Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12 năm học 2005 - 2006

Sở giáo dục đào tạo Thanh hoá
 Trường THPT Bỉm Sơn
Đề đề nghị: bảng a
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12
Năm học 2005 - 2006
 (Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (4 điểm)
1) (Đề 48 I2 trong 150 đề tuyển sinh Đại học) 
Tìm trên đồ thị hàm số y = hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x -1
2) (Tự sáng tác)
Cho a, b, c ẻ R với a ạ 0 và m ẻN* thoả mãn: 
.
Chứng minh rằng:
Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt trục ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1).
Bài 2: (5 điểm)
1) (Tự sáng tác) 
Tìm tổng tất cả các nghiệm x ẻ [1;100] của phương trình:
Sin4x + Sin4 ( x + ) + Sin4 (x + 
2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003)
Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 3: (4 điểm)
1) (Toán Bồi dưỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải - Phan Huy Khải)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 
(Tự sáng tác)
Giải phương trình: 3x2 + 1 + log2006 
Bài 4: (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học 2000-2001)
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng D: 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng D bằng là một Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.
2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ - Trần Khắc Bảo)
Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1, V thứ tự là thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số .