Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 12 thpt năm học 2011 – 2012 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.
Tìm m để hàm số có cực đại.
Câu 2 (2 điểm)
Giải phương trình 
Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2 điểm)
Chứng minh . Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số .
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.
M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh
Hết.
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1:.Chữ ký của giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M
1,00
. 
0,25
Tiếp tuyến của (C) tại M có pt 
Tiệm cận đứng có phương trình 
Tiệm cận ngang có phương trình 
0,25
, 
0,25
 (không phụ thuộc vào a, đpcm)
0,25
2
Tìm m để hàm số có cực đại
1,00
TXĐ: , 
(I)
0,25
TH 1. nên suy ra hàm số đồng biến trên , không có cực trị. 
0,25
TH 2. 
 là điểm cực tiểu loại
0,25
TH 3. 
 là điểm cực đại.
Vậy hàm số có cực đại 
0,25
II
1
Giải phương trình (1)
1,00
Đặt . (1) có dạng: (2)
0,25
Xét hàm số 
; 
0,25
 Vậy 
0,25
hay (1) ()
0,25
2
Giải hệ phương trình 
1,00
ĐK: . 
0,25
Kết hợp với (2) ta được 
0,25
0,25
Thử lại ta có và thỏa mãn hệ pt
Vậy hệ có 2 nghiệm như trên
0,25
III
1
Chứng minh .
1,00
Xét hàm số trên 
Vì cùng dấu với . Bảng biến thiên của 
x
0
-
0
+
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên 
. Tương tự, cộng lại ta được
Kết hợp với ta có đpcm
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
1,00
TXĐ: . Đặt . Bình phương ta được . Dấu bằng có khi x=
Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có
.D bằng có khi x=0
Do 
Khi đó 
 (loại)
.
Vậy khi x=0, khi x=
0,25
0,25
0,25
0,25
IV
1
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a
1,50
Tương tự 
0,25
0,25
 (1)
 (2)
0,25
0,25
Do 
0,25
Cộng (1) và (2) theo vế ta được
0,25
2
Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN
1,50
( Hình vẽ trang cuối)
. Đặt ; 
Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho 
0,25
 (*)
0,25
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được
0,25
0,25
Thế vào (*) ta được 
Đặt 
.
0,25
, 
, 
Vậy khi 
 khi 
0,25
V
1,00
 ta có 
0,25
0,25
0,25
Tương tự, cộng lại ta được
Đẳng thức xảy ra 
0,25