Đề thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh - Toán 12

ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI TỈNH - TOÁN 12
 (Thêi gian lµm bµi 180 phót)
Bài 1: Cho hệ phương trình:
Với điều kiện nào của a thì hệ có nghiệm.
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh:
Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm:
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao bằng h. (P) là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC, (P) cắt SB,SC,SD lần lượt .
 1. h ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó thuéc c¹nh SC khi ®ã tÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
 2. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp . 
Bµi 5: a, b, c lµ ba sè thùc chøng minh r»ng :
®¸p ¸n ®Ò thi chän häc sinh giái 12
------------------------------
§¸p ¸n 
Bµi 1 (4 ®iÓm) 
 §Æt 
 ®iÒu kiÖn *
®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
(1)
S1=
1/ as,p
S= tháa m·n
2/a< khi ®ã S= tháa m·n
3/ khi ®ã S= thÕ vµo
 ()2
VËy víi nh÷ng gi¸ trÞ: hoÆc a8 
Bµi2 (4 ®iÓm) :
+
Vai trß nh­ nhau
§¨t f(x) = x
=
¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cosx+cosx+ f(x) hµm ®ång biÕn xf(x)f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C
A.B,C nhän do ®ã f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vËy bÊt ®¼ng thø ®­îc chøng minh
Bµi 3 (4 ®iÓm )
 §Æt t = cosx ®iÒu kiÖn XÐt hµm sè f(x)= t4 +(1-t)4 
T×m gi¸ trÞ lín vµ nhá nhÊt trªn 
f’(x)=4t3 - 4(1-t)3
f’(x)=0 khi t=
f(1) =1; f(-1) = 17 ; f() = vËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Bµi 4 (5 ®iÓm)
MÆt ph¼ng ®i qua A vu«ng gãc víi SCsÏ c¾t (SAC) theo ®­êng cao AC’ cña tam gi¸c SAC muèn cho ®iÓm C’ n¨m trªn SC thi gãc SAC nhän suy 
S
B	
H
K
C’’
C
A
D
ra HSC HC 
2 gäi k lµ giao ®iÓm cña ®­êng cao SH cña h×nh chãp víi AC’ta cã:
//BDVËy (P) c¾t (SBD) theo B’D’ ®i qua K vµ //BD .Nªn (P) c¸t h×nh chãp SABCD theo thiÕt diÖn lµ tø gi¸c AB’C’D’ cã 2 ®­êng chÐo vu«ng gãc lµ AC’ vµ B’D’ (Do B’D’ vu«ng gãc (SAC v× BD//B’D’)
 VËy diÖn tÝch thiÕt diÖn AB’C’D’ lµ
S = AC’ B’D’ mµ AC’.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra 
AC’ = = 
Tõ tÝnh chÊt trùc t©m tam gi¸c SAC cã : HK.HS = HA.HC
HK = 
theo tÝnh chÊt 2 tam gi¸c ®ång d¹ng SB’D’ vµ SBD
VËy S =
2/ H×nh chãp SAB’ C’D’ cã chiÒu cao lµ SC’ víi SC’.SC = SH.SK( v× tø gi¸c HCC’K néi tiÕp ®­îc) nªn:
SC’ =
VÇy thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’
2V = SC’.dt(AB”C’D’) == (§VTT)
Bµi 5( 3 §iÓm)
 (1)
 (*)
MÆt kh¸c 3 (**)
Céng vÕ cho vÕ ta ®­îc (1) ®iÒu ph¶i chøng minh