Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh An Giang năm học 2012 – 2013 môn: Toán (vòng 1) lớp 12

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 AN GIANG Năm học 2012 – 2013 
Môn : TOÁN (vòng 1) 
 Lớp : 12 
Thời gian làm bài : 180 phút 
 (Không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: (3,0điểm). 
Cho hàm số ( m là tham số) 
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và 
đồng thời tam giác cân tại với . 
Bài 2: (3,0 điểm) 
Giải phương trình : 
Bài 3: (3,0 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Bài 4: (4,0 điểm) 
Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Trong số các nghiệm này có bao nhiêu nghiệm trong đó đôi 
một khác nhau. 
Bài 5 : (3,0 điểm) 
 Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình 
hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều 
dương và hình thang có diện tích bằng 36. 
Bài 6: (4,0 điểm) 
 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình 
chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi. Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là 
lớn nhất. 
(Cho biết: ) 
-----Hết----- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SBD :  PHÒNG : 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 
AN GIANG Năm học 2012 – 2013 
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN VÒNG 1 
A.ĐÁP ÁN 
Bài 1 
 Đ 
 
 Để hàm số có hai điểm cực trị thì và ta có bảng biến 
thiên sau 
 0 0 
 Ta có hai điểm cực đại và cực tiểu là 
 Tam giác ABC cân tại C(-4;-2) ta được 
 ạ 
 Vậy thỏa đề 
3,0 
điểm 
Bài 2 
Giải phương trình 
 Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là 
thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương 
 Đặt 
 phương trình trở thành 
3,0 
điểm 
 Lại đặt 
 phương trình trở 
thành 
 ạ 
 Với 
 vậy là nghiệm của 
phương trình 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Cách khác: 
+ Nhận xét không là nghiệm của phương trình 
+ Nếu phương trình trên viết lại là : 
So với điều kiện phương trình có hai nghiệm 
Bài 3 
 TXĐ: 
 Đặt 
Vậy 
 Xét hàm số 
3,0 
điểm 
Vậy 
Bài 4 
 Mỗi bộ ba số nguyên dương thỏa mãn tương 
ứng với bộ 
 ố
 ố
 ố
trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0. 
 Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và 
2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và 
không được đứng đầu và đứng cuối. 
 Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện 
* Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp 
* Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí 
đầu và cuối). 
* Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không 
sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp) 
* Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có 
 các bộ số cần tìm. 
Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba 
nghiệm bằng nhau. 
 Ta đếm các nghiệm trong đó . 
Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên 
 với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện 
 * Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách 
chọn. 
 * Số còn lại là có đúng một cách chọn. 
Vậy có 1005 bộ ba số trong đó . 
 * Vì vai trò đỗi chổ cho nhau nên có 3.1005 các nghiệm có hai số 
giống nhau 
 Vậy có 
 các bộ nghiệm trong 
đó đôi một khác nhau. 
4,0 
điểm 
Bài 5 
* Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ 
 * Ta có nhận xét hai đường thẳng 
 vuông góc 
nhau. 
 CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB; 
CD 
 * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là: 
 * Ta lại có 
 Vậy 
 Vậy tọa độ điểm A là (loại) 
 Với do 
 * 
 Ta lại có 
 Vậy tọa độ B là (loại) 
 Với do 
 Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là . 
3,0 
điểm 
Bài 6 
 * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và 
BD 
Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) 
nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH 
lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ 
* Đặt 
* Tam giác SHM vuông tại H ta được 
 * Đặt ớ 
4,0 
điểm 
M
H
A
B C
D
S
Xét hàm số : 
Bảng biến thiên 
 + - 
 Vậy 
B. HƯỚNG DẪN CHẤM 
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 
+ Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và không làm tròn.