Bài tập Tổ hợp - Phần: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

 §2 . HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 
 TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1) Hoán vị : 
 Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó được gọi là một 
 hoán vị của n phần tử đó 
 Số hoán vị của n phần tử : Pn = n! = 1.2.3..n 
 2) Chỉnh hợp : 
 Cho tập A gồm n phần tử và k là số tự nhiên (1 £ k £ n). Kết quả của việc lấy k 
 phần tử khác nhau thuộc A và sắp xếp theo một thứ tự nào đó dược gọi là một chỉnh 
 hợp chập k của n phần tử 
 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : A = = n(n - 1)(n - k + 1) 
 3) Tổ hợp : 
 Cho tập A gồm n phần tử (n ³ 1) và số tự nhiên k £ n. Mỗi tập con gồm k (0 £ k £ n) 
 phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A 
 Số tổ hợp chập k của n phần tử : C = 
 Để giải bài toán tổ hợp có hiệu quả ta phải phân biệt 2 khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp 
 Một chỉnh hợp là một bộ sắp thứ tự (có tính thứ tự) có nghĩa là cùng một số phần tử nhưng sắp theo thứ tự khác nhau cho ta các đối tượng khác nhau 
 Một tổ hợp là một tập con vì vậy không có tính thứ tự 
 VD1 : Thầy giáo muốn chọn trong 10 học sinh ra 3 học sinh để 
 a) Thành lập ban cán sự lớp. Có bao nhiêu cách chọn ? 
 b) Thành lập ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư kí. Có bao nhiêu 
 cách chọn ? 
 HD
 a) Chọn 3 bạn vào ban cán sự lớp, rõ ràng cách chọn nầy không có tính thứ tự vì vậy mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 10 Þ có = 120 cách chọn 
 b) Chọn 3 học sinh để thành lập ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư kí 
 rõ ràng cách chọn nầy có tính thứ tự , ví dụ như chọn ra 3 học sinh A, B, C việc A nhận lớp trưởng khác với B nhận lớp trưởng, khác với C nhận lớp trưởng. Tương tự như chọn trong 10 học sinh ra 3 học sinh ngồi vào 3 vị trí đã đánh số khác nhau. Như vậy mỗi cách chonï là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử Þ có = 720 cách chọn 
 VD2 : Từ các chữ số 1, 2, 3, ..., 9 
 a) Ta chọn ra 3 chữ số khác nhau từng đôi. Có bao nhiêu cách chọn ? 
 b) Ta viết một số gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi. Có bao nhiêu số ? 
 HD
 a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 9, vậy có = 84 số 
 b) Với cùng 3 chữ số a, b, c ta viết theo thứ tự khác nhau cho những số khác nhau 
(VD : 123 rõ ràng khác với 321). Vì vậy mỗi cách viết mỗi số là một chỉnh hợp chập 3 của 9, vậy có = 504 số 
 Có thể lí luận cách khác như sau :
 Công việc viết một số gồm 3 chữ số được tiến hành qua 2 bước như sau :
 Bước 1 : Chọn ra 3 chữ số từ 9 chữ số : có C cách chọn 
 Bước 2 : Viết 3 chữ số đã chọn trên vào 3 vị trí (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) : Có P3 cách viết 
 Theo qui tắc nhân có : C P3 = 504 số 
 Vì vậy ta có : C P3 = 
 VD3 : Một chi đoàn thanh niên có 50 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3
 đoàn viên phụ trách ba nhóm thiếu nhi (mỗi đoàn viên phụ trách một trong ba nhóm) 
 HD 
 Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 50 Þ có= 117600 cách phân công 
 Có thể lí luận như sau : Công việc phân công được thực hiên qua 2 bước :
 Bước 1 : Chọn 3 đoàn viên trong 50 đoàn viên : có cách chọn 
 Bước 2 : Phân công 3 đoàn viên phụ trách ba nhóm thiếu nhi : có P3 cách
 Theo qui tắc nhân có : P3 = cách phân công 
 I. NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP 
 BT1 : a) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 khách vào 10 ghế nếu các
 ghế được xếp thành dãy?
 b) Hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế được xếp 2 bên một chiếc bàn 
 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn lớp A và 5 bạn lớp B sao cho :
 i) Không có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau ?
 ii) Không có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau ?
 HD 
 a) Mỗi cách sắp xếp như vậy là một hoán vị của 10 
 Vậy có P10 = 3628800 cách sắp xếp 
 b) i) Để sắp xếp thoả mãn không có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau ta sắp xếp như sau :
 · Sắp 5 bạn lớp A ngồi vào dãy thứ nhất và 5 bạn lớp B vào dãy thứ 2 
 · Đổi chỗ 2 bạn ngồi đối diện cho nhau 
 - Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp A ngồi vào dãy thứ nhất 
 - Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp B ngồi vào dãy thứ hai
 - Mỗi cặp học sinh ngồi đối diện có 2 cách đổi chỗ, vì vậy có 25 các đổi chỗ 2 bạn ngồi đối diện 
 Theo qui tắc nhân có P5 P5 25 = 460800 cách sắp xếp 
 ii) Để sắp xếp thoả không có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau ta xếp 5 bạn cùng lớp vào mỗi dãy :
 · Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp A vào dãy thứ nhất
 · Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp B vào dãy thứ hai 
 Theo qui tắc nhân có (P5)2 cách 
 Tương tự nếu xếp 5 bạn lớp A vào dãy thứ 2 và 5 bạn lớp B vào dãy thứ hai ta lại có (P5)2 cách 
 Theo qui tắc cộng ta có : 2(P5)2 = 28800 cách sắp xếp
 BL1 : Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 khách vào 10 ghế nếu các ghế được xếp thành dãy?
 HD : Mỗi cách sắp xếp là 1 chỉnh hợp chập 5 của 10 
 BL2 : Cần sắp xếp một lớp học có 20 học sinh nam và 20 học sinh nữ đứng thành 1 hàng dọc 
 a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? 
 b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 học sinh cùng giới tính không được đứng kề nhau? 
 HD : Đánh số hàng dọc từ 1 đến 40 
 a) P40 
 b) Số học sinh nam đứng ở vị trí đánh số chẵn, số học sinh nữ đứng ở vị trí lẻ P5P5 cách 
 Số học sinh nam đứng ở vị trí đánh số lẻ, số học sinh nữ đứng ở vị trí chẵn P5P5 cách
 Theo qui tắc cộng có 2(P5)2 cách
 BT2 : Có bao nhiêu số điên thoại gồm 7 chữ số mà chữ số đầu tiên là 8 và sao cho 
 a) Các chữ số có thể lặp lại b) Không có chữ số được lặp lại 
 HD
 a) Sáu chữ số còn lại mỗi chữ số có 10 cách chọn. Theo qui tắc nhân có 106 số điện thoại
 b) Sáu chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 
 Vậy có A = 60480 số điện thoại
 BT3 : Một tổ có 6 nam và 4 nữ 
 a) Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 bạn làm trực nhật ?
 b) Cũng hỏi như trên, nhưng trong 3 bạn phải có ít nhất 1 nam 
 HD 
 a) Có tất cả 10 bạn, chọn ra 3 bạn để trực nhật, mỗi cách chọn là 1 tổ hợp chập 3 của 10 học sinh 
 Vậy có C = 120 cách phân công 
 b) Các trường hợp xảy ra :
 TH1 : 1 bạn nam và 2 bạn nữ 
 Có 6 cách chọn 1 bạn nam, có C cách chọn 2 bạn nữ, theo qui tắc nhân có : 6 C cách phân công 
 TH2 : 2 bạn nam và1 bạn nữ : có 4C cách phân công 
 TH3 : 3 bạn nam : Có C cách phân công 
 Theo qui tắc cộng có : 6C + 4C + C = 116 cách phân công 
 Có thể giải cách khác (thường gọi là cách lấy bù) như sau :
 Theo câu a có C cách phân công 3 bạn trực nhật 
 Nếu phân công 3 nữ thì có C cách 
 Vậy có C - C cách phân công 3 bạn trực nhật trong đó có ít nhất một bạn nam 
 BL : Một nhóm học sinh gồm 7 nam, 3 nữ. Thầy giáo muốn chọn 5 em trong nhóm để làm công tác xã hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu :
 a) Chọn 5 em tuỳ ý b) Phải có 2 nữ và 3 nam 
 c) Phải có ít nhất 2 nữ 
 ĐS : a) Có cách chọn 
 b) Có 3 nữ, chọn ra 2, số cách chọn là 
 Có 7 nam, chọn 3, số cách chọn là 
 Theo qui tắc nhân có cách chọn 
 c) Có + cách chọn 
 BT4 : Gỉa sử có mạng giao thông như hình bên sao cho các ô nhỏ đều là hình 
 vuông 
 a) Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất từ A đến B ?
 b) Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất từ A qua C đến B ? 
 HD 
 a) Mọi con đường đi ngắn nhất từ A đến B B
là các đường gấp khúc nối A với B sao cho 
trên mỗi đoạn nhỏ ta phải đi từ trái sang phải C
hoặc từ dưới lên trên. Như vậy ta phải đi 
sang phải qua 4 đoạn, lên trên 3 đoạn trong 
số 7 đoạn . Vì vậy số con đường ngắn nhất
 từ A đến B là C = C = 35 A
 b) Tương tự số đường đi ngắn nhất từ A đến 
C là C, số đường ngắn nhất từ C đến B là C.Theo qui tắc nhân số đường ngắn nhất cần tìm là CC = 18 
 BT5 : Cho tập hợp A = {a1, a2, , a10}
 1) Tính các tập con gồm 5 phần tử của A sao cho mỗi tập con đó 
 a) Chứa a1 và a2 b) Chứa a1 không chứa a2 
 c) Chứa a2 không chứa a1 d) không chứa a1 lẫn a2 
 2) Dựa vào câu 1 chứng minh rằng 
 C = C + 2C + C 
 3) Chứng minh rằng với 2 £ k £ n - 2 : 
 C = C + 2C + C 
 HD
 1) 
 a) Đểâ có một tập con chứa 5 phần tử của A và luôn chứa a1 và a2, ta chọn 3 phần tử bất kì trong 8 phần tử còn lại của A (trừ a1 và a2), vậy mỗi tập con như thế là một tổ hợp chập 3 của 8 Þ Có C = 56 tập con gồm 5 phần tử và luôn có a1 và a2 
 b) Đểâ có một tập con chứa 5 phần tử của A luôn chứa a1 và không chứa a2 ta chọn 4 phần tử trong 8 phần tử của A (trừ a1 và a2), vậy có C= 70 tập con 
 c) Tương tự câu b có C= 70 tập con 
 d) Để có tập con 5 phần tử của A không chứa a1 lẫn a2, ta chọn 5 trong 8 phần tử của A (trừ a1 và a2) vậy có C = 56 tập con
 2) Gọi B là số tập con gồm 5 phần tử của A. C, D, E, F lần lượt là số tập con trong các câu a, b, c, d 
 Ta có : B = C È D È E È F và C, D, E, F đôi một không giao nhau, hơn nữa 
N(B) = C
 Theo qui tắc cộng ta có : 
 N(B) = N(C) + N(D) + N(E) + N(F) 
 Hay
 C = C + 2C + C (đpcm) 
 3) Giải tương tự như câu 2 
 Cho tập A gồm n phần tử a1, a2, .., an 
 Tính các tập con gồm k phần tử của A sao cho mỗi tập con đó 
 a) Chứa a1 và a2 b) Chứa a1 không chứa a2 
 c) Chứa a2 không chứa a1 d) Không chứa a1 lẫn a2 
 Gọi B Í A : a1, a2 Ỵ B và N(B) = k; C Í A : a1 Ỵ C, a2 Ï C và N(C) = k; D Í A :
 a2 Ỵ D, a1 Ï D và N(D) = k; E Í A : a1, a2 Ï E và N(E) = k
 Số tập B là C, số tập C là C, số tập D là C, số tập E làC
 Gọi T là tập con gồm k phần tử của A, số tập hợp T là C. 
 Vì T = B È C È D È E và B, C, D, E đôi một không giao nhau, vì vậy theo qui tắc cộng 
 C = C + 2C + C
 CHÚ Y Ù : Có thể chứng minh trực tiếp đẳng thức trên dựa vào công thức 
 C = 
 BL : Cho tập A ={a1; a2;  ; a20} .
 1) Tính mỗi tập con gồm 10 phần tử của A sao cho mỗi tập con đó:
 a) Chứa a1, a2, a3 b) Chứa a1, a2 không chứa a3
 c) Chứa a1 không chứa a2 lẫn a3 d) Không chứa a1 lẫn a2 lẫn a3 
 2) Chứng minh 
 = + 3 + 3C + C
 3) Tổng quát câu 2 theo hướng của bài toán 6
 BT6 : Một tổ hợp có 50 xe ô tô chất lượng khác nhau, trong một ngày cần phân 10 xe 
 đi đến thành phố A, 20 xe đi đến thành phố B, 5 xe đi đến thành phố C. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ... á mệnh đề sau đây :
 Số cách viết m chữ số khác nhau vào n vị trí định trước là nếu n ³ m (ở 
 n - m vị trí còn lại không thay đổi chữ số ) là nếu n £ m ( các vị trí phải có chữ số 
 khác nhau)
 BT1 : (Bài toán tạo số không có chữ số 0) Từ các chữ số 1, 2, 3,.., 9 có thể viết
 được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi và :
 1) Chia hết cho 2 2) Luôn có mặt các chữ số 1, 2, 3 
 3) Gồm 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ 4) Gồm ít nhất 3 chữ số lẻ 
 5) Gồm 2 chữ số chẵn 3 chữ số lẻ sao cho 2 chữ số chẵn đứng kề nhau 
 6) Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho luôn có mặt hai chữ số 1, 2 và không 
 đứng kề nhau 
 HD 
 Gọi số cần viết là x = 
 1) x chia hết cho 2 Û a5 Ỵ Þ có 4 cách chọn a5 
 Còn 4 vị trí và 8 chữ số, nên có cách viết 8 chữ số vào 4 vị trí còn lại (a2, a3, a4, a5)
 Theo qui tắc nhân có : 4 = 6720 số chia hết cho 2 
 2) Để bảo đảm luôn có mặt 3 chữ số 1, 2, 3, trước hết ta viết 3 chữ số 1, 2, 3 vào 5 vị trí a1, a2, a3, a4, a5 số cách viết là 
 Còn lại 6 chữ số và 2 vị trí, số cách viết là 
 Theo qui tắc nhân có = 1800 số 
 3) Ta chọn ra 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, sau đó viết 5 chữ số đã chọn nầy vào 5 vị trí a1, a2, a3, a4, a5 
 Có 4 chữ số chẵn, chọn ra 2 chữ số chẵn, số cách chọn là 
 Có 5 chữ số lẻ, chọn ra 3 chữ số lẻ, số cách chọn 
 Ta viết 5 chữ số đã chọn trên vào 5 vị trí a1, a2, a3, a4, a5 : số cách viết P5 
 Theo qui tắc nhân có P5 = 7200 số 
 4) Các trường hợp xảy ra :
 TH1 : Số các số gồm 3 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn : có P5 số (theo câu 3)
 TH2 : Số các số gồm 4 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn
 Giải tương tự như câu 3 ta có P5 số 
 TH3 : Số các số gồm 5 chữ số lẻ : có P5 số 
 Theo qui tắc cộng có P5 + P5 + P5 = 9720 số 
 5) Có cách chọn 2 chữ số chẵn
 Có 4.2 = 8 cách viết 2 chữ số chẵn đứng kề nhau vào 4 vị trí kề nhau (a1a2, a2a3, a3a4, a4a5)
 Có cách viết 3 chữ số lẻ vào 3 vị trí còn lại 
 Theo qui tắc nhân có 8 = 2880 số 
 6)
 Bước 1 : Tìm các số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi và luôn có mặt 2 chữ số 1, 2 
 Có cách viết 2 chữ số 1, 2 vào 5 vị trí, còn 7 chữ số và 3 vị trí nên có cách viết 7 chữ số vào 3 vị trí còn lại 
 Theo qui tắc nhân có số 
 Bước 2 : Tìm các số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi và luôn có mặt 2 chữ số 1, 2 đứng kề nhau 
 Có 4.2 = 8 cách viết 1, 2 vào 4 vị trí kề nhau (a1a2, a2a3, a3a4, a4a5)
 Còn 7 chữ số và 3 vị trí nên có cách viết 
 Theo qui tắc nhân có 8 số 
 Vậy có - 8 = 2520 số thỏa yêu cầu bài toán 
 BT2 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số gồm 6 chữ số khác nhau 
 a) Có bao nhiêu số cả thảy ?
 b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
 c) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 432000?
 HD
 a) Mỗi số là một hoán vị của 6 
 Vậy có P6 = 6! = 720 số 
 b) Gọi các số phải tìm có dạng x = 
 Vì x là số tự nhiên chẵn nên gỴ{2; 4; 6} vậy có 3 cách chọn g 
 Còn 5 vị trí và 5 chữ số nên có P5 cách viết 
 Theo qui tắc nhân có 3P5 = 360 số tự nhiên chẵn 
 Tương tự có 3P5 = 360 số tự nhiên lẻ 
 c) Các trường hợp xảy ra 
 TH1 : Nếu chữ số đầu tiên a là 1; 2; 3 (3 cách chọn a) thì 5 chữ số còn lại có thể chọn tuỳ ý sao cho chúng khác nhau và khác với chữ số đầu tiên a nên có P5 cacùh chọn. Theo qui tắc nhân có : 3P5 = 360 số 
 TH2 : Nếu chữ số đầu tiên a là 4 (1 cách chọn a), chữ số thứ hai b là1 hoặc 2 (2 cách chọn b) thì có P4 cách viết các chữ số còn lại theo qui tacé nhân có : 2P4 = 48 số 
 TH3 : Nếu chữ số đầu tiên là 4, chữ số thứ 2 hai b là 3, chữ số thứ ba c chỉ có thể là 1 thì có P3 = 6 cách chọn 3 chữ số còn lại 
 Theo qui tắc cộng số các số cần tìm là: 360 + 48 + 6 = 414 số 
 BT3 : (Bài toán thành lập số từ các chữ số chứa chữ số 0) : Từ các chữ số 0, 1, 2, 
 3,.., 9 có thể viết được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi và :
 1) Chia hết cho 2 
 2) Luôn có mặt các chữ số 1, 2, 3 
 3) Gồm 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ 
 4) Gồm 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ sao cho 2 chữ số chẵn đứng kề nhau 
 5) Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho luôn có mặt ba chữ số 1, 2, 3 và đứng
 kề nhau 
 HD
 Gọi số cần viết là x = 
 1) Cách 1 : x chia hết cho 2 Û a5 Ỵ 
 TH1 : a5 = 0 :
 Còn 9 chữ số và 4 vị trí nên có cách viết 
 Vậy có số 
 TH2 : a5 Ỵ : có 4 cách chọn a5 
 Vì a1 ¹ 0, nên có 8 cách chọn a1
 Còn 3 vị trí và 8 chữ số nên có cách viết 
 Theo qui tắc nhân có .4.8= 32 số 
 TH1 và TH2 theo qui tắc cộng có + 32 = 13776 số 
 Có thể giải cách khác như sau : 
 Cách 2 :
 · Xét số x kể cả a1 = 0
 Có 5 cách chọn a5 (0; 2; 4; 6; 8) và A cách chọn a1a2a3a4, theo qui tắc nhân có 5A số x kể cả a1 = 0 
 · Xét số x với a1 = 0.
 Có 4 cách chọn a5 (2; 4; 6; 8) và A cách chọn a2a3a4, theo qui tắc nhân có 4A số x với a1 = 0 
 Vậy số các số phải tìm là : 5A - 4A = 13776 
 2) 
 Cách 1 : 
 Bước 1 : Ta tính số các số tạo thành chứa chữ số 0 
 Có 4 cách chọn vị trí để viết chữ số 0 ( a2 a3a4 a5 ), còn 4 vị trí nên có cách viết 3 chữ số 1, 2, 3. Còn 1 vị trí và 6 chữ số nên có 6 cách viết vị trí còn lại 
 Theo qui tắc nhân có 4..6 = 24 số 
 Bước 2 : Ta tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0 
 Có cách viết 3 chữ số 1, 2, 3 vào 5 vị trí (a1a2a3a4a5); còn 6 chữ số và 2 vị trí nên có cách viết cách viết 6 chữ số vào 2 vị trí còn lại 
 Theo qui tắc nhân có số 
 Kết hợp 2 bước, theo qui tắc cộng có 24 + = 2376 số 
 Cách 2 : 
 Xét số x kể cả a1 = 0 
 Có cách viết 3 chữ số 1, 2, 3 vào 5 vị trí a1 a2 a3 a4 a5 . Còn 7 chữ số và 2 vị trí nên có số . Theo qui tắc nhân có số x kể cả a1 = 0 
 Xét số x với a1 = 0 
 Có cách viết các chữ số 1, 2, 3 
 Có 6 cách viết 6 chữ số còn lại vào 1 vị trí còn lại 
 Theo qui tắc nhân có 6 số x với a1 = 0 
 Vậy có - 6= 2376 số 
 3) Có nhiều cách giải bài toán trên, xin nêu ra đây 2 cách giải :
 Cách 1 : Xét 2 trường hợp
 TH1 : a1 chẵn : có 4 cách chọn a1 (vì a1 ¹ 0)
 Còn 4 chữ số chẵn và 5 chứ số lẻ, nên có 4 cách chọn 1 chữ số chẵn và cách chọn 3 chữ số lẻ, ta viết 4 chữ số đã chọn trên vào 4 vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết . Theo qui tắc nhân có 4.4P4 = 16P4 số 
 TH2 : a1 lẻ : có 5 cách chọn a1 
 Còn 4 chữ số lẻ và 5 chứ số chẵn, nên có cách chọn 2 chữ số lẻ và cách chọn 2 chữ số chẵn, ta viết 4 chữ số đã chọn trên vào 4 vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết . Theo qui tắc nhân có 5.P4
 Kết hợp 2 TH ,theo qui tắc cộng có 16P4 + 5.P4 = 11040 số 
 Cách 2 : Xét số x kể cả a1 = 0 
 Có cách chọn 2 chữ số chẵn
 Có cách chọn 3 chữ số lẻ
 Có P5 cách viết 5 chữ số đã chọn trên vào 5 vị trí a1a2a3a4a5 
 Theo qui tắc nhân có P5 số x kể cả a1 = 0
 Xét số x với a1 = 0 
 Còn 4 chữ số chẵn và 5 chứ số lẻ, nên có 4 cách chọn 1 chữ số chẵn và cách chọn 3 chữ số lẻ, ta viết 4 chữ số đã chọn trên vào 4 vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết . Theo qui tắc nhân có 4P4 số x với a1 = 0 
 Vì vậy có P5 - 4P4 số 
 4) Xét 2 trường hợp :
 TH1 : a1 chẵn Þ có 4 cách chọn a1 
 Vì a2 chẵn nên có 4 cách chọn a2 
 Có 5 chữ số lẻ và 3 vị trí a3a4a5 nên có cách viết 
 Theo qui tắc nhân có : 4.4. = 16 số 
 TH2 : a1 lẻ : có 5 cách chọn a1 
 Còn 4 số lẻ và 5 số chẵn 
 Có cach chọn 2 chữ số chẵn 
 Có 3.2 = 6 cách viết 2 chữ số chẵn đứng kề nhau vào 3 vị trí a2a3, a3a4, a4a5 
 Còn 2 vị trí và 4 chữ số lẻ nên có cách viết 
 Theo qui tắc nhân có 5..6. 
 Kết hợp 2 TH theo qui tắc cộng ta có : 16 + 30 = 4560 số 
 5) Ta tính số các số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi, trong đó luôn có mặt ba chữ số 1, 2, 3 đứng kề nhau
 Có 2 trường hợp viết 1, 2, 3 
 TH1 : 1, 2, 3 ở các vị trí a1a2a3
 Có P3 cách viết 1, 2, 3. Còn 7 chữ số và 2 vị trí, nên có A cách viết. Theo qui tắc nhân có P3A số 
 TH2 : 1, 2, 3 ở các vị trí a2a3a4 hoặc a3a4a5 
 Có 2.P3 cách viết các chữ số 1, 2, 3 
 Có 6 cách viết a1. Còn 6 chữ số và 1 vị trí còn lại, nên có 6 cách viết
 Theo qui tắc nhân có 2.P3 36 số 
 Kết hợp 2 trường hợp, theo qui tắc cộng , số các số phải tìm là : 
 P3A + 72.P3 = 684 số 
 Có thể giải cách khác như sau : 
 Xét số x kể cả a1 = 0 
 Có 3 vị trí để viết 1, 2, 3; ở mỗi vị trí có P3 cách viết
 Còn 7 chữ số và 2 vị trí nên có A cách viết 
 Theo qui tắc nhân có 3 P3 A số x kể cả a1 = 0 
 Xét số x với a1 = 0 
 Có 2.P3 cách viết 1, 2, 3. Có 6 cách viết chữ số còn lại 
 Theo qui tắc nhân có 12P3 dãy (*) 
 Vậy có 3P3 A - 12P3 = 684
 BL : 1) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho các số đó 
 a) Luôn có mặt các chữ số 1, 2, 3, 4
 b) Luôn có mặt các chữ số 1, 2, 3, 0 
2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể viết được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi và chia hết cho 
 a) 2 b) 4 
 3) Có 20 học sinh gồm 6học sinh giỏi toán , 7 học sinh giỏi lý, 7 học sinh giỏi hoá 
Người ta muốn xếp 20 học sinh trên đứng vào 1 hàng dọc sao cho các học sinh giỏi cùng bộ môn phải đừng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy :
 4) Có 5 quyển sách văn, 9 quyển sách toán, 10 quyển sách tiếng anh khác nhau từng đôi. Có bao nhiêu cách sắp xếp 2 quyển sách văn, 2 quyển sách toán, 2 quyển sách tiếng anh vào 1 kệ dài sao cho các quyển sách cùng loại mằm kề nhau 
 5) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể viết được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi gồm 2 chữ số chẵn và 3 lẻ sao cho 3 chử số lẻ đứng kề nhau 
 6) Có bao nhiêu dãy số gồm 7 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn 
 HD : Có tất cả 106 dãy số gồm 6 chữ số 
 Xét 10 dãy số liên tiếp nhau có hàng đơn vị từ 0 đến 9. Dễ thấy số lượng các dãy số có tổng các chữ số là lẻ bằng số các dãy số có tổng các chữ số là số chẵn và bằng 5
 Vậy có tất cả 5. 106 dãy số cần tìm 
 7) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ 
 8) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số chẵn
 9) Trong vòng loại giải đấu bóng bàn có 100 người tham gia được phân thành 50 cặp đấu, hỏi có bao nhiêu cách phân cặp thi đấu khác nhau của 100 người trên