Đề thi đại học: Hình học giải tích trong không gian

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 1 
ĐỀ THI ĐẠI HỌC: 
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 
1) A- 2011 Cho hai điểm ( ) ( )2;0;1 , 0; 2;3-A B và mặt phẳng ( ) : 2 4 0.- - + =P x y z Tìm tọa độ 
điểm M thuộc (P) cho 3= =MA MB . 
Bài giải: 
Gọi ( ); ;M x y z , ta có ( )ÎM P và ( ) ( )
( ) ( )
2 22
2 22
2 4 0
2 1 9
2 3 9
ì - - + =
ïï= Û - + + - =í
ï
+ + + - =ïî
x y z
MA MB x y z
x y z
( ) ( )2 2 22
2 4 0 2 2
2 0 3
7 11 4 02 1 9
ì - - + = = -ìïï ïÛ + - + = Û =í í
ï ï - + =- + + - = îïî
x y z x y
x y z z y
y yx y z
( ) ( ); ; 0;1;3Û =x y z hoặc ( ) 6 4 12; ; ; ;
7 7 7
æ ö= -ç ÷è ø
x y z . 
Vậy ta có ( )0;1;3M hoặc 6 4 12; ;
7 7 7
æ ö-ç ÷è ø
M . 
2) A- 2011 Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 4 4 4 0+ + - - - =S x y z x y z và điểm ( )4;4;0A . Viết phương trình 
mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. 
Bài giải: 
 (S) có tâm ( )2;2;2 ,I bán kính 2 3.=R Nhận xét: O và A cùng thuộc (S). 
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp 4 2
3 3
= =
OA
r . 
Khoảng cách: ( )( ) 2 2 2d ,
3
= - =I P R r 
(P) đi qua O có phương trình dạng: ( )2 2 20 0 (*)+ + = + + >ax by cz a b c 
(P) đi qua A, suy ra: 4 4 0 .+ = Þ = -a b b a 
( )( ) ( ) 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
d , 2 3 .
32 2
+ +
= = Þ = Þ + = Þ = ±
+ + + +
a b c c c
I P a c c c a
a b c a c a c
Theo (*) suy ra (P): 0- + =x y z hoặc 0- - =x y z . 
3) B- 2011 Cho đường thẳng 2 1:
1 2 1
- +
D = =
- -
x y z và mặt phẳng ( ) : 3 0.+ + - =P x y z Gọi I là 
giao điểm của D và ( )P . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với D và 
4 14=MI . 
Bài giải: 
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: ( )
2 1
1;1;11 2 1
3 0
- +ì = =ï Þ- -í
ï + + - =î
x y z
I
x y z
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 2 
Gọi ( ); ;M a b c , ta có: ( )
( ) ( ) ( )2 2 2
3 0
: 2 2 0
4 14
1 1 1 224
ì + + - =ï^ Dìï ïÎ Û - - + =í í
=ïî ï
- + - + - =ïî
a b c
MI
M P a b c
MI
a b c
( ) ( ) ( )2 2 2
2 1
3 4
1 2 2 3 3 224
ì = -ïïÛ = - +í
ï
- + - + - + =ïî
b a
c a
a a a
( ) ( ); ; 5;9; 11Û = -a b c hoặc ( ) ( ); ; 3; 7;13= - -a b c . 
Vậy ta có ( )5;9; 11-M hoặc ( )3; 7;13- -M . 
4) B- 2011 Cho đường thẳng 2 1 5:
1 3 2
+ - +
D = =
-
x y z và hai điểm ( ) ( )2;1;1 , 3; 1;2- - -A B . Tìm 
tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5. 
Bài giải: 
Gọi ÎDM , suy ra tọa độ M có dạng ( )2 ;1 3 ; 5 2 .- + + - -M t t t 
( ) ( )
( )
( ) ( )2 2 2 2
;3 ; 6 2 ; 1; 2;1
, 12; 6;
0
3 5 12 6 180 12 0
12D
Þ = - - = - -
é ùÞ = - - +ë û
=é
= Û + + + + = Û + = Û ê = -ë
 
 
MAB
AM t t t AB
AM AB t t t
t
S t t t t t
t
Vậy ( )2;1; 5- -M và ( )14; 35;19- -M . 
5) D- 2011 Cho điểm ( )1;2;3A và đường thẳng 1 3:
2 1 2
+ -
= =
-
x y z
d . Viết phương trình đường 
thẳng D đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. 
Bài giải: 
Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2 2 2 0.+ - + =x y z 
Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra D là đường thẳng đi qua các điểm A, B. 
Ta có: ( );0;0Î ÞB Ox B b thỏa mãn phương trình ( )2 2 0 1;0;0 .+ = Þ -b B 
Phương trình 
1 2
: 2 2
3 3
= +ì
ïD = +í
ï = +î
x t
y t
z t
6) D- 2011 Cho đường thẳng 1 3:
2 4 1
- -
D = =
x y z và mặt phẳng ( ) : 2 2 0.- + =P x y z Viết 
phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp(P). 
Bài giải: 
Gọi I là tâm của mặt cầu. Do ( )1 2 ;3 4 ;ÎD Þ + +I I t t t . 
Mặt cầu tiếp xúc với (P) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 3 4 2 2d , 1 1
3 1
+ - + + =éÛ = Û = Û ê = -ë
t t t t
I P
t
Suy ra ( )5;11;2I hoặc ( )1; 1; 1- - -I . 
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 3 
Phương trình mặt cầu: ( ) ( ) ( )2 2 25 11 2 1- + - + - =x y z hoặc ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1+ + + + + =x y z 
7) A- 2010 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 2:
2 1 1
- +
D = =
-
x y z và mặt phẳng (P): 
2 0- + =x y z . Gọi C là giao điểm của D và (P), M là một điểm thuộc D . Tính khoảng cách từ M 
đến mp(P), biết 6=MC . 
Bài giải: Đường thẳng D có vectơ chỉ phương ( )2;1; 1= -v và 
 mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( )1; 2;1= -n . 
Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có: 
( )cos cos , .=  HMC v n 
Ta có: 
( )( ) ( )ˆ 2 2 1 1d , .cos . cos , 6.
6 6 6
- -
= = = = =
 
M P MH MC HMC MC v n 
8) A- 2010 Cho điểm (0;0; 2)-A và 2 2 3:
2 3 2
+ - +
D = =
x y z . Tính khoảng cách từ A đến D . Viết 
phương trình mặt cầu tâm A, cắt D tại hai điểm B, C sao cho 8=BC . 
Bài giải: 
Đường thẳng D đi qua điểm ( )2;2; 3- -M , nhận ( )2;3;2=v làm vectơ chỉ phương. 
Ta có: ( ) ( )2; 2;1 , 7;2; 10é ù= - Þ = -ë û
 
MA v MA 
Suy ra: ( )
, 49 4 100
d , 3
4 9 4
é ù + +ë ûD = = =
+ +


v MA
A
v
Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt D tại B và C sao cho 8=BC . Suy ra bán kính của (S) là: 5=R . 
9) B- 2010 Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho c¸c ®iÓm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), trong ®ã A B b C c 
, 0 vµ mÆt ph¼ng ( ) : 1 0. X¸c ®Þnh vµ , biÕt mÆt ph¼ng (ABC) vu«ng gãc víi
1
mÆt ph¼ng (P) vµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) b»ng .
3
b c P y z b c> - + =
Bài giải: 
Mặt phẳng (ABC) có phương trình: 1
1
+ + =
x y z
b c
. 
Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P): 1 0- + =y z , suy ra: 1 1 0- =
b c
 (1) 
Ta có: ( )( ) 2 2
2 2
1 1 1 1 1
d O, ABC 8
3 31 1
1
= Û = Û + =
+ +
b c
b c
 (2) 
Từ (1) và (2), do , 0>b c suy ra 1
2
= =b c . 
10) B- 2010 1Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho ®­êng th¼ng : . X¸c ®Þnh täa ®é 
2 1 2
x y z-
D = = 
D
M
HC
P
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 4 
®iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn b»ng OM.D 
Bài giải: 
Đường thẳng D đi qua điểm ( )0;1;0A và có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=v . 
Do M thuộc trục hoành, nên M có tọa độ ( );0;0t , suy ra: ( ); 1;0= -

AM t . 
( )
( )
2
2
, 2;2 ; 2
15 4 8
d , 2 0
3 2
é ùÞ = - -ë û
= -é+ +Þ D = Û = Û - - = Û ê =ë

v AM t t
tt t
M OM t t t
t
Suy ra ( )1;0;0-M hoặc ( )2;0;0M . 
11) D- 2010 Trong kh«ng gian Oxyz, cho hai mp(P): 3 0 vµ (Q): 1 0.x y z x y z+ + - = - + - = 
ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(R) vu«ng gãc víi (P) vµ (Q) sao cho kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (R) b»ng 2. 
Bài giải: 
Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là: ( )1;1;1=Pn và ( )1; 1;1= -

Qn , suy ra: 
( ), 2;0; 2é ù = -ë û
 
P Qn n là vectơ pháp tuyến của (R). 
Mặt phẳng (R) có phương trình dạng 0- + =x z D . 
Ta có ( )( )d ,
2
=
D
O R suy ra: 2 2 2
2
= Û =
D
D hoặc 2 2= -D . 
Vậy phương trình mặt phẳng (R): 2 2 0- + =x z hoặc 2 2 0- - =x z . 
1 2
1 2
3
1
2) D- 2010 Trong kh«ng gian Oxyz, cho ®­êng th¼ng : vµ : . 
2 1 2
X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M thuéc sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn b»ng 1.
= +ì
-ïD = D = =í
ï =î
D D
x t
x y z
y t
z t
Ta có: + 1ÎDM , nên ( )3 ; ;+M t t t . 
 + 2D đi qua ( )2;1;0A và có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=

v . 
Do đó: ( ) ( )1; 1; ; , 2 ;2; 3 .é ù= + - = - -ë û
 
AM t t t v AM t t 
Ta có: ( )
2
2
, 2 10 17
d ,
3
é ù - +ë ûD = =


v AM t t
M
v
 suy ra 
22 10 17
1
3
- +
=
t t 
2 15 4 0
4
=éÛ - + = Û ê =ë
t
t t
t
Suy ra ( )4;1;1M hoặc ( )7;4;4M . 
12) A- 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 4 0- - - =P x y z và mặt 
cầu ( ) 2 2 2S : 2 4 6 11 0x y z x y z+ + - - - - = . Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo 
một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. 
Bài giải: 
 (S) có tâm ( )1;2;3I , bán kính 5=R . 
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 5 
Khoảng cách từ I đến (P): ( )( ) 2 4 3 4d , 3
3
- - -
= = <I P R ; suy ra đ.p.c.m 
Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu vuông góc của I 
trên (P): ( )( ) 2 2d , 3, 4= = = - =IH I P r R IH . 
Tọa độ ( ); ;H x y z thỏa mãn: 
1 2
2 2
3
2 2 4 0
= +ì
ï = -ï
í = -ï
ï - - - =î
x t
y t
z t
x y z
Giải hệ ta được ( )3;0;2H . 
13) A-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : 2 2 1 0x y z- + - = và 2 
đường thẳng D1: 
1 9
1 1 6
+ +
= =
x y z và D2: 
1 3 1
2 1 2
- - +
= =
-
x y z . Xác định tọa độ điểm M thuộc 
đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt 
phẳng (P) bằng nhau. 
Bài giải: 
2D qua ( )1;3; 1-A và có vectơ chỉ phương ( )2;1; 2= -

u . 
( )
( ) ( )
1
2
1 ; ; 9 6
2 ;3 ;8 6 , , 8 14;20 14 ; 4
, 3 29 88 68
ÎD Þ - + - +
é ù= - - - = - - -ë û
é ùÞ = - +ë û
  
 
M M t t t
MA t t t MA u t t t
MA u t t
Khoảng cách từ M đến 2D : ( ) 22
,
d , 29 88 68
é ùë ûD = = - +
 

MA u
M t t
u
Khoảng cách từ M đến (P): ( )( )
( )22 2
1 2 12 18 1 11 20
d ,
31 2 2
- + - + - - -
= =
+ - +
t t t t
M P 
( )
2 2
1
11 20
29 88 68 35 88 53 0 53
3
35
53 18 53 3
1 0;1; 3 ; ; ;
35 35 35 35
=é- êÞ - + = Û - + = Û ê =
ë
æ ö= Þ - = Þ ç ÷è ø
t
t
t t t t
t
t M t M
14) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( )1;2;1 ,A 
( ) ( ) 2;1;3 , 2; 1;1B C- - và ( )0;3;1D . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho 
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). 
Bài giải: 
Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: 
Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD. 
Vec tơ pháp tuyến của (P): ,é ù= ë û
 
n AB CD . 
( ) ( ) ( )3; 1;2 , 8; 4; 14 8; 4; 14= - - = - - - Þ = - - -
  
AB CD n . 
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 6 
Phương trình (P): 4 2 7 15 0+ + - =x y z 
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD. 
Ta có: ( ) ( )1;1;1 0; 1;0Þ = -

I AI ; vectơ pháp tuyến của (P): ( ), 2;0;3é ù= =ë û
 
n AB AI 
Phương trình (P): 2 3 5 0+ - =x z . 
Vậy (P): 4 2 7 15 0+ + - =x y z hoặc (P): 2 3 5 0+ - =x z . 
15) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2 2 5 0x y z- + - = và hai 
điểm ( ) ( )3;0;1 , 1; 1;3A B- - . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết 
phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. 
Bài giải: 
Gọi D là đường thẳng cần tìm; D nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). 
Phương trình (Q): 2 2 1 0- + + =x y z . 
K, H là hình chiếu của B lên D , (Q). Ta có ³BK BH 
nên AH là đường thẳng cần tìm. 
Tọa độ ( ); ;H x y z thỏa mãn: 
1 1 3
1 11 7
; ;1 2 2
9 9 9
2 2 1 0
- + -ì = =ï æ öÞ --í ç ÷è øï - + + =î
x y z
H
x y z
26 11 2
; ;
9 9 9
æ ö= -ç ÷è ø

AH . Vậy phương trình 3 1:
26 11 2
+ -
D = =
-
x y z . 
16) D-2009 Trong không gian với  ...  ( )2 221 1 1.x y z- + + - = 
56) Dự bị A-1 2004 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật 
ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O, ( ) ( ) ( )11;0;0 , 0;1;0 , 0;0; 2B D A . 
 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu 
 vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P). 
 b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình 
 chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q). 
57) Dự bị A-2 2004 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 
là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ( ) ( ) ( )2; 1;0 , 2; 1;0 , 0,0,3A B S- - - . 
1) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường 
thẳng AD, SC. 
2) Gọi (P) là mặt phẳng qua trung điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện 
của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P). 
57) Dự bị B-1 2004 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ( ) ( )4;2;2 , 0;0;7A B và đường 
thẳng 3 6 1: .
2 2 1
- - -
= =
-
x y z
d Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một mặt 
phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A . 
58) Dự bị B-2 2004 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( )2;0;0A và ( )1;1;1M . 
a) Tìm tạo độ điểm O’ đối xứng với O qua đường thẳng AM. 
b) Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM, cắt các trục Oy, Oz lần lượt 
tai các điểm B, C.Giả sử ( ) ( ) ( )0; ;0 , 0;0; 0, 0B b C c b c> > . Chứng minh rằng: 
2
bc
b c+ = . 
Xác định , b c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất . 
59) Dự bị D-1 2004 Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) ( ) ( )2;0;0 , 2;2;0 , 0;0;2 .A B C 
1) Tìm toạ độ điểm O’ đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng (ABC). 
2) Cho điểm S di chuyển trên trục trên trục Oz và gọi H là hình chiếu vuông góc của O 
trên đường thẳng SA. Chứng minh rằng diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4. 
60) Dự bị D-2 2004 Trong không gian Oxyz cho điểm ( )0;1;1A và 0:
2 2 0.
x y
d
x z
+ =ì
í - - =î
. 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm toạ độ hình chiếu 
vuông góc B’ của điểm ( )1;1;2B trên mặt phẳng (P). 
61) A-2003 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A 
trùng với gốc hệ toạ độ, ( ) ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , ' 0;0; 0, 0B a D a A b a b> > . Gọi M là trung điểm cạnh 
CC’. 
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 29 
1) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b . 
2) Xác định tỷ số a
b
 để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. 
Bài giải: 
a) Từ giả thiết ta có: ( ) ( ); ;0 ; ' ; ; ; ;
2
bC a a C a a b M a aæ öÞ ç ÷è ø
Vậy ( ) 2; ;0 , 0; ; , ; ; .
2 2 2
b ab abBD a a BM a BD BM aæ ö æ öé ù= - = Þ = -ç ÷ ç ÷ë ûè ø è ø
   
( )
23' ;0; , . '
2
a bBA a b BD BM BA -é ù= - Þ =ë û
   
Do đó: 
2
'
1 , . '
6 4BDA M
a bV BD BM BAé ù= =ë û
  
. 
b) Mặt phẳng (BDM) có vectơ pháp tuyến 
là 21 , ; ;2 2
ab abn BD BM aæ öé ù= = -ç ÷ë û è ø
  , 
mặt phẳng (A’BD) có vectơ pháp tuyến là ( )22 , ' ; ; .n BD BA ab ab aé ù= =ë û
  
Do đó: ( ) ( )
2 2 2 2
4
1 2' . 0 0 1.2 2
a b a b aBDM A BD n n a a b
b
^ Û = Û + - = Û = Û =  
B-2003 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( )2;0;0 , 0;0;8A B và điểm C sao 
cho 

AC = (0;6;0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. 
Bài giải: 
Từ ( )0;6;0AC =

 và ( )2;0;0A suy ra ( )2;6;0C , do đó ( )1;3;4I . 
Phương trình mặt phẳng ( )a qua I và vuông góc với OA là: 1 0x - = . 
Þ Tọa độ giao điểm của ( )a với OA là ( )1;0;0K . 
Þ Khooảng cách từ I đến OA là ( ) ( ) ( )2 2 21 1 0 3 0 4 5.IK = - + - + - = 
62) D-2003 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 
3 2 0
:
1 0.
+ - + =ì
í - + + =î
k
x ky z
d
kx y z
Tìm k để đường thẳng kd vuông góc với mặt phẳng ( )P : 2 5 0x y z- - + = . 
Bài giải: 
Ta có cặp vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng xác định kd là ( )1 1;3 ; 1n k= -
 và ( )2 ; 1;1n k= -
 . 
Vectơ pháp tuyến của (P) là: ( )1; 1; 2 .n = - - 
Đường thẳng kd có vectơ chỉ phương là: [ ] ( )21 2, 3 1; 1; 1 3 0 u n n k k k k= = - - - - - ¹ "
   
Nên ( )
23 1 1 1 3// 1.
1 1 2k
k k kd P u n k- - - - -^ Û Û = = Û =
- -
  
Vậy giá trị k cần tìm là 1.k = 
63) Dự bị A-1 2003 Trong không gian Oxyz cho 1 2
3 1 07
: vµ :
1 2 1 2 1 0
x zx y z
d d
x y
- + =ì-
= = í + - =î
x
y
z
B'
A'
C'
D'
D
C
B
A
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 30 
1) Chứng minh rằng 1 2, d d chéo nhau . 
2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng 1 2, d d và song 
song với đường thẳng 4 7 3: .
1 4 2
- - -
D = =
-
x y z 
64) Dự bị A-2 2003 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với ( )2;3;2 , A 
( ) ( ) ( )6; 1; 2 , 1; 4;3 , 1;6; 5B C D- - - - - 
 1) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. 
 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. 
65) Dự bị B-1 2003 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện OABC với ( )0;0; 3 ,A a 
( ) ( ) ;0;0 , 0; 3;0B a C a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
AB và OM. 
66) Dự bị B-2 2003 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( )0;0;1 , 3;0;0I K . Viết 
phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bằng 300. 
67) Dự bị D-1 2003 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): 22 2 3 0x y z m m+ + - - = 
( m là tham số) và mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 9x y z- + + + - = . Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc 
với mặt cầu (S). Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (S). 
68) Dự bị D-2 2003 Cho 2 điểm ( ) ( )2;1;1 , 0; 1;3A B - và 3 2 11 0:
3 8 0.
- - =ì
í + - =î
x y
d
y z
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với 
AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Chứng minh d vuông góc với IK. 
2) Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặ t phẳng có 
phương trình 1 0x y z+ - + = . 
69) A-2002 Trong không gian Oxyz, cho 1
2 4 0
: 
2 2 4 0
- + - =ì
í + - + =î
x y z
d
x y z
và 2
1
: 2
1 2
= +ì
ï = +í
ï = +î
x t
d y t
z t
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1d và song song với 2d . 
2) Cho điểm ( )2;1;4M . Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn thẳng MH 
có độ dài nhỏ nhất. 
Bài giải: 
Cách 1: Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1D có dạng: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 22 4 2 2 4 0 0
2 2 2 4 4 0
 x y z x y z
x y z
a b a b
a b a b a b a b
- + - + + - + = + >
Û + - - + - - + =
Vậy ( ); 2 2 ; 2Pn a b a b a b= + - + -
 . Ta có: ( )2 21;1;2 //u = D
 và ( )2 21;2;1M ÎD . 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
22
. 0 0
//
1;2;1
Pn uP
M PM P
a b= - =ì ìïD Û Þí í ÏÏï îî
 
. Vậy ( ) : 2 0P x z- = . 
Cách 2: Ta có chuyển phương trình 1D sang dạng tham số như sau: 
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 31 
Từ phương trình 1D suy ra 2 0x z- = . Đặt 1
2 '
2 ' : 3 ' 2
4 '
x t
x t y t
z t
=ì
ï= Þ D = -í
ï =î
( ) ( )1 1 1 10; 2;0 , 2;3;4 // . M uÞ - ÎD = D
 
(Ta có thể tìm tọa độ điểm 1 1M ÎD bằng cách 0 2, 0 x y z= Þ = - = và 
tính ( )1
2 1 1 1 1 2
; ; 2;3;4
2 2 2 1 1 2
u
- -æ ö
= =ç ÷- -è ø
 ) 
Ta có ( )2 21;1;2 // .u = D
 Từ đó ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: 
[ ] ( )1 2, 2;0; 1Pn u u= = -
   . Vậy phương trình mặt phẳng (P) đi qua ( )1 0; 2;0M - và ( )2;0; 1Pn^ = -
 
là: 2 0.x z- = 
Mặt khác ( ) ( )2 1;2;1M PÏ Þ Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 0.x z- = 
b) Cách 1: ( ) ( )2 1 ;2 ;1 2 1; 1;2 3H H t t t MH t t tÎD Þ + + + Þ = - + -

. 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 221 1 2 3 6 12 11 6 1 5MH t t t t t tÞ = - + + + - = - + = - + 
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ( )1 2;3;3t H= Þ . 
Cách 2: ( )2 1 ;2 ;1 2H H t t tÎD Þ + + + 
MH nhỏ nhất ( )2 2. 0 1 2;3;3MH MH u t HÛ ^ D Û = Û = Þ
  . 
70) D-2002 Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2 2 0x y- + = và 
( ) ( )
( )
2 1 1 1 0
:
2 1 4 2 0
ì + + - + - =ï
í
+ + + + =ïî
m
m x m y m
d
mx m z m
Xác định m để đường thẳng md song song với mặt phẳng (P). 
Bài giải: 
Cách 1: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( )2; 1;0 .n = - Đường thẳng md có vectơ chỉ phương 
( ) ( ) ( ) ( )( )21 2 1 ; 2 1 ; 1 .u m m m m m= - + - + - - 
Suy ra: ( ). 3 2 1 .u n m= +  
md song song với (P) ( ) ( )
. 0
, m m
u n u n
d P A d A P
^ =ì ì
Û Ûí íË $ Î Ïî î
   
Ta có điều kiện 1. 0
2
u n m= Û = -  . 
Mặt khác khi 1
2
m = - thì md có phương trình: 
1 0
0
y
x
- =ì
í =î
. mọi điểm ( )0;1;A a của đường thẳng 
này đều không nằm trong mặt phẳng (P), nên điều kiện ( ), mA d A P$ Î Ï được thỏa mãn. 
Cách 2: Viết phương trình md dưới dạng tham số ta được: 
( ) ( )
( )
( )
2
1 2 1
1 2 1
2 1
x m m t
y m t
z m m t
= - +ì
ïï = - +í
ï = - - -ïî
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (beckbo1210@yahoo.com) Tổ Toán THPT Phong Điền 32 
( )//md P Û hệ phương trình ẩn t sau 
( ) ( )
( )
( )
2
1 2 1
1 2 1
2 1
2 2 0
x m m t
y m t
z m m t
x y
= - +ì
ï
= - +ï
í
= - - -ï
ï - + =î
 vô nghiệm 
Û phương trình ẩn t sau ( )3 2 1 1 0m t+ + = vô nghiệm 1
2
mÛ = - . 
Cách 3: ( )//md P Û hệ phương trình ẩn , , x y z sau ( ) ( )
( )
2 2 0
2 1 1 1 0
2 1 4 2 0
x y
m x x y m
mx m z m
ì - + =
ï
+ + - + - =í
ï + + + + =î
 vô nghiệm. 
Từ 2 phương trình đầu của hệ phương trình trên ta suy ra 
1
3
2 4
3
mx
my
-ì =ïï
í +ï =ïî
. 
Thế , x y tìm được vào phương trình thứ 3 ta có: 
( ) ( )212 1 11 63m z m m+ = - + + . 
Hệ vô nghiệm 1
2
mÛ = - 
71) Dự bị A-1 2002 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: 
2 2 1 0
2 2 4 0
- - + =ì
í + - - =î
x y z
x y z
và mặt cầu 
(S): 2 2 4 6 0x y x y m .+ + - + = Tìm m để đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng 
cách giữa hai điểm đó bằng 8. 
72) Dự bị A-2 2002 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
1 2
0 3 3 0
: ; :
1 0 3 6 0
x az a ax y
d d
y z x z
- - = + - =ì ì
í í- + = + - =î î
1) Tìm a để hai đường 1d và 2d chéo nhau. 
2) Với 2a = ,viết phương trình mặt phẳng (p) chứa 2d và song song với 1d . 
Tính khoảng cách giữa 1d và 2d khi 2a = . 
73) Dự bị B-1 2002 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 
2 1 0
: vµ mÆt ph¼ng (P) : 4 2 1 0.
2 0
x y z
x y z
x y x
+ + + =ì
D - + - =í + + + =î
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng D trên mặt phẳng (P). 
74) Dự bị B-2 2002 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3 0x y z- + + = và 
hai điểm ( ) ( )1 3 2 5 7 12A ; ; , B ; ;- - - - . 
1) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). 
2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất.