Đề tài Sai phân và một số ứng dụng trong giải toán

SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI TOÁN
Ngày 11/3/2010, trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 môn toán có câu số 2(5 điểm/20 điểm; Đề có 5 câu):
“Cho dãy số thực xác định bởi : và với mọi n.
1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
2/ Chứng minh rằng là dãy số giảm.”
Căn cứ vào dạng công thức dãy đã cho và câu hỏi 1/ cũng có thể nghĩ ngay đến là sử dụng phương pháp sai phân.
Cụ thể là:
+) Dễ chứng tỏ 
+) Từ giả thiết ta có:.
Áp dụng phương pháp sai phân ( Lấy tổng hai vế của đẳng thức trên, ) ta có: .
Hay .
Như vậy là dùng phương pháp sai phân ta đã tìm được số hạng tổng quát của dãy số.
( Việc chứng minh dãy giảm là đơn giản: 
 Điều cần chứng minh tương đương với: 
Ta có: 1<< suy ra:
.
 Bất đẳng thức (*) được chứng minh).
 Ngày 21/3/2010 trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Hải Dương cũng có bài toán sử dụng phương pháp sai phân :
“ Cho dãy số thỏa mãn: 
Xét dãy số . Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó”.
 	Nhìn vào câu hỏi cũng có thể nghĩ đến phải dùng phương pháp sai phân cho dãy số .
Cụ thể là:
+) Dễ chứng minh dãy số tăng.
+) Từ giả thiết suy ra: ( n = 1, 2 )
 với n = 1, 2, 
Áp dụng phương pháp sai phân, ta có: 
	(1)
Mặt khác: 1 = u1 < u2 <  < un < un + 1
Nếu {un} bị chặn trên => tồn tại giới hạn hữu hạn a = ; a>1
Vì un+1 = , chuyển qua giới hạn, ta có:
	 => a = 0 trái với a>1
Suy ra dãy không bị chặn trên; vì {un} dăy tăng, nên ta có
= +¥
Kết hợp với (1) => hay 
Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 năm 2010 của tỉnh Nghệ An cũng có bài:
Cho dãy số thỏa mãn . Tính , với .
Cũng có thể dùng phương pháp sai phân vào đây:
Đặt ; khi đó giả thiết đã cho có dạng: 
Từ (*) suy ra 
Hay . Nếu để nguyên như vậy sẽ khó tìm được vn . 
Ta có thể làm như sau: (**)
Đây là ý đơn giản nhưng quan trọng để ta có thể sai phân, cụ thể là (**) suy ra dãy là dãy số không đổi. Từ đó . Hay (). Suy ra . 
Đến đây thì thật đơn giản, lim.
Vấn đề sai phân và ứng dụng của sai phân giải toán dãy số cũng như giải toán nói chung đã được nhiều người quan tâm, cho dù mức độ cũng như dạng loại cũng có phần khác nhau. Người viết bài này đã để tâm sưu tầm, tìm tòi và nghiên cứu khá sâu về sai phân, nay – qua quan sát các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp Tỉnh, cấp Quốc gia vừa diễn ra trong thời gian qua, thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân, nên xin được trao đổi tại đây; Mong góp phần nhỏ bé vào việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi của tỉnh nhà.
LỜI NÓI ĐẦU:
Một trong các dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thông trung học là toán về dãy số , trong đó Sai phân và ứng dụng của sai phân là phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức...Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên tiếp của dãy số khác. Trong sách giáo khoa gần như không đề cập vấn đề này, nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp vấn đề này thường hay được đề cập đến. Các sách tham khảo hiện có một số bài toán có sử dụng phương pháp sai phân nhưng không phân tích chặt chẽ, không có hệ thống lý thuyết làm người đọc khó vận dụng. Xuất phát từ mục đích để giảng dạy cho các học sinh giỏi và trao đổi với đồng nghiệp về lĩnh vực nói trên, nhưng phải phù hợp với học sinh phổ thông(khá, giỏi) tôi đã nghiên cứu kỹ lưỡng dạng và cách giải của từng loại bài, trình bày lại thông qua các Ví dụ, rồi khái quát thành phương pháp cho dễ vận dụng sau này. Các dạng của sai phân còn được thể hiện sinh động hơn qua các ví dụ cụ thể lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, quốc gia và quốc tế. Qua thực tế giảng dạy của bản thân cho học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi, tôi xin mạnh dạn trao đổi cùng các đồng nghiệp, với hy vọng là đóng góp một chút vào công cuộc đầy khó khăn nhưng cũng rất vinh dự này. Vì là suy nghĩ của một người chắc không tránh khỏi thiếu sót, mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp và những người có cùng mối quan tâm.
Nội dung của bài viết này có 5 phần:
1) Sai phân cấp I.
2) Sai phân cấp I suy rộng(một số dạng cơ bản).
3) Sai phân cấp II.
4) Sai phân cấp II suy rộng ( một số dạng cơ bản).
5) Một số bài toán ứng dụng sai phân ( muốn cung cấp thêm các ví dụ, mang tính thực tiễn giảng dạy).
Dưới đây là nội dung bài viết:
I) Sai phân cấp I:
Cho dãy : U1 cho trước , ( với a,b cho trước) hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số. Ta gọi đó là phương trình sai phân cấp I ( tức là để tìm một số hạng của dãy cần biết một số hạng ngay trước nó).
Đây là bài toán cơ bản có cách giải đơn giản: 
+) Nếu a=1 thì dãy số là cấp số cộng công sai b nên 
+) Nếu a1 ta có khi đó dãy là cấp số nhân , công bội a nên 
Tuy nhiên nếu ta làm như sau thì sẽ thấy dẫn tới phương pháp sai phân:
+) Nếu a =1: có hay 
+) Nếu a 1 ta có: .
 Đặt 
Do đó ; từ đó tìm được . Thử lại thoả mãn.
Phương pháp này gọi là Sai phân cấp I: Tức là tách một số hạng của dãy thành hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy mới, cũng có thể thay dấu bằng bởi các dấu lớn, nhỏ hơn mà ta sẽ thấy qua các ví dụ dưới đây, phương pháp này có ứng dụng rất lớn.
Ví dụ 1:
a) Chứng minh rằng : <2 với 
b) Chứng minh rằng : < với 
Giải:
a) Ta có Do đó 
b) Ta có 
Tương tự như trên lấy tổng với k từ 1 đến n ta có 
= 
Ví dụ 2:(Olympic Toán quốc tế 1970)
Cho ; và dãy số 
Chứng minh rằng 
Giải :
Tacó:. Từ đó suy ra (Vì ) (Đpcm).
Ví dụ 4:(Olympic Toán Trung Quốc 1964)
Cho dãy số . Chứng minh rằng .
Giải:
Từ giả thiết ta có : và hay 
hay (Đpcm)
Ví dụ 4:(Olympic Toán Việt Nam 1998)
Chứng minh rằng không tồn tại dãy thoả mãn cả hai điều kiện:
Giải:
 Giả sử có dãy số thoả mãn cả hai điều kiện đã nêu
sắp xếp lại thứ tự của x1,x2,...,xn: là 
Theo giả thiết có:
Khi đó ta có :
=
suy ra : , cho n ta được 2.0,666( vô lý) 
Vậy điều giả sử là sai, hay ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: (Olympic Toán quốc tế 1968)
Tính tổng:S = ; n là số nguyên dương cho trước( kí hiệu là phần nguyên của x).
Giải:
+) Dễ chứng minh 
+)Thay x= ta có :
Do đó S = = ( Vì luôn có m đủ lớn để)
Ví dụ 6: (Olympic Toán quốc tế 1994)
Cho dãy số . Chứng minh rằng khi thì 
Giải:
+)Dễ chứng minh bằng quy nạp
+) Có suy ra: 
Ta chỉ cần chứng minh 
Thật vậy :
(vì )
Vậy .
Ví dụ 7:(Olympic Toán Bungari 1999)
Cho dãy các số nguyên thoả mãn :. Biết a1999 chia hết cho 2000. Tìm số n nhỏ nhất sao cho an chia hết cho 2000
( n)
Giải:
Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho (n-1)n(n+1) ta có:
 Đặt có dạng: 
Do đó 
Nên 
Như vậy bằng phương pháp sai phân ta xác định được an 
Theo giả thiết 2000 là ước của a1999=1998(2+1999()
Hay 
Vì thế ta có 
Vì n(n-1) chẵn nên an chia hết cho 2000 
.
 Từ đó suy ra số k nhỏ nhất là 124, hay n nhỏ nhất là 249.
Ví dụ 8:(Sai phân trong trong đa thức )
Tìm tất cả các đa thức f(x) R thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) f(x+1)- f(x) = 0 x
b) f(x+1)- f(x) = x x
c) f(x+1)- 3f(x) = 2x+5 x
Giải:
 a) Cho x = 0,1,2,...,n,... ta được phương trình f(x)=f(0) có vô số nghiệm mà f(x) là đa thức nên f(x)=f(0) với mọi x. Thử lại hiển nhiên đúng giả thiết.
b) Đây mới là bài toán dùng sai phân:
Ta sẽ đưa về bài toán a) bằng cách tìm một đa thức g(x) sao cho:
 g(x+1) - g(x) = x (x)
Chỉ cần chọn g(x)=ax2+bx ( đa thức có bậc lớn hơn bậc của x một đơn vị)
Ta có 
khi đó bài toán đã cho 
 Theo a) ta có f(x)- g(x)=A( hằng số) hay f(x) = 
Thử lại đúng.
c)Tương tự câu b), nhưng tìm g(x) = ax+b (cùng bậc với 2x+5) sao cho
g(x+1)-3g(x) = 2x+5x
Ta có a(x+1)+b-3(ax+b)=2x+5(x)
khi đó giả thiết có dạng: (f(x+1)-g(x+1)) - 3(f(x)-g(x)) = 0 (x)
Dễ chứng minh đa thức h(x) thoả mãn h(x+1) - 3h(x) = 0 (x) là đa thức đồng nhất bằng 0 (đồng nhất hệ số).
Vậy f(x) = g(x) = - x - 3x.
Ví dụ 9:(Sai phân trong phương trình hàm)
Tìm các hàm số xác dịnh trên R và thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a)f(x+1) = f(x) x
b)f(x+2) = f(x) + 3x - 1x
c)f(x+1) = 3f(x) + x
d) f(x+1) = 3f(x) + 2x x
e) f(x+2) = f(x) + sinx x
Giải:
a)Dễ thấy hàm số tuần hoàn chu kỳ 1, và =với l(x) bất kì xác định trên [0;1). Từ bây giờ ta gọi là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 ; Tổng quát có thể chu kỳ a0
b)Dùng phương pháp sai phân:
 Tìm một hàm số g(x) sao cho g(x+2) - g(x) = 3x - 1x
Ta chọn g(x) = ax2 + bx; ta có a(x+2)2 + b(x+2) - (ax2+bx) = 3x-1(x) hay
4ax+4a+2b = 3x-1 x , nên a = ; b = -2 
Khi đó ta có giả thiết tương đương với f(x+2) - g(x+2) = f(x) - g(x) x .Vậy f(x) - g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2, ta gọi đó là h(x)( hoàn toàn xác định) hay f(x) = h(x) + x2 - 2x .Thử lại thoả mãn.
c)Trước tiên ta tìm hàm số f(x) thoả mãn:
 f(x+1)=3f(x) (x)
Đặt f(x) = 3x h(x), ta có h(x+1) = h(x) (x) tức là h(x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ 1(đã xác định theo câu a) hay f(x)=3xh(x) (x)
Bước hai: Ta tìm hàm số g(x) = ax+b sao cho g(x+1) - 3g(x) = x (x)
hay a= - ; b= - 
Khi đó f(x+1)-g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) (x) . Theo kết quả ở trên suy ra
 f(x) = +3xh(x), ở đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 bất kỳ.
d) Ta tìm hàm số g(x) = a.2xsao cho g(x+1) - 3 g(x) = 2x (x)
 hay a.2x+1- 3a.2x=2x x suy ra a = -1
Khi đó bài toán đã cho thành: f(x+1) - g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) (x)
Cũng theo kết quả trên thì f(x) = 3x h(x) - 2x (x), trong đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 tuỳ ý.
e) Ta tìm hàm số g(x) = asinx + b cosx sao cho g(x+2)-g(x) = sinx (x )
Ta tìm a và b thoả mãn : 
Định thức D = 2 - 2cos2 nên a,b xác định duy nhất
Tiếp theo ta có giả thiết trở thành: f(x+2)- g(x+2) = f(x)-g(x).Vậy f(x)-g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 (đã biết hàm tuần hoàn hoàn toàn xác định theo câu a)). Ngược lại nếu f(x) = g(x) + h(x) với h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ
 2 bất kỳ, g(x) xác định như trên ta chứng minh được f(x) thoả mãn yêu cầu.
II)Sai phân cấp I suy rộng:
Ta đã giải quyết được bài toán tìm Un thoả mãn Un+1=aUn+b với a, b là các hằng số và một vài ví dụ về áp dụng sai phân cấp I
Bây giờ ta sẽ giải bài toán phức tạp hơn: tìm Un thoả mãn Un+1=aUn+f(n) trong đó f(n) là một trong các hàm: đa thức của n; sinn; cosn; an ... Thông qua các ví dụ sau đây ta sẽ thấy ứng dụng sai phân rất mạnh, và có thể nghiên cứu được quy luật để áp dụng.
Ví dụ 1: 
Tìm 
(Hệ số của Un khác 1)
Giải:
Ta tìm đa thức bậc 1 với n ( cùng bậc với (n+1) ) là: an+b sao cho hay 
Khi đó (1) 
Đặt 
Vậy . Thử lại thoả mãn.
Ví dụ 2:
Tìm 
(Khác ví dụ trên vì hệ số Un là 1)
Giải:
Ta phải tìm đa thức bậc 2 với n ( hơn bậc của (n+1) một đơn vị) sao cho 
 Giải ra ta được a = b = 
Khi đó (*)
Đặt . Vậy ( V1=0). Thử lại thoả mãn.
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên thấy rằng nếu f(n) là đa thức của n có bậc k thì ta tìm đa thức để sai phân cùng bậc k (khi hệ số Un khác 1); hoặc đa thức bậc k+1 (khi hệ số Un bằng 1).
Ví dụ 3:
a)Tìm 
b)Tìm 
c)Tìm 
(Ba ví dụ là ba dạng của trường hợp f(n) là hàm mũ: hệ số của Un bằng 1, khác 1 nhưng bằng hoặc không bằng cơ số hàm mũ; cách giải chúng có sự khác nhau).
Giải:
a)Cách 1:
Chia hai vế của đẳng thức đã cho cho 2n+1 ta có : .Đặt .Do đó 
Hay . Thử lại thoả mãn.
Cách 2:
Ta tìm g(n) = a.3n sao cho:
 chọn được a =1. Khi đó giả thiết trở thành . 
Hay 
b)Ta dùng cách 2 nói trên: 
Tìm g(n) = và ta được a = -2
khi đó giả thiết trở thành: . 
Vậy 
c)Cách 1:
Từ giả thiết suy ra 
Cách 2:
Ta tìm g(n) =. Khi đó từ giả thiết suy ra do đó 
Ví dụ 4:
a) Tìm 
b) Tìm 
Giải:
a)Cách 1: 
Từ giả thiết suy ra 
Từ đó bằng cách sử dụng công thức biến tích thành tổng ta có 
Cách 2: 
Ta tìm g(n) = a cosn + b sinn sao cho: g(n+1) - g(n) = cosn hay:vì định thức D = 2-2cos1 > 0 nên hệ có nghiệm duy nhất là (a;b). Khi đó ta có: suy ra 
 Với a, b xác định theo hệ trên.
b) Nếu sử dụng cách 1 thì khá phức tạp, vì phải sử dụng đạo hàm 
Ta sẽ dùng cách 2: Tìm hàm số g(n) = a cosn + b sinn, sao cho g(n+1)-2g(n) = sinn . Làm tương tự như trên: a,b là nghiệm của hệ phương trình định thức D = 5 - 4cos1 > 0 nên hệ có nghiệm duy nhất (a;b).
Thay vào giả thiết ta có
 (với g(n) xác định theo hệ trên)
Đến đây ta thấy rõ ràng lợi ích của phép sai phân: tìm hàm g(n) để đưa về bài toán đã biết(với f(n)=0)
Bây giờ ta sẽ giải quyết bài toán phức tạp hơn: f(n) là tổng hai hàm trong ba hàm số đã nêu là hàm đa thức, hàm mũ và hàm cosin, sin của biến n. Để nắm được phương pháp chung ta chỉ cần xét một ví dụ sau: 
Ví dụ 5: 
Tìm 
Giải: 
Rõ ràng không thể chia hai vế của đẳng thúc đã cho cho 2n+1
Ta sẽ tìm hai hàm số : g(n)=an+b sao cho g(n+1) -2g(n) = n và h(n) = c3n sao cho h(n+1)-2h(n) = 3n . Giải ra ta có a = b = -1; c = 1 . Khi đó giả thiết đã cho trở thành:.
Vậy . Thử lại thoả mãn
Một lần nữa ta thấy lợi ích của phương pháp sai phân có thể giải được bài toán khi f(n) phức tạp hơn: có dạng tổ hợp của các f(n) đã cho.
III) Sai phân cấp II:
Ta gọi biểu thức af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) là sai phân cấp II của biến x.
Phương trình sai phân cấp II thuần nhất: af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) = 0(*) trong đó x thuộc R hay thuộc N. Ta xét cách giải và mở rộng cho phương trình không thuần nhất ( tức là vế phải của phương trình (*) là hàm số) thông qua các ví dụ. 
Ví dụ 1:
Tìm 
Giải:
Giả thiết 
. Cộng đại số hai đẳng thức ta có 
Hay ở đó xác định nhờ U1;U2 
Tổng quát: Nếu và phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt . Trong đó xác định nhờ U1;U2 .
Ví dụ 2: 
Tìm 
Giải:
Dễ thấy từ giả thiết suy ra . Do đó . Đây là dạng đã được giải quyết ở phần II).
Có thể viết :
Thử lại thoả mãn. 
Tổng quát: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép x0 thì Un=(an+b)x0n với a và b xác định nhờ U1;U2.
Ví dụ 3:
Tìm 
Giải:
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp 
Làm tương tự như ở ví dụ 1( Phần II) ta có . Thay số ta có a, b xác định nhờ U1;U2. Thử lại thấy thoả mãn đề bài.
Tổng quát: phương trình sai phân mà trong đó phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp thì:. 
( Ở đó là hai nghiệm của phương trình đặc trưng).
Ví dụ 4: 
Tìm tất cả các hàm số f(x) thoả mãn: 
Giải:
Với x0 bất kỳ thuộc , ta đặt . Dễ thấy rằng ; bằng quy nạp ta chứng minh được 
Đây là phương trình sai phân đã có cách giải tổng quát ở trên; ta có
. Nếu >0, cho nthì , trái giả thiết. f(x). Nếu <0, cho n thì , trái giả thiết. f(x).Vậy =0 hay an = là hằng số , tức là f(x0)=x0 .Thử lại thấy thoả mãn.
Ví dụ 5:
Tìm 
Giải:
Đặt ( Vì dễ chứng minh Un). Khi đó giả thiết đã cho trở thành:
. Do đó . Vì V1=1 và V2=U1/V1=1 nên .Thử lại thoả mãn.
Tổng quát: Nếu cho dãy số Với điều kiện để Un khác 0 thì ta có thể đặt ; Từ giả thiết sẽ suy ra được . Giải phương trình sai phân cấp II này suy được Un 
Ví dụ 6:
Tìm 
Giải
Từ (1) ta có . Thay vào (2) ta có: 
Do đó ; Từ đó 
Ví dụ 7: (Olympic Bungari 1978)
Cho dãy 
( a là số cho trước ). Chứng minh rằng dãy số đã cho gồm toàn số nguyên. 
Giải:
Từ giả thiết suy ra suy ra . Trừ hai đẳng thức này ta có 
hay 
Từ đó suy ra (hằng số;) hay 
Mặt khác .
Vì ( Chứng minh bằng quy nạp).
Ví dụ 8:(Dự tuyển olympic quốc tế 1982)
Cho a.Với p0 là số nguyên cố định lớn hơn 2, hãy tìm giá trị bé nhất của a sao cho hai khẳng định sau đúng:
a)Nếu p là số nguyên tố, pthì .
b)Nếu p là số nguyên tố, thì không chia hết cho p.
Giải:
Theo công thức nghiệm phương trình sai phân cấp 2 ta có: , cho n bằng 0;1 ta có . Từ đó suy ra (nếu n lẻ).
Rõ ràng a2
Nếu p là số nguyên tố lẻ , thì do . Do đó để 
Vậy để cả hai điều kiện đã nêu thoả mãn cần đủ là a không chia hết cho số nguyên tố nào lớn hơn p0. Hay số a nhỏ nhất là tích các số nguyên tố p thoả mãn 
IV)Sai phân cấp II suy rộng: 
Tương tự sai phân cấp I , ta xét các phương trình sai phân dạng:
; trong đó là hàm đa thức của n, hàm mũ của n, hàm cosn, sinn.
Ta có thể thấy phương pháp thông qua ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1:(Trường hợp phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt khác 1).
Tìm 
a)Với f(n) = n +2
b) Với f(n) = sinn
Giải:
Nguyên tắc chung vẫn như ở sai phân cấp I, ta tìm g(n) sao cho
 g(n+2) - 5g(n+1) + 6g(n) = f(n) 
a)Ta tìm g(n) = ; 
giải ra ta có g(n) =
Khi đó giả thiết suy ra 
Giải phương trình sai phân ta có do đó . 
Thử lại thoả mãn.
b) Ta tìm g(n) = acosn + bsinn sao cho g(n+2) - 5g(n+1) + 6g(n) = f(n) 
(Định thức D khác 0 nên có duy nhất (a;b))
Và kết quả là , g(n) như trên. Thử lại thoả mãn.
Ví dụ 2:(Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm x=1 là nghiệm đơn).
Tìm 
Giải:
Ta tìm g(n) = an2+bn ( bậc của g(n) lớn hơn bậc của f(n) một đơn vị) sao cho Giải ra ta được g(n)=; 
Đặt an- g(n) = bn ta có phương trình sai phân cấp II: . Do đó , hay . 
Thử lại thoả mãn.
Ví dụ 3:(Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép x =1).
Tìm 
Giải:
Ta tìm g(n) = an3+bn2 (bậc của g(n) lớn hơn bậc của f(n) 2 đơn vị) sao cho
 g(n+2) - 2 g(n+1) +g(n) = 2n + 3 . Giải ra ta được g(n) = . Đặt , ta có phương trình sai phân cấp II : . Từ đó suy ra .
Vậy . Thử lại thoả mãn.
Ví dụ 4:( Trường hợp f(n) là hàm mũ của n và phương trình đặc trưng có một nghiệm khác cơ số của hàm mũ, một nghiệm trùng cơ số)
Tìm 
Giải:
 Ta tìm g(n) = sao cho 
Ta đựơc a = . Khi đó ta có 
Vậy . Thử lại thoả mãn
Ví dụ 5: (Trường hợp cả hai nghiệm phương trình đặc trưng khác với cơ số hàm mũ)
Tìm 
Giải:
Ta tìm g(n) = sao cho g(n+2) - 5g(n+1) + 6g(n) = 3.5n . Giải ra ta có 
Đặt ta có phương trình sai phân .
 Giải ra ta có : .Do đó . Thử lại thoả mãn
Ví dụ 6:( Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép là cơ số của hàm mũ).
Tìm 
Giải:
Ta tìm g(n) = :.Giải ra ta có . Đặt ,ta có phương trình sai phân .
Giải ra ta có .Vậy .Thử lại thoả mãn.
Ví dụ 7:
Tìm ; trong đó 
Ta xét bài toán tổng quát vì riêng trường hợp f(n) là hàm cosn hay sinn thì không phân biệt phương trình đặc trưng có nghiệm thực hay phức.Ta sẽ thấy điều đó ở dưới đây.
Giải:
Ta tìm g(n)sao cho: hay:
Rõ ràng hệ có nghiệm duy nhất vì định thức D của ẩn khác 0.
Gọi (là nghiệm của hệ . Đặt . Khi đó ta có phương trình sai phân . Dù phương trình đặc trưng có nghiệm như thế nào thì ta cũng đã giải được ở phần trên. Vậy ta luôn xác định được dãy .
Sau đây ta sẽ tiếp tục xét thêm với mục đích chính là cung cấp thêm bài tập
V) Một số ứng dụng của sai phân :
Ví dụ 1:
Cho dãy số: 
chứng minh rằng : là số chính phương
Giải:
Theo cách giải đã biết (ví dụ 3; mục IV) ta tìm g(n) = an2 sao cho g(n+1) - 2g(n) + g(n-1) =1 . Giải ra ta có g(n) = . Đặt ta có phương trình sai phân
. Giải phương trình này ta có 
Do đó = (đpcm)
Ví dụ 2:
Cho dãy số Tính 
Giải: 
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp .Khi đó ta có:. 
Từ đó = .
Chứng tỏ rằng dãy tuần hoàn chu kỳ 24. Mặt khác 2017=24.84+1; vậy 
(Ở đây ý tưởng chính là dãy tuần hoàn). 
Ví dụ 3:
Cho dãy số 
Chứng minh rằng dãy số gồm toàn các số nguyên
Giải:
Giả thiết suy ra hay thay n bằng (n-1) ta có: . Trừ hai vế của hai đẳng thức trên ta có: ; vì 
Vì nên bằng quy nạp ta suy ra 
Ví dụ 4:
Tìm tất cả các hàm số f(x) sao cho:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Giải:
a) Ta đã biết nếu hàm số g(x) có thì - C là hằng số. Giả thiết . Ta lại có . 
Chọn a = suy ra giả thiết trở thành (C là hằng số bất kỳ ).
b)Ta áp dụng sai phân: 
Tìm một hàm g(x) = ax+b sao cho g(x) - 2 g'(x) = x(). Dễ dàng tìm được g(x) = x+2 . Khi đó theo giả thiết ta có 
. Theo câu a) ta có
. Thử lại thoả mãn.
c) Tương tự câu b) ta cũng tìm một hàm số sao cho 
Dễ thấy cũng như câu b) ta có . Thử lại thoả mãn
d) Ta tìm hàm số g(x) = acosx + bsinx sao cho . 
Giải ra ta có . 
Khi đó giả thiết trở thành . Theo kết quả câu a) ta có . 
Thử lại thoả mãn.
e) Ta phải tìm hai hàm số:
g(x) = sao cho g(x) - 2g'(x) = 
h(x) = sao cho 
 Giải ra ta được ; . Khi đó giả thiết trở thành:
. Theo câu a) ta có:
 hay . 
Thử lại thoả mãn.
Để tiếp nối phần ứng dụng này xin được nêu một số bài tập: 
Bài 1: 
Tìm tất cả các hàm số sao cho :
Bài 2:
Cho hàm số: .Tính giá trị của ( đạo hàm cấp 2006 tại điểm x=0)
Bài 3:
Rút gọn : S = Với là góc cho trước ; n là số tự nhiên cho trước
Bài 4:
Cho . Rút gọn S = 
Bài 5:
Cho dãy số dương thoả điều kiện: .Chứng minh rằng 
Bài 6:
Tìm tất cả các đa thức P(x) sao cho P(x) = 
Bài 7:
Tìm I(n) = ( n 
Bài 8:
Cho dãy số . Tính 
Bài 9: 
Cho dãy số .Tính 
THAY CHO LỜI KẾT:
Đây là những kết quả mà bản thân tôi qua thực tế nghiên cứu phục vụ cho giảng dạy cho đối tượng học sinh khá, học sinh giỏi tham dự các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Bản thân đã cố gắng đúc rút lại thành phương pháp, chuyển tải đến người đọc một cách phù hợp: Thông qua các ví dụ cụ thể để làm đơn giản về mặt lý luận; còn về mặt ứng dụng, vì thời lượng bài viết có giới hạn, tôi cố gắng chọn lọc các ví dụ mang tính điển hình về phương pháp sai phân. Hy vọng góp một phần nhỏ bé vào công tác giảng dạy toán phổ thông nói chung và đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng.
 Trong lời giải các ví dụ đã nêu, phương pháp sai phân không đòi hỏi phải chỉ ra hết các hàm g(n), (g(x)) thoả điều kiện sai phân đã nêu mà chỉ cần sự tồn tại g(n),(g(x)) là đủ để tìm f(n), ((f(x); an,Un,...) cần tìm. Việc chỉ ra g(n), (g(x)), ban đầu đi tìm lời giải là dùng phương pháp mà toán học gọi là “ thử và sai”; sau khi đã có kết quả thì chỉ cần nhớ để sử dụng. Trong khuôn khổ bài viết, tôi không đi sâu phân tích cách chọn g(n),(g(x)) vì xét đến cùng là học sinh cần cách giải, cách sử dụng sai phân vào giải toán. Đây là điều mà cá nhân tôi muốn sự cảm thông của quý đồng nghiệp. 
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của các bạn đến bài viết này. Xin trân trọng cảm ơn!
Phí Văn Dương
Phòng GDTrH