Đề tài Ứng dụng của các đạo hàm

Lụứi Noựi ẹaàu
 Phép tính đạo hàm là một phép tính cơ bản của giải tích toán học , nó chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình Toán THPT . ở bậc THPT phép tính đạo hàm đã được đưa vào trong chương trình Toán lớp 11 và lớp 12 . 
 Đã có rất nhiều chuyên đề , rất nhiều cuốn sách viết về rèn luyện kỹ năng phép tính đạo hàm , ứng dụng của đạo hàm , các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm .
 Trong khuôn khổ chuyên đề này chúng tôi xin giới thiệu với bạn đọc một ứng dụng rất quan trọng của đạo hàm là : Sử dụng đạo hàm để gải và biện luận một số bài toán về phương trình và hệ phương trình . 
 Chúng tôi viết chuyên đề này với mục đích cung cấp cho các thầy , cô giáo tham khảo và cho các em học sinh THPT một tài liệu học tập , tra cứu thông dụng và có hiệu quả khi giải , biện luận một số bài toán về phương trình và hệ phương trình . 
 Chuyên đề được chia làm hai phần 
Phần 1 : ứng dụng của đạo hàm để giải và biện luận phương trình .
Phần 2 : ứng dụng của đạo hàm để giải và biện luận hệ phương trình .
 Việc sử dụng đạo hàm để giải và biện luận một số bài toán về phương trình , hệ phương trình tạo nên sự phong phú về thể loại và phương pháp giải toán , phù hợp với các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học , Cao đẳng . Chúng tôi hy vọng chuyên đề này sẽ giúp các thầy giáo , cô giáo và các em học sinh THPT dạy và học có hiệu quả cao hơn 
 Cuối cùng , cho dù đã rất cố gắng , nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế , chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các quý thầy cô và các em học sinh để chuyên đề này được hoàn thiện . 
 Chúng tôi xin chân thành cám ơn ! 
Tân Hoa , ngày 25 tháng 10 năm 2009
Tổ Toán trường THPT Lục Ngạn số 2
Phần một : phương trình
Bài toán 1: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
A/ Cơ sở lý thuyết
 Xét hàm số có đồ thị và hàm số có đồ thị liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a; b). Ta có số giao điểm của và bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
 	 (*)
Đ Trường hợp 1: là hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ( hoặc nghịch biến trên (a; b)) và là hàm số hằng .Khi đó và có một điểm chung duy 
 nhất nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất ( Hình H1, H2 )
 y
 o a xo b x
(H1)
 y
 o a xo b x
(H2)
Đ Trường hợp 2: là hàm số đồng biến trên khoảng (a; b)
	 là hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b)
 Khi đó và có một điểm chung duy nhất nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên (a , b) . ( Hình H3)
 y
 o a xo b x
B/ Các dạng toán
Dạng 1 : Phương trình dạng : f(x) = m 
I. Phương pháp giải : Thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Xét hàm số 
 Dùng lập luận chỉ ra hàm số đồng biến hay nghịch biến .
 Bước 2: Tìm một nghiệm của phương trình
 Bước 3: Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất .
II. Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình :
Giải:
Xét hàm số xác định trên 
 . Vậy hàm số đồng biến trên 
Nhận xét, x = 1 là nghiệm của phương trình ví 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện:
Xét hàm số xác định và liên tục trên 
 . Vậy hàm số đồng biến trên 
Nhận xét là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
 Chú ý 1: Hầu hết được giải bằng phương pháp này ở dạng ban đầu đều không đưa ra được nhận xét “ Một vế đồng biến hay nghịch biến vế còn lại là hàm hằng” Khi đó ta cần thực hiện một vài phép biến đổi đại số.
Ví dụ 3 : Giải phương trình:
Giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được:
Xét hàm số . Là hàm nghịch biến.
Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét, x = 2 là nghiệm của phương trình
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Chú ý 2: Nhiều bài toán sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng
Ví dụ 4 : Giải phương trình:
Giải
Điều kiện: 
Đặt 
Phương trình đưa về dạng: 
Xét hàm số 
Tập xác định: 
. Vậy hàm số đồng biến trên D.
Mặt khác ta thấy u = 1 là một nghiệm của phương trình. Vậy nghiệm này là duy nhất.
 hoặc 
Vậy phương trình có hai nghiệm , .
Ví dụ 5: Giải phương trình:
 (1)
Giải:
Điều kiện: 
Đặt . Phương trình được chuyển về dạng :
 (2)
 là hàm số đồng biến trên 
Nhận xét: 
Vậy t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2).
Vậy phương trình (1) có nghiệm .
III/ Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau :
1. 
2.
4.
3. 
5.
	Hướng dẫn
1. x = 1	2. x = 2	3. x = 2
4. Đặt Kq: x = 4 
5. Điều kiện 
Với , phương trình vô nghiệm
Với . Đặt Kq: x = 2 
Dạng 2 : phương trình dạng f(x) = g(x) 
I/ Phương pháp giải
Bước 1: Dùng lập luận khẳng định hàm số là hàm số đồng biến
 là hàm số nghịch biến
Bước 2: Tìm một nghiệm của phương trình
Bước 3: Kết luân là nghiệm duy nhất của phương trình .
II/ Các ví dụ 
 Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải:
Dễ thấy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên 
Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét, x = 1 là một nghiệm của phương trình.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện: x > 0
Biến đổi phương trình về dạng: 
Xét hàm số trên khoảng 
 Vậy hàm số f(x) đồng biến trên 
Xét hàm số nghịch biến trên 
Do vậy phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất .
Nhận xét, x = 1 là một nghiệm của phương trình vì: 
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện: 
Phương trình đưa về dạng: 
Hàm số đồng biến trên khoảng 
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Do vậy phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất .
Nhận xét, x = 3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3 .
Ví dụ 4: Giải phương trình:
 (1)
Giải:
Điều kiện: 
Xét hàm số , là hàm số đồng biến trên tập 
Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm: < 0, 
Vậy là hàm số nghịch biến trên D.
Phương trình (1) có dạng .Nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận thấy x = 1 thoả mãn phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .
III/ Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1. 	Kq: x = -2
2. 	Kq: x = 5
3. 
Hướng dẫn: Đặt điều kiện t > 0.
Giải phương trình bậc hai t theo x ta được 
 hoặc 
Kq: x = 1 và x = 2 .
Bài toán 2
 Trong thực tế ta thường gặp dạng phương trình. Nhưng chưa chắc có nghiệm duy nhất, khi đó ta có thể áp dụng kết quả sau.
Định lý: Hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập . , 
Chứng minh:
Giả sử hàm số đồng biến trên D.
 nếu phương trình vô nghiệm
	 nếu phương trình vô nghiệm
Vậy ( đpcm)
I/ Phương pháp giải:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng 
Bước 2: Xét hàm số trên miền D.
Dùng lập luận khẳng định hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghich biến) trên D .
Bước 3: Khi đó 
II/ Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
 (1)
Giải:
Tâp xác định : 
 (2)
Như vậy (1) chính là phương trình: 
Trong đó , xác định và liên tục trên 
. Vậy hàm số đồng biến trên 
Vậy phương trình có nghiệm: x = -1 và x = -2
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 (1)
Giải:
Chuyển phương trình (1) về dạng:
Như vậy (1) chính là dạng phương trình:
Trong đó , 
Ta dễ dàng chứng minh được hàm số đồng biến và liên tục trên .
Vậy 
Kết luận: là nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 (1)
Giải:
Như vậy (1) chính là phương trình:
Trong đó 
. Suy ra f(t) là hàm số đồng biến.
Kết luận : Phương trình có nghiệm x = 1 .
III/ Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau 
1. Kq: x = 4 hoặc x = 2
2. Kq: 
3. Kq: x = 4 hoặc x = 2
Bài toán 3: Sử dụng đạo hàm để biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số có dạng: f(x, m) = 0
I/ Phương pháp giải:
Bước 1: chuyển phương trình về dạng: 
Bước 2: Nhận xét số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị và 
Bước 3: Lập bẳng biến thiên của hàm số: 
Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên đưa ra kết luận .
II/ Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình : (1)
 Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt ?
Giải:
Phương trình được viết dưới dạng:
 (2)
Nhận xét số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị và 
Đặt 
Tập xác định : D = 
Bảng biến thiên:
x
	0	2	
y’
	+	0	-	0	+
y
	0	-2
Từ bảng biến thiên ta thấy: phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt. Vậy (1) có ba nghiệm phân biệt khi .
Ví dụ 2: ( Khối B - 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt.
 (1)
Giải:
Điều kiện 
Ta chứng minh phương trình:
 (2)
Có một nghiệm trong khoảng 
(2)
Nhận xét số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị và 
Xét hàm số : với x>2
Ta có: 
Bảng biến thiên: 
x
2	
y’
+
y
0	
Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi m > 0, phương trình (2) luôn có một nghiệm trong khoảng . Vậy m > 0 phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biêt.
Ví dụ 3: ( Khối A - 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thưc:
Giải :
Điều kiện: . Phương trình đã cho (1)
Đặt , Khi đó (1) trở thành (2)
Nhận xét số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị và 
Vì và nên 
Hàm số có bảng biến thiên:
t
0	1/3	1
f’(t)
1/3
y
0	-1
Phương trình có nghiệm (2) có nghiệm .
III/ Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 Kq: m = 0 .
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm:
Hướng dẫn 
Vì nên phương tình tương đương với:
Lập bảng biến thiên của hàm số: 
 Kq: 
Bài 3: (Đại học Đà Nẵng khối A năm 2001)
Xác định m sao cho phương trình: có nghiệm .
Hướng dẫn
Chia cả hai vế của phương trình cho rồi đưa phương trình về dạng:
Đặt thì và phương trình trở thành : 
Lâp bảng biến thiên của hàm số với 
Suy ra Kq: hoặc 
Bài 4: ( Khối A năm 2002 )
 Cho phương trình : ( m là tham số)
 Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn .
 Kq: 
Phần hai : Hệ phương trình
Dạng 1 : Hệ có dạng 
Ta có thể tìm lời giải theo hai hướng sau : 
1. Hướng 1 : Biến đổi phương trình (1) Û f(x) = f(y) (3) .Sau đó tìm cách đưa (3) về 
 phương trình tích . 
2. Hướng 2 : Xét hàm số y = f(u) . Ta hay gặp trường hợp hàm số f(u) liên tục trong 
 tập xác định D của nó . 
ã Nếu hàm y = f(u) đơn điệu trên D , thì từ phương trình (1) , suy ra x = y .
 Chứng minh 
* Nếu hàm số y = f(u) đồng biến trên D . 
+ Giả sử x > y ị f(x) > f(y) (mâu thuẫn với (1) ) 
+ Giả sử x < y ị f(x) < f(y) ( mẫu thuẫn với (1))
 Vậy từ (1) ị x = y 
* Nếu hàm số y = f(u) nghịch biến trên D ta cũng làm tương tự . 
 Sau khi chứng minh x = y thì bài toán đưa về giải hoặc biện luận phương trình 
 (2) theo ẩn x hoặc ẩn y . 
ã Nếu hàm số y = f(u) có một cực trị tại u = u0 thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua u0 .
 Bảng biến thiên 
x
u0
y'
 - 0 +
y
x
u0
y'
 + 0 -
y
Vậy từ (1) ta suy ra : hoặc x = y ( nếu x , y cùng thuộc một khoảng đơn điệu ) hoặc x và y nằm về hai phía của u0 (nếu x , y nằm về hai khoảng đơn điệu khác nhau ) . 
3. Các ví dụ minh hoạ áp dụng tính đơn điệu của hàm số 
@Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình 
Lời giải
Đ Từ pt (2) , ta có : Û (*)
Đ Xét hàm số : f(u) = u3 - 5u với u ẻ[- 1 ; 1] . Ta có f'(u) = 3u2 - 5 < 0 
 với "u ẻ [-1 ; 1]
Vậy hàm số f(u) = u3 - 5u nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1) . Do đó từ pt (1) 
 ị x = y .
Đ Thay x = y vào phương trình (2) , ta được phương trình : x8 + x4 - 1 = 0 (3) 
Đ Giải phương trình (3) . 
+ Đặt a ...  Do đó từ (2) ị x = y . Thay vào pt (2) của hệ , ta được phương trình : 
 x3 - 3x - 18 = 0 Û (x - 3)(x2 + 3x + 6) = 0 Û x = 3 
@Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình 
Đ Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (3 ; 3) .
Lời giải
Đ Điều kiện : x > 0 ; y > 0 
Đ Pt (1) Û ex - x = ey - y (3) 
Đ Xét hàm số f(u) = eu - u với u ẻ (0 ; + Ơ) . 
 Ta có đạo hàm f'(u) = eu - 1 > 0 "u > 0 .Do đó hàm số f(u) đồng biến trên khoảng (0 ; + Ơ) .
Đ Từ (3) ị Trên khoảng (0 ; + Ơ) thì x = y . Thay vào pt (2) của hệ , ta được phương trình : log2 + = 10 Û log2x - 1 + 2(2 + 3log2x) = 10 
 Û log2x = 1 Û x = 2
Đ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : (2 ; 2) . 
@Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình 
Lời giải
Đ Điều kiện : (*)
Đ Pt (1) Û ln(x + 1) - x = ln(1 + y) - y (3)
Đ Xét hàm số : f(u) = ln(1 + u) - u với u ẻ ( - 1 ; + Ơ) . 
Đ Ta có f'(u) = . Ta thấy f'(u) = 0 Û u = 0 ẻ ( - 1 ; + Ơ) .
ị Hàm số f(u) = ln(1 + u) - u đồng biến trong khoảng ( - 1 ; 0) và nghịch biến trong khoảng (0 ; + Ơ) . 
Đ Ta có (3) Û f(x) = f(y) ị x = y (nếu x , y cùng thuộc một khoảng đơn điệu ) hoặc x , y nằm về hai phía của số 0 tức là xy < 0 ( nếu x , y thuộc hai khoảng đơn điệu khác nhau ) .
Đ Trường hợp 1 : xy < 0 thì vế trái của pt (2) luôn dương . Do đó hệ vô nghiệm . 
Đ Trường hợp 2 : x = y . Thay vào pt (2) , ta được - 2x2 = 0 Û x = 0 (thoả mãn (*)) . 
Đ Vậy nghiệm của hệ đã cho là ( 0 ; 0 ) .
@Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình 
Lời giải
Đ Điều kiện : 
Đ Phương trình (1) Û x2 - 2x + 2ln(1 + x) = y2 - 2y + 2ln(1 + y) (3) .
Đ Xét hàm số : f(u) = u2 - 2u + 2ln(1 + u) với u ẻ [0 ; + Ơ) . Ta thấy f(u) là hàm liên tục trên khoảng (0 ; + Ơ) . 
Đ Ta có f'(u) = 2u - 2 + ị f''(u) = > 0 "u ³ 0 . Vậy f'(u) đồng biến trên ( 0 ; + Ơ) ị f'(u) > f'(0) "u > 0 ị f'(u) > 0 " u > 0 ị f(u) là hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; + Ơ) . 
Đ Ta thấy (3) Û f(x) = f(y) Û x = y . Thay x = y vào (2) , ta được phương trình 
 Û Û Û = log23 Û x = 
Đ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( ; ) .
@Ví dụ 7 : Giải hệ phương trình 
Lời giải
 Cách 1 
Đ Điều kiện : x ≠ 0 ; y ≠ 0 
Đ Xét hàm số : f(u) = u - với u ẻ R\{0} . 
 Ta có đạo hàm f'(u) = 1 + > 0 "u ẻ R\ {0} 
 ị f(u) là hàm số đồng biến trên R\{0} . 
Đ Ta có (1) Û f(x) = f(y) Û x = y (3) 
Đ Nhận xét : Kết luận (3) là sai do hàm f(u) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau . 
 Ta thấy f(1) = f(-1) = 0 .
Đ Do đó bài này ta giải theo hướng 2 là không ổn , ta giải theo hướng 1 .
Cách 2 
Đ Điều kiện : x ≠ 0 ; y ≠ 0 
Đ Pt (1) Û (x - y) = 0 Û y = x hoặc y = - 
 + Với x = y , thay vào (2) , ta được pt : x2 - 1 = 0 Û x = 1 hoặc x = - 1 .
 + Với y = - thì pt (2) vô nghiệm . 
Đ Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : (1 ; 1) ; (- 1 ; - 1 ) .
4. Bài tập áp dụng 
Giải các phương trình sau 
1/ 
5/ 
2/ 
6/ 
3/ trên (0;)
7/ 
4/ 
8/
Hướng dẫn 
1/ Pt (1) Û 3x + x = 3y + y (3) . Xét hàm số f(u) = 3u + u với u ẻ R 
2/ Đ Từ (2) ị ; 
Đ Thay (2) vào (1) , ta được : 
 Û 
 Û 2x + x3 = 2y + y3 
Đ Xét hàm số : f(u) = 2u + u3 với u ẻ [ ; ] 
3/ Pt(1) Û tanx + x = tany + y . Xét hàm số f(u) = tanu + u với u ẻ (0;) .
4/ Pt (1) Û x - cosx = 2y - cos2y . Xét hàm số f(u) = u - cosu 
5/ Đ Điều kiện : x > 0 ; y > 0 
Đ Pt (1) Û lnx + x = lny + y . Xét hàm số f(u) = lnu + u với u ẻ(0 ; + Ơ) 
6/ Đ Điều kiện : x > 0 ; y > 0 
Đ Pt (1) Û ex - x = ey - y . Xét hàm số f(u) = eu - u với u ẻ (0 ; + Ơ) 
7/ Đ Điều kiện : x ³ 1 ; y ³ 1
Đ Pt (1) Û Û ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y 
 Û ln(1 + x) - x = ln(1 + y) - y 
Đ Xét hàm số f(u) = ln(1 + u) - u với u ẻ[1 ; + Ơ) 
8/ Đ Từ (1) ị ; 
Đ Xét pt (2) 
+ Với y = 1 (không thoả mãn)
+ Với y ≠ 1 . Khi đó (2) Û 
 Û 
Đ Xét hàm số : f(u) = với u ẻ( 0 ; + Ơ) 
Dạng 2 : Hệ đối xứng loại hai mà khi giải dẫn đến một trong hai phương trình của hệ có dạng f(x) = f(y) trong đó f là hàm đơn điệu .
1. Một số chú ý 
Đ Đặt điều kiện cho ẩn ( nếu có ) 
Đ Trừ từng vế hai phương trình của hệ được phương trình dạng f(x) = f(y) . 
Đ Chứng minh hàm f(u) đơn điệu trên khoảng liên tục D . 
2. Các ví dụ minh hoạ 
@Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình : 
Lời giải
Đ Điều kiện : 
Đ Trừ (1) cho (2) vế với vế ta được : (3) 
Đ Xét hàm số : f(u) = với u ẻ , ta có : 
 Đạo hàm : f’(u) = > 0 với u ẻ . Vậy f(u) là hàm số đồng biến trên .
Đ Ta thấy (3) Û f(x) = f(y) Û x = y . Thay x = y vào pt (1) , ta được pt : 
 . Giải pt , ta được x = 3 hoặc x = ( thoả mãn ) 
@Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình : 
Đ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : (3 ; 3 ) ; . 
Lời giải
Đ Điều kiện : x , y ẻ R
Đ Trừ (1) cho (2) vế với vế ta được : x3 + 3x = y3 + 3y (3) 
Đ Xét hàm số : f(u) = u3 + 3u với u ẻ R . Ta có đạo hàm f’(u) = 3u2 + 3 > 0 "u ẻ R
 ị f(u) là hàm số đồng biến trên R . 
Đ Nhận thấy (3) Û f(x) = f(y) Û x = y . Thay vào pt (1) của hệ ta được : x3 + x = 0 . 
Giải pt ta đựoc x = 0 . 
Đ Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất : (0 ; 0) 
@Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình : 
Lời giải
Đ Điều kiện : x , y ẻ [0 ; 2]
Đ Trừ (1) cho (2) vế với vế ta được : (3) 
Đ Xét hàm số : f(u) = với u ẻ [0 ; 2] . Ta có f’(u) = > 0 với "u ẻ [0;2] . Vậy f(u) là hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2) . 
Đ Nhận thấy : (3) Û f(x) = f(y) Û x = y . Thay x = y vào pt (1) của hệ ta được : 
 Û x = 0 hoặc x = 2 . 
Đ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : (0;0) hoặc (2;2) .
@Ví dụ 4 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : 
Lời giải
Đ Điều kiện : x , y ẻ [-1 ; 3]
Đ Trừ (1) cho (2) vế với vế ta được : (3) 
Đ Xét hàm số : f(u) = với u ẻ [-1 ; 3] . 
 Ta có f’(u) = > 0 với "u ẻ [-1;3] . Vậy f(u) là hàm số đồng biến trên khoảng (-1 ; 3) . 
Đ Nhận thấy : (3) Û f(x) = f(y) Û x = y . Thay x = y vào pt (1) của hệ ta được : 
 (4) . 
Đ Xét hàm số g(x) = là hàm số liên tục trên đoạn [-1;3] . 
Đ Ta có g’(x) = , g’(x) = 0 Û x = 1 ẻ [-1; 3] . 
Đ Ta có : g(-1) = 2 ; g(1) = 2 ; g(3) = 2 ị 2 ≤ g(x) ≤ 2.
Đ Để hệ có nghiệm thì pt (4) phải có nghiệm Û m phải thuộc tập giá trị của g(x) 
 Û 2 ≤ m ≤ 2. 
3. Bài tập áp dụng 
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau : 
1/ 
3/ 
2/ 
4/ 
Bài 2 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : 
Hướng dẫn 
Bài 1 
1/ Đ Điều kiện : x , y ẻ [0 ; + Ơ) 
Đ Trừ (1) cho (2) vế với vế ta được : 
2/ Đ Điều kiện : x , y ẻ [1 ; + Ơ) 
Đ Trừ (1) cho (2) vế với vế ta được : 
 x2 – 2x + = y2 – 2y + 
 Û (x-1)2 + - 1 = (y-1)2 + - 1 (3) 
3/ Đ Điều kiện : x , y ẻ [-2 ; 2] 
Đ Trừ (1) cho (2) vế với vế ta được : - cosx = - cosy 
4/ Đ Đặt a = x – 1 ; b = y – 1 . Ta được hệ : 
Đ Trừ theo vế hai phương trình , ta được : a + (3) 
Dạng 3 Hệ phương trình có dạng : 
1. Nhận xét 
 Khi gặp dạng hệ phương trình trên thì ta lý luận như sau : 
Đ Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x , y , z nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x = max{x;y;z} . Nghĩa là x ³ y ; x ³ z . 
1.1. Trường hợp f(u) và g(u) cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến 
Đ Nếu hai hàm số f(u) và g(u) cùng đồng biến , ta có : 
 + Nếu x > y ị f(x) > f(y) ị g(y) > g(z) ị y > z 
 ị f(y) > f(z) ị g(z) > g(x) ị z > x ( mâu thuẫn ) 
 + Tương tự nếu x > z ta cũng đi đến mâu thuẫn . 
 Suy ra x = y = z 
Đ Nếu hai hàm số f(u) và g(u) cùng nghịch biến : Ta cũng làm tương tự 
1.2. Trường hợp một hàm đồng biến , một hàm nghịch biến 
Đ Nếu hàm số f(u) đồng biến và g(u) nghịch biến , ta có : 
 + Nếu x > y ị f(x) g(z) ị y < z 
 ị f(y) x ( mâu thuẫn ) 
 + Tương tự nếu x > z ta cũng đi đến mâu thuẫn . 
 Suy ra x = y = z 
Đ Nếu hàm số f(u) nghịch biến và g(u) đồng biến : Ta cũng lý luận tương tự 
2. Các ví dụ minh hoạ
@Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình sau : 
Lời giải
Đ Xét hai hàm số : f(u) = u3 – 3u2 + 5u + 1 và g(u) = 4u với u ẻ R . 
Đ Ta có : f’(u) = 3u2 – 6u + 5 > 0 "u ; g’(u) = 4 > 0 "u . Vậy f(u) và g(u) là hàm đồng biến trên R . 
Đ Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng : 
Đ Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x , y , z nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x = max{x;y;z} . Nghĩa là x ³ y ; x ³ z . 
Đ Vì f(u) và g(u) cùng đồng biến , ta có : 
 + Nếu x > y ị f(x) > f(y) ị g(y) > g(z) ị y > z 
 ị f(y) > f(z) ị g(z) > g(x) ị z > x ( mâu thuẫn ) 
 + Tương tự nếu x > z ta cũng đi đến mâu thuẫn . 
Đ Suy ra x = y = z . Thay vào một phương trình của hệ ta được pt : 
 x3 – 3x2 + 5x + 1 = 0 Û (x – 1)(x2 – 2x – 1) = 0 
 Û x = 1 ; x = 1 + ; x = 1-
Đ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : 
 (1;1;1) ; (1;1;1+) ; (1;1;1)
@Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau : 
Lời giải
Đ Nhận xét : Vì vế trái của các phương trình trong hệ đều dương nên x , y , z > 0 .
Đ Xét hai hàm số : f(u) = và g(u) = u với u ẻ (0 ; + Ơ) . 
Đ Ta có f’(u) = - ( 2ln4 )( 3u2 + u ). < 0 " u ẻ (0 ; + Ơ) 
 và g’(u) = 1 > 0 "u .
 ị f(u) là hàm số nghịch biến và g(u) là hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; + Ơ) 
Đ Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng : 
Đ Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x , y , z nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x = max{x;y;z} . Nghĩa là x ³ y ; x ³ z . 
Đ Vì hàm số f(u) nghịch biến và g(u) đồng biến , ta có : 
 + Nếu x > y ị f(x) < f(y) ị g(y) < g(z) ị y < z 
 ị f(y) > f(z) ị g(z) > g(x) ị z > x ( mâu thuẫn ) 
 + Tương tự nếu x > z ta cũng đi đến mâu thuẫn . 
 Suy ra x = y = z 
Đ Thay y = x vào phương trình đầu tiên của hệ , ta được phương trình : = x .
Đ Dùng tính đơn điệu , ta giải được nghiệm : x = 
Đ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là .
3. Bài tập áp dụng 
Giải các hệ phương trình sau 
1/ 
3/ 
2/ 
4/ 
Hướng dẫn 
1/ 
Đ f(u) = u3 + 3u – 3 + ln(u2 – u + 1) là hàm số đồng biến trên R ; g(u) = u là hàm 
 số đồng biến trên R .
2/ 
Đ f(u) = u3 + u2 +u – 2 là hàm số đồng biến trên R ; g(u) = u là hàm số đồng biến 
 trên R . 
3/ 
Đ f(u) = là hàm số đồng biến trên khoảng ( - Ơ ; 6) , g(u) = log3(6 – u) 
 là hàm số nghịch biến trên khoảng ( - Ơ ; 6) . 
4/
Đ f(u) = u3 + u2 + u là hàm số đồng biến trên R ; g(u) = 2u + 1 là hàm số đồng biến 
 trên R . 
Mục lục 
Trang
Lời nói đầu 
1
Phần một : Phương trình
2
 Bài toán 1 :Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
2
 Dạng 1 : Phương trình dạng : f(x) = m
3
 Dạng 2 : Phương trình dạng : f(x) = g(x) 
5
 Bài toán 2 : Phương trình dạng f(u) = f(v) với f đơn điệu 
7
 Bài toán 3 : Sử dụng đạo hàm để biện luận số nghiệm của 
 phương trình chứa tham số có dạng f(x , m) = 0 .
9
Phần hai : Hệ phương trình 
12
 Dạng 1 : Hệ có dạng : 
12
 Dạng 2 : Hệ có dạng : Hệ đối xứng loại hai mà khi giải dẫn đến
 một trong hai phương trình của hệ có dạng f(x) = f(y) 
 trong đó f là hàm đơn điệu .
17
 Dạng 3 : Hệ có dạng : 
20
Tài liệu tham khảo 
24
tài liệu tham khảo
1. Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ . Nhà xuất bản Giáo dục .
2. Lê Bích Ngọc (chủ biên) . Học và ôn tập toán Giải tích 12 . Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội . 
3. Nguyễn Phụ Hy , Tạ Ngọc Trí , Nguyễn Thị Trang . ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp . Nhà bản Giáo dục . 
4. Lê Hồng Đức , Lê Bích Ngọc , Lê Hữu Trí . Phương pháp giải toán Đại số . Nhà xuất bản Hà Nội . 
5. Lê Hồng Đức (chủ biên ) . Phương pháp giải toán đạo hàm và ứng dụng . Nhà xuất bản Hà Nội .