ¹ 0)
Chøng minh r»ng: C¸c ®­êng trßn (Cm) lu«n tiÕp xóc nhau t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi.
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 2005 - 2006
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1. a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 2. a. Chøng minh tam gi¸c ®Òu lµ tam gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt trong c¸c tam gi¸c néi tiÕp ®­îc trong ®­êng trßn cho tr­íc.
b. T×m a, b ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 3. Chøng minh:
a. 
b. , trong ®ã n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 vµ 
Bµi 4. a. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §Ò-c¸c vu«ng gãc Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m , ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB lµ x-2y+2-0 vµ AB = 2AD. T×m täa ®é c¸c ®Ønh A, B, C, D biÕt r»ng ®Ønh A cã hoµnh ®é ©m.
b. Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB, G lµ träng t©m cña DACM vµ I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC. Chøng minh GI vu«ng gãc víi CM.
®Ò thi häc sinh giái tØnh nghÖ an. N¨m häc 2006-2007
M«n To¸n. Líp 12 – B¶ng A.
(Thêi gian lµm bµi: 150 phót)
Bµi 1. a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
.
b) Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã ®óng mét nghiÖm vµ nghiÖm ®ã nhËn gi¸ trÞ d­¬ng.
Bµi 2. a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
b) Cho c¸c sè thùc x; y tháa m·n . Chøng minh:
Bµi 3. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 4. a) Trong mÆt ph¼ng täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc Oxy cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn (C). BiÕt (C) cã ph­¬ng tr×nh . ; A(2; 0) vµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 4.
T×m täa ®é c¸c ®Ønh B; C.
b) Trong mÆt ph¼ng täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc Oxy cho ®iÓm B(-3; 0), C(3; 0). §iÓm A di ®éng trong mÆt ph¼ng Oxy sao cho tam gi¸c ABC tháa m·n: ®é dµi ®­êng cao kÎ tõ ®Ønh A tíi BC b»ng 3 lÇn b¸n kÝnh ®­êng trßn t©m I néi tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh khi A thay ®æi (vÉn tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n) th× ®iÓm I thuéc mét ®­êng cong cè ®Þnh.