Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lạng Sơn lớp 12 năm học 2011 - 2012 môn thi: Toán lớp 12 thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi : Toán lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/10/2011
(Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu)
Câu 1 (4 điểm)
 Giải phương trình 
Câu 2 (4 điểm)
 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y = 2x + 3 góc 450 .
Câu 3 (4 điểm)
 Cho dãy số (xn) thỏa mãn ()
 Đặt . Tính Limun .
Câu 4 (4 điểm)
 Cho 3 số dương a, b, c thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
Câu 5 (4 điểm)
 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.
 a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) theo a.
 b. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'.
-----------------------------Hết-----------------------------
Đáp án Đề HSG Lạng Sơn 2011 lớp 12
Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình: .do nên 1+6x > . Đặt u = 1+6x, v =, khi đó phương trình cho trở thành hay u – 2v = ± 3.
*) u – 2v = 3 ta được 
*) u – 2v = -3 ta được 
Phương trình có 2 nghiệm x = 1, 
Câu 2(4điểm) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu. Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y= 2x + 3 một góc 450.
Giải . Tập xác định của hàm số: D = R
y’ = 3x2 +6x- (m+1) để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay .
Ta có 
Do các hoành độ của các cực trị là nghiệm của y’ = 0 lên các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn đường thẳng 
Đường thẳng qua 2 cực trị tạo với đường thẳng y = 2x + 3 một góc 450 thì ta có
Câu 3 (4 điểm)
Cho dãy số (xn) thỏa mãn:
Đặt 
Xét hàm số đồng biến trên (7/2 ; +∞) nên x1 = 8 > 7/2 nên x2 >x1 tương tự ta có xn+1 >xn mọi ta chứng minh (xn ) là dãy không bị chặn trên. Thật vậy nếu dãy (xn ) bị chặn trên thì nó hội tụ về x > 8 hay phương trình có nghiệm x = 5 > 8 (mâu thuẫn). 
Ta có
Cho k chạy từ 1 đến n ta có vậy Limun =1/3
Câu 4 (4điểm) Đặt 
 x, y, z > 0 khi đó 
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopki cho 2 dãy số dương 
Ta được 
Vậy GTLN của P là 3/4 khi x= y = z hay a = b = c
Câu 5 (4điểm) 
Goi I là trung điểm của AB Khi đó A’I là đường cao của hình lăng trụ (giả thiết)
Ta có A’I = diện tích của tam giác ABC là 
 Ta có tam giác A’AC vuông tại A vì 
gọi E là trung điểm của A’C thì BE là đường cao của tam giác A’BC 
(vì A’B = BC = 2a) .
Diên tích tam giác A’BC 
Goi V là thể tích của khối chóp A’.ABC thì 
Góc giữa AA’ và B’C’ cũng là góc giữa AA’ và BC gọi là α ta có 
Trên đây là lời giải vắn tắt có gì sai sót mong các thầy cô góp ý. Cảm ơn thầy Hoàng Văn Thi đã đưa đề lên .