Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 - 2010, môn toán khối 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010, TP ĐÀ NẴNG
MÔN TOÁN KHỐI 12
Bài 1 : 
Cho hàm số y = (1) , với m là tham số thực
 a).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1), khi m = 0.
 b). Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B và độ dài đoạn AB = 
Bài 2 : 
a). Giải phương trình 
b). Giải hệ phương trình 
Bài 3 : 
a). Cho hinh vuông ABCD, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AC = 4.AM và N là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.
b). Trong không gian Oxyz , cho điểm H(2; 1; 1). Tìm tọa độ các điểm A, B, C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Bài 4 : 
a). Tìm hàm số f(x) , biết rằng và f(0) = 2010
b). Với mọi số thực x, y, z dương thay đổi, thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng : 
Bài 5 : 
a). Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm
b). Cho khối chóp S.ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, và .
Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a.
---Hết---
BÀI GIẢI
 ( GV thực hiện : Lê Thừa Thành, THPT Nguyễn Hiền Đà Nẵng )
Bài 1 : Hàm số y = (1) , với m là tham số thực
a). m = 0( HS tự khảo sát )
b). y’ = . Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B có hai nghiệm phân biệt .Thực hiện chia y cho y’ ta có phân tích : và do nên suy ra ; . Do đó : ; 
Do đó : 
Đặt 
 ( hai giá trị này thỏa điều kiện ). Kết luận : m = 0 ; m = -2
Bài 2 : a). Điều kiện 
Từ phương trình suy ra . Chia hai vế của PT cho sinx, ta có PT tương đương :
. Đặt , có PTrình : 
( lưu ý : )
 : 
 Tìm được ( loại) , ( nhận) . Ta có : 
 : 
Tìm được ( loại) , ( nhận) . Ta có : 
Kết luận : PT có các nghiệm xác định bởi các công thức :
 , , , , với 
b). ĐK .Đặt .Ta có hệ phương trình 
Đặt ; , từ (2) suy ra : .Ta có hệ hai ẩn S, P : 
Thay (4) vào (3) ta đi đến phương trình : 
So với điều kiện chỉ chọn P = 0. Từ đó suy ra u = 0 hoặc v = 0 
Nếu u = 0 ,tức là x = 0 , thay vào hệ PT có y = 4. Nếu v = 0 , tức là y = 0 , có x = 4
Kết luận : Hệ PT có hai nghiệm (x; y) = (0; 4 ) và (x; y) = (4; 0)
Bài 3 : a). Goi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD. Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho A(0:0), B(a; 0), C(a, a) và D(0. a). Từ giả thiết ta có , , 
Từ đó có và vuông cân tại M
b). Trước hết, ta chứng minh bài toán sau : Cho tứ diện OABC có ba cạnh bên OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một . Nếu H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng ABC thì H là trực tâm của tam giác ABC
Chứng minh : . Tương tự chứng minh được . Do đó H là trực tâm tam giác ABC.
Áp dụng vào bài toán trên : Vì A, B, C lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz nên tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Do đó , nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) , tức là một VTPT của (ABC) , nên (ABC) có phương trình :
2(x-2) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0, hay là 2x + y + z -6 = 0
Từ đó suy ra tọa độ của các điểm A, B, C lần lượt là A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 6)
Bài 4 : a). 
 . Giả thiết cho f(0) = 2010
 Vậy : 
b). Ta có . Tương tự : , 
 Suy ra : 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài 5 : a). Ta có 
PT đã cho trở thành : 
PT có đúng một nghiệm khi xảy ra một trong hai điều sau : (I) ; (II) 
 : không tìm được m
 KẾT LUẬN : m = 0
b). Trong mặt phẳng (SAB) kẻ đường thẳng Ax // SB và đường thẳng By // AS . Ax và By cắt nhau tại M và có ASBM là hình chữ nhật
. 
 Dựng CH , vậy CH = d(C, (SAB))
Ta tính diện tích tam giác AMC : Từ các giả thiết SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, và , ta tính được :AM = SB = 3a ; ; 
 Nửa chu vi tam giác ACM là 
 dt(ACM) = 
 = 
 Mặt khác 
(*) Hoặc dùng cách tính khoảng cách từ thể tích :
, nhưng với 
h = d(C(SAB). Suy ra : 
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là 
 B
 S 
 H M
 A
 C 
( Đà Nẵng, ngày 08 tháng 02 năm 2010 - Ngày sinh nhật mà ta ngồi giải toán! )