Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh môn: Toán

GV: NGễ TÙNG LÂM
Đấ̀ 13
--------------------
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
 NĂM HỌC 2012-2013
 Mụn : Toỏn
Thời gian làm bài : 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
 ------------------------------
Cõu 1. (5.0 điểm) 
 a) Giải hệ phương trỡnh 
 b) Giải phương trỡnh sau : 
Cõu 2. (4 điểm )
 a) Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 ,
 Tìm MaxP , 
 b) 
Cõu 3. (4,0 điểm)
a) Cho dãy số với x0=1 ; x1=4; xn+2=5xn+1-6xn+2 với mọi n tự nhiên.
Hãy xác định số hạng tổng quát xn.
b) cho dãy số (Un) xác định bởi: 
 Hãy tính
Cõu 4.(5.0 điểm)
 Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1. Đoạn thẳng AA1 cắt đường tròn nội tiếp tam giác ABC tại giao điểm thứ hai Q. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Các đường thẳng A1C1, A1B1 lần lượt cắt d tại P, R. Chứng minh các góc PQR và B1QC1 bằng nhau.
Cõu 5 ( 2 điểm) 
Trong khụng gian cho 2003 điểm mà khụng cú ba điểm nào thẳng hàng và khụng cú bốn điểm nào đồng phẳng. Người ta nối mỗi điểm với ớt nhất 1600 điểm khỏc bằng cỏc đoạn thẳng. Hóy tỡm số n lớn nhất sao cho tồn tại n điểm đụi một được nối với nhau bằng đoạn thẳng.
.................................Hết:...............................
GV: NGễ TÙNG LÂM
Đấ̀ 13
--------------------
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
 NĂM HỌC 2012-2013
 Mụn : Toỏn
 Hướng giõ̃n giải
 ------------------------------
Cõu I. (5,0 điểm) 
a) Điều kiện : . Chia cả hai vế của phương trỡnh (1) cho 
. Hàm số : .
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Cho nờn để cú (*) thỡ chỉ xảy ra khi 
Thay vào phương trỡnh (2) ta được : 
Vậy hệ cú nghiệm là : (x;y)=(1;-1)
b) ĐK . Pt (1) 
Do x=-2 khụng là nghiệm của pt(1) nờn chia cả 2 vế cho x+2 ta được: 
Đặt ĐK . Phương trỡnh (1) 
* Với. pt VN
*Với t=2 PT cú nghiệm 
Cõu 2. (4 điểm )
a)
 Mà 
Nờn 
b) Áp dụng BĐT : 
Ta cú 
Tương tự
Tương tự 
Từ (1) ;(2) ;(3) ta cú 
Vỡ 
Cỏch 2
áp dụng với a.b, c không âm và A,B dương. Dấu "=" xảy ra khi ta có: 
 (1) Dấu "=" xảy ra khi 
Tương tự ta có:
(2) Dấu "=" xảy ra khi 
 (3) Dấu "=" xảy ra khi 
Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta được:
Lại có 3(xy+yz+zx) (x+y+z)2.
(ĐPCM) Dấu "=" xảy ra khi 
Cỏch 3
Ta cú:
Tương tự:
Cộng vế cỏc bất đẳng thức trờn, ta được:
Ta chỉ cần chứng minh:
Thật vậy:
Tương tự: 
Suy ra (Điều phải chứng minh).
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Cõu 3. (4,0 điểm)
a) + Ta tìm số a sao cho xn+2=5xn+1-6xn+2 xn+2+a=5(xn+1+a)-6(xn+a).
 xn+2=5xn+1-6xn-2a. Vậy ta chọn a=-1.
Khi đó xn+2=5xn+1-6xn+2 xn+2-1=5(xn+1-1)-6(xn-1). (1) 
Với mỗi n ta đặt un=xn-1 khi đó (1) un+2=5un+1-6un với u0=0; u1=3.
Phương trình đặc trưng của dãy số này là x2-5x+6 = 0 x1=2 và x2=3.
Do đó ta được: un=C1.2n + C2.3n.
Cho n=0, 1 ta được: C1=-3; C2=3 và ta được un=-3.2n + 3.3n.
Vậy xn = -3.2n + 3.3n +1.
b) *Bằng quy nạp ta chứng minh được: 
 *Nếu dãy (Un) bị chặn trên thì nó hội tụ. Đặt 
 Từ cho ta được :
 không bị chặn trên 
A1
B
C
P
C1
B1
A
Q
R
 * giả thiết 
Cõu 4.(5.0 điểm) 
Ta có
Suy ra , suy ra tứ giác QARB1 là tứ giác nội tiếp nội tiếp.
Tương tự tứ giác QAPC1 là tứ giác nội tiếp nội tiếp.
Suy ra 
Cõu 5 ( 2 điểm ):
Gọi a1, a2, a3,  , a2003 là cỏc điểm đó cho. Gọi A1 , A2 ,  A2003 là cỏc tập hợp cỏc điểm được nối với cỏc điểm tương ứng a1, a2, a3,  , a2003. Theo giả thiết thỡ 
 1600 với i=1,2,2003.
Xột 2 điểm a1, a2 chẳng hạn được nối với nhau:
Ta cú = +-1600+1600-2003 =1197.
Chứng tỏ cú ớt nhất 1197 điểm mà mỗi điểm đều được nối với a1, a2. Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả thiết trong 1197 điểm này cú điểm a3, khi đú 3 điểm a1, a2, a3 đụi một được nối với nhau. 
Xột: = +-1197+1600-2003 =794
Chứng tỏ cú ớt nhất 794 điểm mà mỗi điểm đều được nối với a1, a2 ,a3. Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả thiết trong 794 điểm này cú điểm a4, khi đú 3 điểm a1, a2, a3 ,a4 đụi một được nối với nhau 
Xột: =+- 794+1600-2003 = 391
Chứng tỏ cú ớt nhất 391 điểm mà mỗi điểm đều được nối với a1, a2, a3, a4 . Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả thiết trong 391 điểm này cú điểm a5, khi đú 5 điểm a1, a2, a3, a4, a5 đụi một được nối với nhau. Do vậy n5. (1)
Bõy giờ ta chỉ ra một cỏch nối mà bất kỳ 6 điểm nào cũng tồn tại 2 điểm khụng được nối với nhau:
 Xột cỏch nối sau: Nối tất cả cỏc cặp điểm am, ak mà m và k khụng đồng dư với nhau (mod 5).Khi đú, 
vỡ = 400 nờn suy ra mỗi điểm sẽ được nối với 1600 hoặc 1601 điểm khỏc. Như vậy cỏch nối trờn thoả món điều kiện bài toỏn. 
Với cỏch nối này: Xột 6 điểm bất kỳ, hiển nhiờn trong 6 điểm đú luụn tồn tại hai điểm Ai, Aj mà i º j(mod 5). Suy ra n < 6 . (2) 
Từ (1) và (2) suy ra n=5.